BÀI TẬP VIẾT PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
|
Bài tập 1: Một vật dao động điều hòa với biên độ A = 2 cm, tần số góc $5\text{ }rad/s$, pha ban đầu $\frac{\pi }{2}rad$. Phương trình dao động của vật là: A. $x=2\cos \left( 5\pi t+\frac{\pi }{2} \right)(cm).$ B. $x=2\cos \left( 5t+\frac{\pi }{2} \right)(cm).$ C. $x=2\cos \left( 5\pi t-\frac{\pi }{2} \right)(cm).$ D. $x=2\cos \left( 10\pi t+\frac{\pi }{2} \right)(cm).$ |
Lời giải chi tiết
Phương trình dao động của vật là $x=2\cos \left( 5t+\frac{\pi }{2} \right)$. Chọn B.
|
Bài tập 2: Một vật nhỏ dao động điều hòa dọc theo trục Ox với biên độ 5 cm, chu kỳ 2s. Tại thời điểm t = 0, vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Phương trình dao động của vật là A. $x=5\cos \left( 2\pi t-\frac{\pi }{2} \right)cm.$ B. $x=5\cos \left( 2\pi t+\frac{\pi }{2} \right)cm.$ C. $x=5\cos \left( \pi t-\frac{\pi }{2} \right)cm.$ D. $x=5\cos \left( \pi t+\frac{\pi }{2} \right)cm.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $\omega =\frac{2\pi }{T}=\pi (rad/s)$
Phương trình dao động của vật có dạng: $x=5\cos \left( \pi t+\varphi \right)$cm
Tại $t=0$ta có: $\left\{ \begin{array}{} x=5\cos \varphi =0 \\ {} v=-5\pi \sin \varphi >0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \varphi =-\frac{\pi }{2}.$ Chọn C.
|
Bài tập 3: [Trích đề thi đại học năm 2013] Một vật nhỏ dao động điều hòa dọc theo trục Ox với biên độ 5 cm, chu kỳ 2s. Tại thời điểm t = 0, vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Phương trình dao động của vật là: A. $x=5\cos \left( \pi t-\frac{\pi }{2} \right)(cm).$ B. $x=5\cos \left( 2\pi t-\frac{\pi }{2} \right)(cm).$ C. $x=5\cos \left( 2\pi t+\frac{\pi }{2} \right)(cm).$ D. $x=5\cos \left( \pi t+\frac{\pi }{2} \right)(cm).$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $\omega =\frac{2\pi }{T}=\pi \text{ }rad/s.$
Phương trình dao động của vật có dạng $x=5\cos \left( 2\pi t+\varphi \right)$.
Tại thời điểm $t=0$ ta có: $\left\{ \begin{array}{} c\text{os}\varphi =0 \\ {} -\sin \varphi >0 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \varphi =-\frac{\pi }{2}.$ Chọn A.
|
Bài tập 4: [Trích đề thi đại học năm 2011] Một vật nhỏ dao động điều hòa dọc theo trục Ox. Trong thời gian 31,4s chất điểm thực hiện được 100 dao động toàn phần. Gốc thời gian là lúc chất điểm đi qua vị trí có li độ 2 cm theo chiều âm với tốc độ $40\sqrt{3}\text{ }cm/s$. Lấy $\pi =3,14$, phương trình dao động của chất điểm là: A. $x=4\cos \left( 20t-\frac{\pi }{3} \right)(cm).$ B. $x=6\cos \left( 20t+\frac{\pi }{6} \right)(cm).$ C. $x=6\cos \left( 20t-\frac{\pi }{6} \right)(cm).$ D. $x=4\cos \left( 20t+\frac{\pi }{3} \right)(cm).$ |
Lời giải chi tiết
Chu kì dao động là $T=\frac{31,4}{100}=\frac{\pi }{10}(s)\Rightarrow \omega =\frac{2\pi }{T}=20\text{ }(rad/s).$
Ta có: $A=\sqrt{{{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}}=\sqrt{4+{{\left( \frac{40\sqrt{3}}{20} \right)}^{2}}}=4\text{ }(cm).$
Phương trình dao động của vật có dạng: $x=4\cos \left( 20t+\varphi \right)(cm).$
Tại thời điểm $t=0$ ta có: $\left\{ \begin{array}{} c\text{os}\varphi =\frac{1}{2} \\ {} -\sin \varphi =-\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \varphi =\frac{\pi }{3}.$ Chọn D.
