Vận dụng công thức Logarit để giải bài tập – có đáp án
Dưới dây là một số câu hỏi trắc nghiệm áp dụng công thức logarit lớp 12 để các em luyện tập
|
Ví dụ 1: Cho số thực a thõa mãn $0<a\ne 1$. Tính giá trị của biểu thức $T={{\log }_{a}}\left( \frac{{{a}^{2}}.\sqrt[3]{{{a}^{2}}}.\sqrt[5]{{{a}^{4}}}}{\sqrt[15]{{{a}^{7}}}} \right)$ A. $T=3$ B. $T=\frac{12}{5}$ C. $T=\frac{9}{5}$ D. $T=2$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $T={{\log }_{a}}\left( \frac{{{a}^{2}}.\sqrt[3]{{{a}^{2}}}.\sqrt[5]{{{a}^{4}}}}{\sqrt[15]{{{a}^{7}}}} \right)={{\log }_{a}}\frac{{{a}^{2+\frac{2}{3}+\frac{4}{5}}}}{{{a}^{\frac{7}{15}}}}={{\log }_{a}}{{a}^{2+\frac{2}{3}+\frac{4}{5}-\frac{7}{15}}}={{\log }_{a}}{{a}^{3}}=3$. Chọn A
|
Ví dụ 2: Cho các số thực a, b, c thõa mãn $1\ne a,b,c>0$ và các khằng định sau (1) ${{\log }_{a}}\left( \frac{{{a}^{3}}}{b} \right)=3-{{\log }_{a}}b$ (2) ${{\log }_{{{a}^{5}}}}\sqrt{b}=\frac{5}{2}{{\log }_{a}}b$ (3) ${{\log }_{a}}\left( b+c \right)={{\log }_{a}}b.{{\log }_{a}}c$ (4) ${{\log }_{bc}}a={{\log }_{b}}a+{{\log }_{c}}a$ Số khẳng định đúng là: A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${{\log }_{a}}\left( \frac{{{a}^{3}}}{b} \right)={{\log }_{a}}{{a}^{3}}-{{\log }_{a}}b=3-{{\log }_{a}}b\to $ (1) đúng
${{\log }_{{{a}^{5}}}}\sqrt{b}={{\log }_{{{a}^{5}}}}{{b}^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{5}.\frac{1}{2}{{\log }_{a}}b=\frac{1}{10}{{\log }_{a}}b\to $ (2) sai
${{\log }_{a}}\left( b+c \right)\ne {{\log }_{a}}b.{{\log }_{a}}c\to $ (3) sai
${{\log }_{bc}}a=\frac{1}{{{\log }_{a}}bc}=\frac{1}{{{\log }_{a}}b+{{\log }_{a}}c}=\frac{1}{\frac{1}{{{\log }_{b}}a}+\frac{1}{{{\log }_{c}}a}}\to $ (4) sai
Vậy có 1 khẳng định đúng. Chọn A.
