Hàm số mũ là gì? Định nghĩa, tập xác định, đạo hàm và đồ thị
1. Định nghĩa hàm số mũ cơ số a là gì?
Cho số thực $\left\{ \begin{align} & a>0 \\ & a\ne 1 \\ \end{align} \right..$ Hàm số $y={{a}^{x}}$ được gọi là hàm số mũ cơ số $a.$
2. Tập xác định của hàm số mũ
Tập xác định của hàm số $y={{a}^{x}}$ là : $D=\mathbb{R}$
Do $y={{a}^{x}}>0;\forall x\in \mathbb{R}$ suy ra tập giá trị của hàm số $y={{a}^{x}}$ là $T=\left( 0;+\infty \right)$
3. Đạo hàm của hàm số mũ
Đạo hàm: ${{\left( {{a}^{u}} \right)}^{\prime }}={{a}^{u}}\ln a.u’\Rightarrow \left| \begin{align} & {{\left( {{a}^{x}} \right)}^{\prime }}={{a}^{x}}\ln a \\ & {{\left( {{e}^{x}} \right)}^{\prime }}={{e}^{x}} \\ & {{\left( {{e}^{u}} \right)}^{\prime }}={{e}^{u}}.u’ \\ \end{align} \right..$ Công thức giới hạn: $\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{t}}-1}{t}=1.$
Với hàm số $y={{a}^{x}}$ ta có: $y’={{a}^{x}}\ln a$
- Với $a>1$ khi đó $y’={{a}^{x}}\ln a>0.$ Hàm số luôn đồng biến
Trong trường hợp $a>1$ ta có $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}^{x}}=0$ do đó đồ thị hàm số nhận trục hoành là tiệm cận ngang
- Với $0<a<1$ khi đó $y’={{a}^{x}}\ln a<0.$ Hàm số luôn nghịch biến
Trong trường hợp $a<1$ ta có $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}^{x}}=0$ do đó đồ thị hàm số nhận trục hoành là tiệm cân ngang
4. Đồ thị hàm số mũ $y={{a}^{x}}$
Đồ thị hàm số $y={{a}^{x}}$ nhận trục $Ox$ là tiệm cận ngang và luôn đi qua các điểm $\left( 0;1 \right)$ và $\left( 1;a \right)$
Đồ thị hàm số $y={{a}^{x}}$ nằm phía trên trục hoành $\left( y={{a}^{x}}>0\forall x\in \mathbb{R} \right)$