|
Bài tập 5: Một vật nhỏ dao động điều hòa với chu kì T = 2s. Khi vật cách vị trí cân bằng một khoảng 5 cm thì vật có vận tốc là $12\pi \text{ }cm/s$. Chọn mốc thời gian khi vật qua vị trí cân bằng theo chiều âm. Phương trình dao động của vật là. A. $x=13\cos \left( 2\pi t+\frac{\pi }{2} \right)(cm).$ B. $x=13\cos \left( 2\pi t-\frac{\pi }{2} \right)(cm).$ C. $x=12\cos \left( \pi t+\frac{\pi }{2} \right)(cm).$ D. $x=13\cos \left( \pi t+\frac{\pi }{2} \right)(cm).$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $\omega =\frac{2\pi }{T}=\pi \text{ }(rad/s).$ Lại có hệ thức độc lập với thời gian ${{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}}$
Suy ra $A=\sqrt{{{5}^{2}}+{{12}^{2}}}=13\text{ }(cm)$. PT của vật $x=13\cos \left( \pi t+\varphi \right)$.
Tại $t=0$ ta có: $\left\{ \begin{array}{} x=13\cos \varphi =0 \\ {} v=-13\pi \sin \varphi <0 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \varphi =\frac{\pi }{2}\Rightarrow $PTDĐ $x=13\cos \left( \pi t+\frac{\pi }{2} \right)(cm).$ Chọn D.
|
Bài tập 6: Một vật nhỏ dao động điều hòa có phương trình dạng $x=Ac\text{os}\left( \omega t+\varphi \right)\text{ }(cm)$. Tại thời điểm ban đầu vật cách vị trí cân bằng một khoảng 4 cm, vận tốc và gia tốc của vật lúc đó lần lượt là $-20\pi \sqrt{3}\text{ }cm/s$ và $-100{{\pi }^{2}}\text{ }cm/{{s}^{2}}$. Phương trình dao động của vật là A. $x=8\cos \left( 5\pi t+\frac{\pi }{3} \right)(cm).$ B. $x=8\cos \left( 5\pi t+\frac{\pi }{6} \right)(cm).$ C. $x=8\cos \left( 5\pi t-\frac{\pi }{3} \right)(cm).$ D. $x=16\cos \left( 5\pi t-\frac{\pi }{6} \right)(cm).$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $\left\{ \begin{array}{} \left| x \right|=4 \\ {} v=-20\pi \sqrt{3} \\ {} a=-100{{\pi }^{2}}=-{{\omega }^{2}}x \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} x=4\text{ cm} \\ {} \omega =5\pi \\ {} v=-20\pi \sqrt{3} \\ \end{array} \right.\Rightarrow A=\sqrt{{{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}}=8\left( cm \right).$
Giả sử phương trình dao động của vật là $x=8\cos \left( 5\pi t+\varphi \right).$
Tại $t=0$ ta có: $\left\{ \begin{array}{} x=8\cos \varphi =4 \\ {} v=-40\pi \sin \varphi =-20\pi \sqrt{3} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \varphi =\frac{\pi }{3}\Rightarrow $ PTDĐ: $x=8\cos \left( 5\pi t+\frac{\pi }{3} \right)(cm).$
Chọn A.