|
Ví dụ 3: Cho các số thực a, b, c thõa mãn $1\ne a,b,c>0$và các khằng định sau (1) ${{\log }_{{{a}^{3}}}}\left( ab \right)=3+3{{\log }_{a}}b$ (2) ${{\log }_{a}}\sqrt{b}+{{\log }_{{{a}^{4}}}}{{b}^{6}}=2{{\log }_{a}}b$ (3) $\ln \frac{a}{\sqrt{b}}=\ln a-\frac{1}{2}\ln b$ (4) ${{\log }_{a}}\left( b+c \right)={{\log }_{a}}b+{{\log }_{a}}c$ Số khẳng định đúng là: A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${{\log }_{{{a}^{3}}}}\left( ab \right)=\frac{1}{3}{{\log }_{a}}\left( ab \right)=\frac{1}{3}\left( {{\log }_{a}}a+{{\log }_{a}}b \right)=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}{{\log }_{a}}b\to $ (1) sai
${{\log }_{a}}\sqrt{b}+{{\log }_{{{a}^{4}}}}{{b}^{6}}={{\log }_{a}}{{b}^{\frac{1}{2}}}+\frac{6}{4}{{\log }_{a}}b=\frac{1}{2}{{\log }_{a}}b+\frac{3}{2}{{\log }_{a}}b=2{{\log }_{a}}b\to $ (2) đúng
$\ln \frac{a}{\sqrt{b}}=\ln a-\ln \sqrt{b}=\ln a-\ln {{b}^{\frac{1}{2}}}=\ln a-\frac{1}{2}\ln b\to $ (3) đúng
${{\log }_{a}}\left( b+c \right)\ne {{\log }_{a}}b+{{\log }_{a}}c\to $ (4) sai
Vậy có 2 khẳng định đúng. Chọn B
|
Ví dụ 4: Cho các số thực a, b thỏa mãn a < b < 0 và các khẳng định sau : (1) $\ln {{\left( ab \right)}^{2}}=2\left( \ln a+\ln b \right)$ (2) $\ln \sqrt{ab}=\frac{1}{2}\left( \ln \left| a \right|+\ln \left| b \right| \right)$ (3) $\ln \left( \frac{{{a}^{2}}}{{{b}^{4}}} \right)=\ln {{a}^{2}}-2\ln {{b}^{2}}$ (4) $\ln \left( ab \right)=\ln \left( -a \right)+\ln \left( -b \right)$ Số khẳng định đúng là: A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 |
Lời giải chi tiết
Chú ý: Do $a<b<0$ nên $\ln \left( ab \right)=\ln \left[ \left( -a \right).\left( -b \right) \right]=\ln \left( -a \right)+\ln \left( -b \right)=\ln \left| a \right|+\ln \left| b \right|$
Do đó $\ln {{\left( ab \right)}^{2}}=2\ln \left( ab \right)=2\left( \ln \left| a \right|+\ln \left| b \right| \right)\to $ (1) sai
$\ln \sqrt{ab}=\frac{1}{2}\ln \left( ab \right)=\frac{1}{2}\left( \ln \left| a \right|+\ln \left| b \right| \right)\to $ (2) đúng
$\ln \left( \frac{{{a}^{2}}}{{{b}^{4}}} \right)=\ln {{a}^{2}}-\ln {{b}^{4}}=\ln {{a}^{2}}-2\ln {{b}^{2}}\to $ (3) đúng
$\ln \left( ab \right)=\ln \left( -a \right)+\ln \left( -b \right)\to $ (4) đúng
Vậy có 3 khẳng định đúng. Chọn C
|
