Bài tập tính một logarit theo các logarit đã cho có đáp án – cách giải
Một số bt trắc nghiệm dạng bài biểu diễn biểu thức logarit theo biểu thức cho trước
| Ví dụ 1: Với các số thực dương x,y tùy ý, đặt ${{\log }_{2}}x=\alpha ,{{\log }_{2}}y=\beta $ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. ${{\log }_{16}}{{\left( \frac{\sqrt{{{x}^{3}}}}{{{y}^{2}}} \right)}^{4}}=\frac{3}{2}\alpha -2\beta $ B.${{\log }_{16}}{{\left( \frac{\sqrt{{{x}^{3}}}}{{{y}^{2}}} \right)}^{4}}=24\alpha -32\beta $ C.${{\log }_{16}}{{\left( \frac{\sqrt{{{x}^{3}}}}{{{y}^{2}}} \right)}^{4}}=\frac{2}{3}\alpha -2\beta $ D. ${{\log }_{16}}{{\left( \frac{\sqrt{{{x}^{3}}}}{{{y}^{2}}} \right)}^{4}}=\frac{2}{3}\alpha +2\beta $ |
Lời giải chi tiết
Ta có ${{\log }_{16}}{{\left( \frac{\sqrt{{{x}^{3}}}}{{{y}^{2}}} \right)}^{4}}={{\log }_{{{2}^{4}}}}{{\left( \frac{\sqrt{{{x}^{3}}}}{{{y}^{2}}} \right)}^{4}}={{\log }_{2}}\frac{\sqrt{{{x}^{3}}}}{{{y}^{2}}}={{\log }_{2}}\sqrt{{{x}^{3}}}-{{\log }_{2}}{{y}^{2}}=\frac{3}{2}{{\log }_{2}}x-2{{\log }_{2}}y$
= $\frac{3}{2}\alpha -2\beta $.Chọn A
| Ví dụ 2: Với các số thực dương x, y tùy ý, đặt ${{\log }_{2}}x=\alpha ,{{\log }_{2}}y=\beta $. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. ${{\log }_{\sqrt{2}}}{{\left( \frac{2\sqrt{{{x}^{3}}}}{{{y}^{2}}} \right)}^{2}}=1+\frac{3}{2}\alpha -2\beta $ B. ${{\log }_{\sqrt{2}}}{{\left( \frac{2\sqrt{{{x}^{3}}}}{{{y}^{2}}} \right)}^{2}}=4+6\alpha +8\beta $ C. ${{\log }_{\sqrt{2}}}{{\left( \frac{2\sqrt{{{x}^{3}}}}{{{y}^{2}}} \right)}^{2}}=1+\frac{3}{2}\alpha +2\beta $ D. ${{\log }_{\sqrt{2}}}{{\left( \frac{2\sqrt{{{x}^{3}}}}{{{y}^{2}}} \right)}^{2}}=4+6\alpha -8\beta $ |
Lời giải chi tiết
Ta có ${{\log }_{\sqrt{2}}}{{\left( \frac{2\sqrt{{{x}^{3}}}}{{{y}^{2}}} \right)}^{2}}={{\log }_{{{2}^{\frac{1}{2}}}}}{{\left( \frac{2\sqrt{{{x}^{3}}}}{{{y}^{2}}} \right)}^{2}}=4{{\log }_{2}}\frac{2\sqrt{{{x}^{3}}}}{{{y}^{2}}}=4.\left( {{\log }_{2}}2+{{\log }_{2}}\sqrt{{{x}^{3}}}-{{\log }_{2}}{{y}^{2}} \right)$
$=4\left( 1+{{\log }_{2}}{{x}^{\frac{3}{2}}}-2{{\log }_{2}}y \right)=4\left( 1+\frac{3}{2}{{\log }_{2}}x-2{{\log }_{2}}y \right)=4+6{{\log }_{2}}x-8{{\log }_{2}}y=4+6\alpha -8\beta $. Chọn D
| Ví dụ 3: Cho ${{\log }_{b}}a=x;{{\log }_{b}}c=y$. Hãy biểu diễn ${{\log }_{{{a}^{2}}}}\left( \sqrt[3]{{{b}^{5}}{{c}^{4}}} \right)$ theo x và y
A. $\frac{5+4y}{6x}$ B. $\frac{20y}{3x}$ C. $\frac{5+3{{y}^{4}}}{3{{x}^{2}}}$ D. $2x+\frac{20y}{3}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${{\log }_{{{a}^{2}}}}\left( \sqrt[3]{{{b}^{5}}{{c}^{4}}} \right)=\frac{1}{2}{{\log }_{a}}{{\left( {{b}^{5}}{{c}^{4}} \right)}^{\frac{1}{3}}}=\frac{1}{2}{{\log }_{a}}\left( {{b}^{\frac{5}{3}}}{{c}^{\frac{4}{3}}} \right)=\frac{1}{2}{{\log }_{a}}{{b}^{\frac{5}{3}}}+\frac{1}{2}{{\log }_{a}}{{c}^{\frac{4}{3}}}=\frac{5}{6}{{\log }_{a}}b+\frac{4}{6}{{\log }_{a}}c$
