Tổng hợp lý thuyết hàm số là gì? lý thuyết và công thức tóm tắt ngắn gọn toán lớp 12

Hàm số lũy thừa là gì? Lý thuyết, tập xác định, đạo hàm, đồ thị, tính chất

1. Định nghĩa: hàm số lũy thừa là gì?

Hàm số $y={{x}^{\alpha }}$ với $\alpha \in \mathbb{R},$ được gọi là hàm số lũy thừa.

2. Tập xác định của hàm số lũy thừa

Tập xác định của hàm số $y={{x}^{\alpha }}$ là:

$\mathbb{R}$ với $\alpha $ là số nguyên dương
$\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$ với $\alpha $ là số nguyên âm hoặc bằng 0.
$\left( 0;+\infty \right)$ với $\alpha $ không nguyên.

3. Đạo hàm của hàm số lũy thừa

Hàm số $y={{x}^{\alpha }}$ với $\alpha \in \mathbb{R}$ có đạo hàm với mọi $x>0$ và $\left( {{x}^{\alpha }} \right)’=\alpha .{{x}^{\alpha -1}}$

4. Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$

$y={{x}^{\alpha }}>0$ $\left( \forall x\in \left( 0;+\infty \right) \right)$
Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm $\left( 1;1 \right)$
Khi $\alpha >0\Rightarrow y’=\left( {{x}^{\alpha }} \right)’=\alpha .{{x}^{\alpha -1}}>0$ $\left( \forall x\in \left( 0;+\infty \right) \right)$ hàm số luôn đồng biến

Trong trường hợp này $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{\alpha }}=+\infty ;\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{\alpha }}=0$ do đó đồ thị hàm số không có đường tiệm cận

Khi $\alpha <0\Rightarrow y’=\left( {{x}^{\alpha }} \right)’=\alpha .{{x}^{\alpha -1}}<0$ $\left( \forall x\in \left( 0;+\infty \right) \right)$ hàm số luôn nghịch biến

Trong trường hợp này $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{\alpha }}=0;\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{\alpha }}=+\infty $ do đó đồ thị hàm số nhận trục $Ox$ là đường tiệm cận ngang và trục $Oy$ là đường tiệm cận đứng.

5. Đồ thị hàm số lũy thừa $y={{x}^{a}}$ trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$

Đồ thị hàm số $y={{x}^{\alpha }}$ luôn đi qua điểm $I\left( 1;1 \right).$

Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với sỗ mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó. Chẳng hạn:

Hàm số: $y={{x}^{3}}$ $\left( x\in \mathbb{R} \right).$

Hàm số: $y={{x}^{-4}}$ $\left( x\ne 0 \right).$

Hàm số: $y={{x}^{\frac{1}{3}}}$ $\left( x>0 \right).$