Ví dụ 5: Cho các số thực dương và các mệnh đề sau: (1) ${{\log }_{a}}\frac{\sqrt{x}}{{{y}^{2}}}=\frac{1}{2}{{\log }_{a}}x-2{{\log }_{a}}y$ (2) ${{\log }_{{{a}^{3}}}}{{\left( \frac{\sqrt{x}}{y} \right)}^{3}}=\frac{9}{2}{{\log }_{a}}x-9{{\log }_{a}}y$ (3) $\log _{a}^{2}{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{2}}=4\left( {{\log }_{a}}x-{{\log }_{a}}y \right)$ (4) ${{\log }_{{{a}^{2}}}}\left( \sqrt{x}+{{y}^{2}} \right)=\frac{1}{4}{{\log }_{a}}x+{{\log }_{a}}y$ Số khẳng định đúng là: A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${{\log }_{a}}\frac{\sqrt{x}}{{{y}^{2}}}={{\log }_{a}}\sqrt{x}-{{\log }_{a}}{{y}^{2}}=\frac{1}{2}{{\log }_{a}}x-2{{\log }_{a}}y\to $ (1) đúng
${{\log }_{{{a}^{3}}}}{{\left( \frac{\sqrt{x}}{y} \right)}^{3}}=\frac{1}{3}.3{{\log }_{a}}\left( \frac{\sqrt{x}}{y} \right)={{\log }_{a}}\left( \frac{\sqrt{x}}{y} \right)=\frac{1}{2}{{\log }_{a}}x-{{\log }_{a}}y\to $ (2) sai
$\log _{a}^{2}{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{2}}={{\left[ {{\log }_{a}}{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{2}} \right]}^{2}}={{\left[ 2\left( {{\log }_{a}}x-{{\log }_{a}}y \right) \right]}^{2}}=4{{\left( {{\log }_{a}}x-{{\log }_{a}}y \right)}^{2}}\to $ (3) sai
${{\log }_{{{a}^{2}}}}\left( \sqrt{x}+{{y}^{2}} \right)\ne \frac{1}{4}{{\log }_{a}}x+{{\log }_{a}}y\to $ (4) sai. Chọn A
|
Ví dụ 6: Cho ${{\log }_{_{3}}}x=2{{\log }_{\sqrt{3}}}a+{{\log }_{\frac{1}{3}}}b+1$ và ${{\log }_{2}}y=2{{\log }_{2}}a-{{\log }_{8}}{{b}^{3}}$ với $a;b>0$. Tính giá trị biểu thức $P=\frac{x}{y}$ theo a và b A. $P=3{{a}^{2}}b$ B. $P=\frac{3}{{{a}^{2}}}$ C. $P=\frac{3{{a}^{6}}}{{{b}^{2}}}$ D. $P=3{{a}^{2}}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${{\log }_{3}}x=2{{\log }_{\sqrt{3}}}a+{{\log }_{\frac{1}{3}}}b+1=2{{\log }_{{{3}^{\frac{1}{2}}}}}a+{{\log }_{{{3}^{-1}}}}b+1$
$=4{{\log }_{3}}a-{{\log }_{3}}b+1={{\log }_{3}}{{a}^{4}}-{{\log }_{3}}b+{{\log }_{3}}3={{\log }_{3}}\frac{3{{a}^{4}}}{b}\Rightarrow x=\frac{3{{a}^{4}}}{b}$
Lại có ${{\log }_{2}}y=2{{\log }_{2}}a-{{\log }_{8}}{{b}^{3}}={{\log }_{2}}{{a}^{2}}-{{\log }_{{{2}^{3}}}}{{b}^{3}}={{\log }_{2}}{{a}^{2}}-3.\frac{1}{3}{{\log }_{2}}b={{\log }_{2}}\frac{{{a}^{2}}}{b}\Rightarrow y=\frac{{{a}^{2}}}{b}$
$\Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{3{{a}^{4}}}{b}:\frac{{{a}^{2}}}{b}=3{{a}^{2}}$. Chọn D
|
Ví dụ 7: Cho $1\ne a;b>0,ab\ne 1,\frac{a}{b}\ne 1$ và các mệnh đề sau (1)${{\log }_{ab}}a=\frac{1}{1+{{\log }_{a}}b}$ (2) ${{\log }_{\frac{a}{b}}}b=\frac{{{\log }_{a}}b}{{{\log }_{a}}b-1}$ (3)${{\log }_{\sqrt{a}}}\left( a{{b}^{2}} \right)=4+4{{\log }_{a}}b$ (4) ${{\log }_{{{a}^{2}}}}\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{1}{4}\left( 1-{{\log }_{a}}b \right)$ Số khẳng định đúng là: A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 |