$=\frac{5}{6}.\frac{1}{{{\log }_{b}}a}+\frac{4}{6}\frac{{{\log }_{b}}c}{{{\log }_{b}}a}=\frac{5}{6x}+\frac{4y}{6x}=\frac{5+4y}{6x}$. Chọn A
| Ví dụ 4: Cho ${{\log }_{a}}x=m;{{\log }_{b}}x=n;{{\log }_{c}}x=p$. Hãy biểu diễn ${{\log }_{\frac{ab}{c}}}x$ theo m, n, p
A. $\frac{mnp}{mn+mp-np}$ B. $\frac{mnp}{np+mp-mn}$ C. $\frac{1}{m+n-p}$ D. $\frac{mnp}{m+n-p}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có ${{\log }_{\frac{ab}{c}}}x=\frac{1}{{{\log }_{x}}\frac{ab}{c}}=\frac{1}{{{\log }_{x}}a+{{\log }_{x}}b-{{\log }_{x}}c}=\frac{1}{\frac{1}{{{\log }_{a}}x}+\frac{1}{{{\log }_{b}}x}-\frac{1}{{{\log }_{c}}x}}$
$=\frac{1}{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}-\frac{1}{p}}=\frac{mnp}{np+mp-mn}$. Chọn B
| Ví dụ 5: Đặt ${{\log }_{2}}7=a;{{\log }_{3}}7=b$. Hãy tính ${{\log }_{14}}12$ theo a,b
A. ${{\log }_{14}}12=\frac{a+2b}{ab+a}$ B. ${{\log }_{14}}12=\frac{a+2b}{ab+b}$ C. ${{\log }_{14}}12=\frac{2a+b}{ab+a}$ D. ${{\log }_{14}}12=\frac{2a+b}{ab+b}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có ${{\log }_{14}}12=\frac{{{\log }_{2}}12}{{{\log }_{2}}14}=\frac{{{\log }_{2}}\left( {{2}^{2}}.3 \right)}{{{\log }_{2}}\left( 2.7 \right)}=\frac{2+{{\log }_{2}}3}{1+{{\log }_{2}}7}=\frac{2+{{\log }_{2}}7.{{\log }_{7}}3}{1+a}=\frac{2+\frac{a}{b}}{a+1}=\frac{a+2b}{ab+b}$
Cách 2 (Casio): Nhập ${{\log }_{2}}7-SHIFT-STO-A$ ( mục đích gán ${{\log }_{2}}7=A$)
Nhập ${{\log }_{3}}7-SHIFT-STO-B$ (gán ${{\log }_{3}}7=B$)
Lấy ${{\log }_{14}}12-\frac{A+2B}{AB+A};{{\log }_{14}}12-\frac{A+2B}{AB+B}…….$trong 4 kết quả kết quả nào cho đáp án bằng 0 thì đáp án đó là đáp án đúng. Chọn B
| Ví dụ 6: Cho ${{\log }_{2}}3=a,{{\log }_{2}}5=b$. Tính ${{\log }_{6}}45$ theo a,b
A. ${{\log }_{6}}45=\frac{a+2b}{2\left( 1+a \right)}$ B. ${{\log }_{6}}45=2a+b$ C. ${{\log }_{6}}45=\frac{2a+b}{1+a}$ D. ${{\log }_{6}}45=a+b-1$ |
Lời giải chi tiết
Ta có ${{\log }_{6}}45=\frac{{{\log }_{2}}45}{{{\log }_{2}}6}=\frac{{{\log }_{2}}\left( {{3}^{2}}.5 \right)}{{{\log }_{2}}\left( 2.3 \right)}=\frac{2{{\log }_{2}}3+{{\log }_{2}}5}{1+{{\log }_{2}}3}=\frac{2a+b}{1+a}$. Chọn C
| Ví dụ 7:Đặt $a={{\log }_{3}}4,b={{\log }_{5}}4$. Hãy biểu diễn ${{\log }_{12}}80$ theo a, b
A. ${{\log }_{12}}80=\frac{2{{a}^{2}}-2ab}{ab+b}$ B. ${{\log }_{12}}80=\frac{a+2ab}{ab}$ C. ${{\log }_{12}}80=\frac{a+2ab}{ab+b}$ D. ${{\log }_{12}}80=\frac{2{{a}^{2}}-2ab}{ab}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có ${{\log }_{12}}80=\frac{{{\log }_{4}}80}{{{\log }_{4}}12}=\frac{{{\log }_{4}}16+{{\log }_{4}}5}{{{\log }_{4}}3+{{\log }_{4}}4}=\frac{2+\frac{1}{b}}{\frac{1}{a}+1}=\frac{a+2ab}{ab+b}$. Chọn C
| Ví dụ 8: Đặt $a={{\log }_{2}}3;b={{\log }_{5}}2;c={{\log }_{2}}7$. Hãy ${{\log }_{42}}15$ biểu diễn theo a, b, c