|
Bài tập 7: Một vật nhỏ dao động điều hòa theo trục Ox, chọn gốc tọa độ trùng với vị trí cân bằng của vật. Biết khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp vật đi qua vị trí cân bằng là 1s. Lấy ${{\pi }^{2}}=10$. Tại thời điểm ban đầu vật có gia tốc $a=-0,1\text{ }m/{{s}^{2}}$ và vận tốc ${{v}_{0}}=-\pi \sqrt{3}\text{ }cm/s$. Phương trình dao động của vật là A. $x=2\cos \left( \pi t-\frac{5\pi }{6} \right)\left( cm \right).$ B. $x=2\cos \left( \pi t+\frac{\pi }{6} \right)\left( cm \right).$ C. $x=2\cos \left( \pi t+\frac{\pi }{3} \right)\left( cm \right).$ D. $x=4\cos \left( \pi t-\frac{2\pi }{3} \right)\left( cm \right).$ |
Lời giải chi tiết
Khoảng thời gian 2 làn liên tiếp vật đi qua VTCB là: $\Delta t=\frac{T}{2}=1s\Rightarrow T=2s\Rightarrow \omega =\pi \text{ }\left( rad/s \right).$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{} {{v}_{0}}=-\pi \sqrt{3} \\ {} a=-10=-{{\omega }^{2}}x \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} {{x}_{0}}=1\text{ }cm \\ {} A=\sqrt{x_{0}^{2}+{{\left( \frac{{{v}_{0}}}{\omega } \right)}^{2}}}=2\text{ cm} \\ \end{array} \right.$
Giả sử phương trình dao động của vật là $x=2\cos \left( \pi t+\varphi \right).$
Tại $t=0$ ta có: $\left\{ \begin{array}{} x=2\cos \varphi =1 \\ {} v=-2\pi \sin \varphi =-\pi \sqrt{3} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \varphi =\frac{\pi }{3}\Rightarrow $PTDĐ: $x=2\cos \left( \pi t+\frac{\pi }{3} \right)\left( cm \right).$ Chọn C.
|
Bài tập 8: Một vật nhỏ dao động điều hòa trên quỹ đạo dài 8 cm. Khi đi qua vị trí cân bằng vận tốc có độ lớn $40\pi \text{ }cm/s$. Gọi mốc thời gian là lúc vật đi qua vị trí $2\sqrt{3}$theo chiều dương. Phương trình dao động của vật là A. $x=4\cos \left( 10\pi t-\frac{\pi }{6} \right)cm.$ B. $x=4\cos \left( 20\pi t+\frac{\pi }{6} \right)cm.$ C. $x=2\cos \left( 20\pi t-\frac{\pi }{6} \right)cm.$ D. $x=2\cos \left( 0\pi t+\frac{\pi }{6} \right)cm.$ |
Lời giải chi tiết
Biên độ dao động là $A=\frac{\ell }{2}=4\text{ cm}\text{.}$
Lại có: $\omega A=40\pi \Rightarrow \omega =10\pi \left( rad/s \right).$
Giả sử phương trình dao động của vật là $x=4\cos \left( 10\pi t+\varphi \right).$
Tại $t=0$ ta có: $\left\{ \begin{array}{} x=4\cos \varphi =2\sqrt{3} \\ {} v=-40\pi \sin \varphi >0 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \varphi =\frac{-\pi }{6}\Rightarrow $PTDĐ: $x=4\cos \left( 10\pi t-\frac{\pi }{6} \right)cm.$ Chọn A.
|
Bài tập 9: Một vật nhỏ dao động có gia tốc biến đổi theo thời gian $a=8\cos \left( 20t-\frac{\pi }{2} \right)m/{{s}^{2}}.$ Phương trình dao động của vật là A. $x=0,02\cos \left( 20t+\frac{\pi }{2} \right)cm.$ B. $x=2\cos \left( 20t-\frac{\pi }{2} \right)cm.$ C. $x=4\cos \left( 20t+\frac{\pi }{2} \right)cm.$ D. $x=2\cos \left( 20t+\frac{\pi }{2} \right)cm.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $a=-{{\omega }^{2}}x\Rightarrow x=\frac{a}{-{{\omega }^{2}}}=-0,02\cos \left( 20t-\frac{\pi }{2} \right)m.$
Do đó $a=2\cos \left( 20t+\frac{\pi }{2} \right)cm.$ Chọn D.