Lời giải chi tiết
Ta có ${{\log }_{ab}}a=\frac{1}{{{\log }_{a}}ab}=\frac{1}{1+{{\log }_{a}}b}\to $ (1) đúng
${{\log }_{\frac{a}{b}}}b=\frac{1}{{{\log }_{b}}\frac{a}{b}}=\frac{1}{{{\log }_{b}}a-1}=\frac{1}{\frac{1}{{{\log }_{a}}b}-1}=\frac{{{\log }_{a}}b}{1-{{\log }_{a}}b}\to $ (2) sai
${{\log }_{\sqrt{a}}}\left( a{{b}^{2}} \right)={{\log }_{{{a}^{\frac{1}{2}}}}}\left( a{{b}^{2}} \right)=2{{\log }_{a}}\left( a{{b}^{2}} \right)=2+4{{\log }_{a}}b\to $ (3) sai
${{\log }_{{{a}^{2}}}}\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}{{\log }_{a}}\frac{a}{b}=\frac{1}{4}\left( 1-{{\log }_{a}}b \right)\to $ (4) đúng. Chọn B
|
Ví dụ 8: Cho ${{\log }_{a}}b=3$ và ${{\log }_{a}}c=4$ với $a;b;c>0;a\ne 1$. Tính giá trị của $P={{\log }_{a}}\left( \frac{{{a}^{2}}.\sqrt{b}}{{{c}^{3}}} \right)$ A. $P=\frac{-13}{2}$ B. $P=\frac{9}{32}$ C. $P=\sqrt{3}-10$ D. $P=\frac{-17}{2}$. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $P={{\log }_{a}}\left( \frac{{{a}^{2}}.\sqrt{b}}{{{c}^{3}}} \right)={{\log }_{a}}{{a}^{2}}+{{\log }_{a}}\sqrt{b}-{{\log }_{a}}{{c}^{3}}=2+{{\log }_{a}}{{b}^{\frac{1}{2}}}-3{{\log }_{a}}c$
$=2+\frac{1}{2}{{\log }_{a}}b-3{{\log }_{a}}c=2+\frac{3}{2}-12=\frac{-17}{2}$. Chọn D
|
Ví dụ 9: Cho ${{\log }_{a}}b=3$ và ${{\log }_{c}}a=2$ với $a,b,c>0;a\ne 1,c\ne 1$ .Tính giá trị của biểu thức $Q={{\log }_{a}}\left( \frac{\sqrt{a{{b}^{3}}}}{{{c}^{2}}} \right)$ A. $Q=9$ B. $Q=4$ C. $Q=6$ D. $Q=1$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $Q={{\log }_{a}}\left( \frac{\sqrt{a{{b}^{3}}}}{{{c}^{2}}} \right)={{\log }_{a}}\left( \sqrt{a}.\sqrt{{{b}^{3}}} \right)-{{\log }_{a}}{{c}^{2}}={{\log }_{a}}{{a}^{\frac{1}{2}}}+{{\log }_{a}}{{b}^{\frac{3}{2}}}-2{{\log }_{a}}c$
$=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}{{\log }_{a}}b-2.\frac{1}{{{\log }_{c}}a}=\frac{1}{2}+\frac{9}{2}-\frac{2}{2}=4$. Chọn B
|
Ví dụ 10: Cho các số thực dương a, b. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. ${{\log }_{2}}\frac{2\sqrt[3]{a}}{{{b}^{3}}}=1+\frac{1}{3}{{\log }_{2}}a-\frac{1}{3}{{\log }_{2}}b$ B. ${{\log }_{2}}\frac{2\sqrt[3]{a}}{{{b}^{3}}}=1+\frac{1}{3}{{\log }_{2}}a+3{{\log }_{2}}b$ C. ${{\log }_{2}}\frac{2\sqrt[3]{a}}{{{b}^{3}}}=1+\frac{1}{3}{{\log }_{2}}a+\frac{1}{3}{{\log }_{2}}b$ D. ${{\log }_{2}}\frac{2\sqrt[3]{a}}{{{b}^{3}}}=1+\frac{1}{3}{{\log }_{2}}a-3{{\log }_{2}}b$ |
Lời giải chi tiết