A. ${{\log }_{42}}15=\frac{ab+1}{b\left( a+c+1 \right)}$ B. ${{\log }_{42}}15=\frac{ac+1}{c\left( a+c+1 \right)}$ C. ${{\log }_{42}}15=\frac{ac+1}{ab+b+c}$ D. ${{\log }_{42}}15=\frac{a+c}{a+b+bc}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có ${{\log }_{42}}15=\frac{{{\log }_{2}}15}{{{\log }_{2}}42}=\frac{{{\log }_{2}}3+{{\log }_{2}}5}{{{\log }_{2}}2+{{\log }_{2}}3+{{\log }_{2}}7}=\frac{a+\frac{1}{b}}{1+a+c}=\frac{ab+1}{b\left( a+c+1 \right)}$. Chọn A
| Ví dụ 9: Đặt $a={{\log }_{2}}5;b={{\log }_{3}}5$. Hãy biểu diễn $\log 75$ theo a,b
A. $\log 75=\frac{a+2ab}{ab+b}$ B.$\log 75=\frac{2{{a}^{2}}-2ab}{ab}$ C. $\log 75=\frac{a+ab}{ab}$ D. $\log 75=\frac{2{{a}^{2}}-2ab}{ab+b}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có $\log 75=\frac{{{\log }_{2}}75}{{{\log }_{2}}10}=\frac{{{\log }_{2}}\left( {{5}^{2}}.3 \right)}{{{\log }_{2}}\left( 2.5 \right)}=\frac{2{{\log }_{2}}5+{{\log }_{2}}3}{1+{{\log }_{2}}5}=\frac{2a+{{\log }_{2}}5.{{\log }_{5}}3}{1+a}$
$=\frac{\frac{a}{b}+2a}{1+a}=\frac{a+2ab}{\left( a+1 \right)b}$.Chọn C
| Ví dụ 10: Đặt $a={{\log }_{2}}3;b={{\log }_{5}}3$. Hãy biểu diễn ${{\log }_{6}}45$ theo a và b
A. ${{\log }_{6}}45=\frac{a+2ab}{ab}$ B. ${{\log }_{6}}45=\frac{2{{a}^{2}}-2ab}{ab}$ C. ${{\log }_{6}}45=\frac{a+2ab}{ab+b}$ D. ${{\log }_{6}}45=\frac{2{{a}^{2}}-2ab}{ab+b}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có ${{\log }_{6}}45=\frac{{{\log }_{2}}45}{{{\log }_{2}}6}=\frac{{{\log }_{2}}\left( 5.9 \right)}{{{\log }_{2}}\left( 2.3 \right)}=\frac{{{\log }_{2}}5+{{\log }_{2}}9}{1+{{\log }_{2}}3}=\frac{{{\log }_{2}}3.{{\log }_{3}}5+2{{\log }_{2}}3}{1+a}$
$=\frac{\frac{a}{b}+2a}{1+a}=\frac{a+2ab}{\left( a+1 \right)b}$. Chọn C
| Ví dụ 11: Biết ${{\log }_{27}}5=a,{{\log }_{8}}7=b,{{\log }_{2}}3=c$ thì ${{\log }_{12}}35$ tính theo a, b và c bằng
A. $\frac{3b+2ac}{c+2}$ B. $\frac{3(b+ac)}{c+2}$ C. $\frac{3b+2ac}{c+1}$ D. $\frac{3(b+ac)}{c+1}$ |
Lời giải chi tiết
${{\log }_{12}}35=\frac{{{\log }_{2}}35}{{{\log }_{2}}12}=\frac{{{\log }_{2}}7+{{\log }_{2}}5}{{{\log }_{2}}4+{{\log }_{2}}3}=\frac{3{{\log }_{8}}7+{{\log }_{2}}3.{{\log }_{3}}5}{c+2}=\frac{3b+3c.{{\log }_{27}}15}{c+2}=\frac{3\left( ac+b \right)}{c+2}$. Chọn B
| Ví dụ 12: Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $xy={{10}^{a}},yz={{10}^{2b}},zx={{10}^{3c}}\left( a,b,c\in \mathbb{R} \right)$.
Tính $P=\log x+\operatorname{logy}+logz$ theo a, b, c A. $P=3abc$ B. $P=a+2b+3c$ C. $P=6abc$ D. $P=\frac{a+2b+3c}{2}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có $xy={{10}^{a}},yz={{10}^{2b}},zx={{10}^{3c}}\Rightarrow {{\left( xyz \right)}^{2}}={{10}^{a+2b+3c}}$
Suy ra $P=\log x+\log y+\log z=\log \left( xyz \right)=\frac{1}{2}\log {{\left( xyz \right)}^{2}}=\frac{1}{2}\log {{10}^{a+2b+3c}}=\frac{a+2b+3c}{2}$. Chọn D