|
Bài tập 10: Một vật nhỏ dao động điều hòa với vận tốc ban đầu là $4\text{ }m/s$và gia tốc là $40\sqrt{3}\text{ }m/{{s}^{2}}$. Khi vật đi qua vị trí cân bằng thì vật có vận tốc là $\text{8 }m/s$. Phương trình dao động của vật là: A. $x=0,8\cos \left( 10t-\frac{\pi }{6} \right)m.$ B. $x=0,8\cos \left( 10t-\frac{5\pi }{6} \right)m.$ C. $x=0,4\cos \left( 10t+\frac{\pi }{6} \right)m.$ D. $x=0,4\cos \left( 10t-\frac{\pi }{6} \right)m.$ |
Lời giải chi tiết
Khi vật đi qua vị trí cân bằng thì $v={{v}_{\max }}=8\text{ }m/s.$
Ta có: ${{\left( \frac{{{v}_{0}}}{{{v}_{\max }}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{a}_{0}}}{{{a}_{\max }}} \right)}^{2}}=1\Rightarrow {{a}_{0}}=\frac{{{a}_{\max }}\sqrt{3}}{2}\Rightarrow {{a}_{\max }}=80\text{ }m/{{s}^{2}}.$
Do đó $\omega =\frac{{{a}_{\max }}}{{{v}_{\max }}}=10\left( rad/s \right),\text{ }A=\frac{{{v}_{\max }}}{\omega }=0,8\text{ }m.$
Tại thời điểm ban đầu $\left\{ \begin{array}{} A\cos \varphi =-0,4\sqrt{3} \\ {} \sin \varphi <0 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \varphi =\frac{-5\pi }{6}.$ Chọn B.
|
Bài tập 11: [Trích đề thi Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh 2017] Một vật nhỏ dao động điều hòa dọc theo trục Ox với biên độ 5 cm, chu kỳ 2s. Tại thời điểm $t=0$, vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Phương trình dao động của vật là A. $x=5\cos \left( 2\pi t-\pi /2 \right)\left( cm \right).$ B. $x=5\cos \left( 2\pi t+\pi /2 \right)\left( cm \right).$ C. $x=5\cos \left( \pi t-\pi /2 \right)\left( cm \right).$ D. $x=5\cos \left( 2\pi t+\pi /2 \right)\left( cm \right).$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $A=5\text{ }cm,\text{ }\omega =\frac{2\pi }{T}=\pi \left( rad/s \right).$
Phương trình dao động của vật có dạng: $x=5\cos \left( \pi t+\varphi \right).$
Tại $t=0$ ta có: $\left\{ \begin{array}{} x=5\cos \varphi \\ {} v=-5\pi \sin \varphi >0 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \varphi =-\frac{\pi }{2}.$ Chọn C.
|
Bài tập 12: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox với tần số 3Hz, quanh vị trí cân bằng là gốc tọa độ O. Độ dài quỹ đạo bằng 20 cm. Tại thời điểm $t=\frac{1}{18}\left( s \right)$ vật có vận tốc $v=-30\pi \sqrt{3}\left( cm/s \right)$ và di chuyển chậm dần. Phương trình dao động của vật là? A. $x=10\cos \left( 6\pi t+\frac{\pi }{3} \right)cm.$ B. $x=10\cos \left( 6\pi t-\frac{\pi }{3} \right)cm.$ C. $x=10\cos \left( 6\pi t-\frac{\pi }{6} \right)cm.$ D. $x=10\cos \left( 6\pi t+\frac{\pi }{6} \right)cm.$ |
Lời giải chi tiết
Tần số góc của vật là $\omega =2\pi f=6\pi \left( rad/s \right).$
Độ dài quỹ đạo bằng 20 cm $\Rightarrow $Biên độ dao động của chất điểm là $A=10cm$
Khi $v=-30\pi \sqrt{3}$, áp dụng hệ thức độc lập ta có $x=\sqrt{{{A}^{2}}-\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}}=5cm$
Vật đang chuyển động chậm dần $\Rightarrow x=-5cm$ và lúc này có $v<0$
$\Rightarrow $Pha dao động tại thời điểm $t=\frac{1}{18}\left( s \right)$là $\varphi =\frac{2\pi }{3}\left( rad \right)$
Pha dao động của một thời điểm được xác định bởi: $\omega t+{{\varphi }_{0}}=\varphi $
$\Rightarrow 6\pi .\frac{1}{18}+{{\varphi }_{0}}=\frac{2\pi }{3}\Rightarrow {{\varphi }_{0}}=\frac{\pi }{3}\left( rad \right)\Rightarrow x=10\cos \left( 6\pi t+\frac{\pi }{3} \right)cm.$Chọn A.