${{\log }_{2}}\frac{2\sqrt[3]{a}}{{{b}^{3}}}={{\log }_{2}}2+{{\log }_{2}}\left( \sqrt[3]{a} \right)-{{\log }_{2}}{{b}^{3}}=1+{{\log }_{2}}{{a}^{\frac{1}{3}}}-3{{\log }_{2}}b=1+\frac{1}{3}{{\log }_{2}}a-3{{\log }_{2}}b$. Chọn D
|
Ví dụ 11: Cho ${{\log }_{2}}a=4$ và ${{\log }_{3}}b=2$. Giá trị của biểu thức $P=2{{\log }_{2}}\left[ {{\log }_{2}}\left( 8a \right)+9 \right]+{{\log }_{\frac{1}{9}}}{{b}^{2}}$ là A. $P=6$ B. $P=4$ C. $P=8$ D. $P=10$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $P=2{{\log }_{2}}\left[ {{\log }_{2}}\left( 8a \right)+9 \right]+{{\log }_{\frac{1}{9}}}{{b}^{2}}=2{{\log }_{2}}\left[ {{\log }_{2}}8+{{\log }_{2}}a+9 \right]+{{\log }_{{{3}^{-2}}}}{{b}^{2}}$
$=2{{\log }_{2}}\left[ 3+4+9 \right]+\frac{2}{-2}{{\log }_{3}}b=2{{\log }_{2}}16-{{\log }_{3}}b=8-2=6$.Chọn A
|
Ví dụ 12: Cho ${{\log }_{a}}x=4$ và ${{\log }_{b}}x=5$. Tính giá trị của biểu thức $P=3{{\log }_{ab}}x+{{\log }_{\frac{a}{b}}}x$ A. $P=16$ B. $P=\frac{80}{3}$ C. $P=\frac{-40}{3}$ D. $P=27$ |
Lời giải chi tiết
Sử dụng công thức ${{\log }_{a}}b=\frac{1}{{{\log }_{b}}a}$
Ta có $P=3{{\log }_{ab}}x+{{\log }_{\frac{a}{b}}}x=\frac{3}{{{\log }_{x}}ab}+\frac{1}{{{\log }_{x}}\frac{a}{b}}=\frac{3}{{{\log }_{x}}a+{{\log }_{x}}b}+\frac{1}{{{\log }_{x}}a-{{\log }_{x}}b}$
$=\frac{3}{\frac{1}{{{\log }_{a}}x}+\frac{1}{{{\log }_{a}}y}}+\frac{1}{\frac{1}{{{\log }_{a}}x}-\frac{1}{{{\log }_{a}}y}}=\frac{3}{\frac{1}{4}+\frac{1}{5}}+\frac{1}{\frac{1}{4}-\frac{1}{5}}=\frac{80}{3}$. Chọn B
|
Ví dụ 13: Với 3 số thực a, b, c bất kỳ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. ${{\log }_{2}}\frac{8{{a}^{{{b}^{2}}}}}{c}=3+2b{{\log }_{2}}a-{{\log }_{2}}c$ B. ${{\log }_{2}}\frac{8{{a}^{{{b}^{2}}}}}{c}=3+{{b}^{2}}{{\log }_{2}}a-{{\log }_{2}}c$ C. ${{\log }_{2}}\frac{8{{a}^{{{b}^{2}}}}}{c}=3+\frac{1}{{{b}^{2}}}{{\log }_{2}}a-{{\log }_{2}}c$ D. ${{\log }_{2}}\frac{8{{a}^{{{b}^{2}}}}}{c}=3+{{b}^{2}}{{\log }_{2}}a+{{\log }_{2}}c$ |
Lời giải chi tiết
Ta có ${{\log }_{2}}\frac{8{{a}^{{{b}^{2}}}}}{c}={{\log }_{2}}8+{{\log }_{2}}{{a}^{{{b}^{2}}}}-{{\log }_{2}}c=3+{{b}^{2}}{{\log }_{2}}a-{{\log }_{2}}c$. Chọn B
|
Ví dụ 14: Biết rằng a, b, c >1 thõa mãn ${{\log }_{ab}}\left( bc \right)=2$.Tính giá trị của biểu thức $P={{\log }_{\frac{c}{b}}}{{a}^{4}}+{{\log }_{\frac{c}{a}}}\left( ab \right)$ A. $P=1$ B. $P=2$ C. $P=3$ D. $P=4$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${{\log }_{ab}}\left( bc \right)=2\Leftrightarrow bc={{\left( ab \right)}^{2}}={{a}^{2}}{{b}^{2}}\Leftrightarrow c={{a}^{2}}b$
Khi đó $P={{\log }_{\frac{{{a}^{2}}b}{b}}}{{a}^{4}}+{{\log }_{\frac{{{a}^{2}}b}{a}}}\left( ab \right)={{\log }_{{{a}^{2}}}}{{a}^{4}}+{{\log }_{ab}}\left( ab \right)=\frac{4}{2}+1=3$. Chọn C
|
Ví dụ 15: Biết rằng ${{\log }_{a}}b=\sqrt{3}$. Tính giá trị của biểu thức $A={{\log }_{a\sqrt{b}}}\left( \frac{{{a}^{3}}}{{{b}^{2}}} \right)$ A. $A=24-14\sqrt{3}$ B. $A=12-14\sqrt{3}$ C. $A=12-7\sqrt{3}$ D. $A=2\sqrt{3}$ |
Lời giải chi tiết
Cách 1: ${{\log }_{a}}b=\sqrt{3}\Leftrightarrow b={{a}^{\sqrt{3}}}$.Khi đó $a\sqrt{b}=a.\sqrt{{{a}^{\sqrt{3}}}}=a.{{a}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}}={{a}^{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}}$
Và $\frac{{{a}^{3}}}{{{b}^{2}}}=\frac{{{a}^{3}}}{{{a}^{2\sqrt{3}}}}={{a}^{3-2\sqrt{3}}}\Rightarrow A=\frac{1}{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}.\left( 3-2\sqrt{3} \right){{\log }_{a}}a=24-14\sqrt{3}$
Cách 2: ${{\log }_{a}}b=\sqrt{3}\Leftrightarrow b={{a}^{\sqrt{3}}}$.Chọn $a=2\Rightarrow b={{2}^{\sqrt{3}}}$ nhập vào máy tính biểu thức ${{\log }_{A\sqrt{B}}}\left( \frac{{{A}^{3}}}{{{B}^{2}}} \right)$ sau đó CALC với $A=2;B={{2}^{\sqrt{3}}}\Rightarrow A=24-14\sqrt{3}$. Chọn A
|
Ví dụ 16: Biết rằng ${{\log }_{a}}b=4$. Tính giá trị của biểu thức $A={{\log }_{\sqrt{a{{b}^{3}}}}}\left( \frac{{{b}^{3}}}{\sqrt{a}} \right)$ A. $A=\frac{23}{5}$ B. $A=\frac{23}{12}$ C. $A=\frac{23}{13}$ D. $A=\frac{23}{9}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${{\log }_{a}}b=4\Leftrightarrow b={{a}^{4}}$. Khi đó $\sqrt{a{{b}^{3}}}=\sqrt{a.{{\left( {{a}^{4}} \right)}^{3}}}=\sqrt{{{a}^{13}}}={{a}^{\frac{13}{2}}}$
Và $\frac{{{b}^{3}}}{\sqrt{a}}=\frac{{{\left( {{a}^{3}} \right)}^{4}}}{{{a}^{\frac{1}{2}}}}=\frac{{{a}^{12}}}{{{a}^{\frac{1}{2}}}}={{a}^{\frac{23}{2}}}\Rightarrow A=\frac{2}{13}.\frac{23}{2}{{\log }_{a}}a=\frac{23}{13}$.Chọn C
|
Ví dụ 1: Cho a, b > 0 thõa mãn ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=25ab$. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. ${{\log }_{3}}\left( a+b \right)=\frac{1+{{\log }_{3}}\left( ab \right)}{2}$ B. ${{\log }_{3}}\left( \frac{a+b}{3} \right)=\frac{{{\log }_{3}}a+{{\log }_{3}}b}{2}$ C. ${{\log }_{3}}\left( \frac{a+b}{3} \right)=\frac{1+{{\log }_{3}}a+{{\log }_{3}}b}{2}$ D. ${{\log }_{3}}\left( \frac{a+b}{3} \right)=1+\frac{{{\log }_{3}}a+{{\log }_{3}}b}{2}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=25ab\Leftrightarrow {{\left( a+b \right)}^{2}}=27ab\Leftrightarrow {{\log }_{3}}{{\left( a+b \right)}^{2}}={{\log }_{3}}\left( 27ab \right)$