|
Bài tập 13: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Tại mọi thời điểm t li độ và vận tốc của vật luôn thỏa mãn hệ thức $\frac{{{x}^{2}}}{25}+\frac{{{v}^{2}}}{250}=1$. Tại thời điểm $t=\frac{2}{3}\left( s \right)$ vật đang ở li độ $x=2,5cm$và di chuyển nhanh dần. Lấy ${{\pi }^{2}}=10$. Phương trình dao động của vật là? A. $x=5\cos \left( \pi t+\frac{\pi }{3} \right)cm.$ B. $x=5\cos \left( \pi t-\frac{\pi }{3} \right)cm.$ C. $x=5\cos \left( \pi t+\frac{\pi }{6} \right)cm.$ D. $x=5\cos \left( \pi t-\frac{\pi }{6} \right)cm.$ |
Lời giải chi tiết
Hệ thức độc lập thời gian giữa li độ và vận tốc: ${{\left( \frac{x}{A} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{v}{{{v}_{m\text{ax}}}} \right)}^{2}}=1$
Tại mọi thời điểm t li độ và vận tốc của vật thỏa mãn $\frac{{{x}^{2}}}{25}+\frac{{{v}^{2}}}{250}=1\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} A=5\text{ }cm \\ {} {{v}_{m\text{ax}}}=5\pi \\ \end{array} \right.$
Tần số góc của vật là $\omega =\frac{{{v}_{\max }}}{A}=\pi \left( rad/s \right)$
Tại thời điểm $t=\frac{2}{3}\left( s \right)$ vật đang ở li độ $x=2,5cm$ và chuyển động nhanh dần
$\Rightarrow $Pha dao động lúc này là $\varphi =\frac{\pi }{3}\left( rad \right)\Rightarrow \omega t+{{\varphi }_{0}}=\frac{\pi }{3}\Leftrightarrow \frac{2\pi }{3}+{{\varphi }_{0}}=\frac{\pi }{3}\Leftrightarrow {{\varphi }_{0}}=-\frac{\pi }{3}\left( rad \right)$
Phương trình dao động là 
Chọn B.
|
Bài tập 14: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox với phương trình vận tốc là $v=12\pi c\text{os}\left( 4\pi t+\pi \text{/6} \right)cm/s$. Biết rằng tại thời điểm ban đầu, $t=0$, chất điểm có mặt tại tọa độ 5,5 cm. Phương trình tọa độ của chất điểm là A. $x=3\cos \left( 4\pi t-\pi \text{/3} \right)cm.$ B. $x=3\cos \left( 4\pi t-\pi \text{/3} \right)+4\text{ }cm.$ C. $x=3\cos \left( 4\pi t+2\pi \text{/3} \right)+4\text{ }cm.$ D. $x=4\cos \left( \pi t+2\pi \text{/3} \right)+3\text{ }cm.$ |
Lời giải chi tiết
Giả sử phương trình tọa độ của chất điểm dao động: $x=Ac\text{os}\left( \omega t+\varphi \right)$
$\Rightarrow v={x}’=A\omega cos\left( \omega t+\varphi +\pi \text{/2} \right)$. Đồng nhất: $v=12\pi c\text{os}\left( 4\pi t+\pi \text{/6} \right)\left( cm/s \right).$
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} A=\frac{12\pi }{4\pi }=3cm \\ {} \varphi +\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{6}\Rightarrow \varphi =-\frac{\pi }{3} \\ \end{array} \right.\Rightarrow $ Phương trình: $x=3\cos \left( 4\pi t-\pi \text{/3} \right)cm.$
Ta có $x\left( t=0 \right)=3\cos \left( -\pi \text{/3} \right)=1,5cm\ne 5,5cm$(vị trí đề cho lúc $t=0$)
Lệch phần này là do X = 5,5 cm là tọa độ, còn x = 1,5 cm là ly độ. Ở đây ly độ không trùng tọa độ
$\Rightarrow $dao động có vị trí cân bằng không nằm ở gốc tọa độ mà nằm ở vị trí ${{x}_{0}}$.
Ta có $X\left( t=0 \right)=x\left( t=0 \right)+{{x}_{0}}\Leftrightarrow 1,5+{{x}_{0}}=5,5\Rightarrow {{x}_{0}}=4cm.$
$\Rightarrow $Phương trình: $x=3\cos \left( 4\pi t-\pi \text{/3} \right)+4\text{ }cm.$ Chọn B.