$\Leftrightarrow 2{{\log }_{3}}\left( a+b \right)={{\log }_{3}}27+{{\log }_{3}}a+{{\log }_{3}}b=3+{{\log }_{3}}\left( ab \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( a+b \right)=\frac{3+{{\log }_{3}}\left( ab \right)}{2}$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( a+b \right)-1=\frac{1+{{\log }_{3}}\left( ab \right)}{2}\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\frac{a+b}{3}=\frac{1+{{\log }_{3}}\left( ab \right)}{2}$. Chọn C
|
Ví dụ 18: Cho a, b > 0 và thõa mãn ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=14ab$. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. ${{\log }_{2}}\left( \frac{a+b}{4} \right)=\frac{{{\log }_{2}}a+{{\log }_{2}}b}{2}$ B. ${{\log }_{2}}\left( \frac{a+b}{2} \right)=\frac{{{\log }_{2}}a+{{\log }_{2}}b}{4}$ C. ${{\log }_{2}}\left( \frac{a+b}{2} \right)=\frac{{{\log }_{2}}a+{{\log }_{2}}b}{2}$ D. ${{\log }_{2}}\left( \frac{a+b}{4} \right)=\frac{1+{{\log }_{2}}a+{{\log }_{2}}b}{2}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=14ab\Leftrightarrow {{\left( a+b \right)}^{2}}=16ab$
${{\log }_{2}}{{\left( a+b \right)}^{2}}={{\log }_{2}}\left( 16ab \right)\Leftrightarrow 2{{\log }_{2}}\left( a+b \right)=4+{{\log }_{2}}\left( ab \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( a+b \right)=2+\frac{{{\log }_{2}}\left( ab \right)}{2}\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( a+b \right)-{{\log }_{2}}4=\frac{{{\log }_{2}}\left( ab \right)}{2}$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\frac{a+b}{4}=\frac{{{\log }_{2}}a+{{\log }_{2}}b}{2}$. Chọn A
|
Ví dụ 19: Cho $f\left( x \right)=a\ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)+b\sin x+6$ với $a,b\in \mathbb{R}$. Biết $f\left( \log \left( \log e \right) \right)=2$. Tính giá trị của $f\left( \log \left( \ln 10 \right) \right)$ A. 4 B. 10 C. 8 D. 2 |
Lời giải chi tiết
Ta có: $f\left( \log \left( \ln 10 \right) \right)=f\left( \log \left( \frac{1}{\log e} \right) \right)=f\left[ -\log \left( \log e \right) \right]$
Mặt khác $f\left( -x \right)=a\ln \left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \right)-b\sin x+6=a\ln \frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}+x}-b\sin x+6$
$=-a\ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)-b\sin x+6=-f\left( x \right)+6+6=-f\left( x \right)+12$
Do đó $f\left[ -\log \left( \log e \right) \right]=-f\left( \log \left( \log e \right) \right)+12=10$. Chọn B
