Hàm số logarit là gì? Đạo hàm, đồ thị, tính chất, định nghĩa và tập xác định
1. Định nghĩa của hàm số logarit cơ số a là gì?
Cho số thực $\left\{ \begin{align} & a>0 \\ & a\ne 1 \\ \end{align} \right..$ Hàm số $y={{\log }_{a}}x$ được gọi là hàm số lôgarít cơ số $a.$
2. Tập xác định của hàm số logarit cơ số a
- Hàm số: $y={{\log }_{a}}x\left( 0<a\ne 1 \right)$ có tập xác định: $D=\left( 0;+\infty \right)$
Do ${{\log }_{a}}x\in \mathbb{R}$ nên hàm số $y={{\log }_{a}}x$ có tập giá trị là $T=\mathbb{R}.$
- Hàm số $y={{\log }_{a}}\left[ P\left( x \right) \right]\Rightarrow $ điều kiện: $P\left( x \right)>0.$
Nếu $a$ chứa biến $x$ thì ta bổ sung điều kiện $0<a\ne 1.$
Đặc biệt: $y={{\log }_{a}}{{\left[ P\left( x \right) \right]}^{n}}\Rightarrow $ điều kiện: $P\left( x \right)>0$ nếu $n$ lẻ; $P\left( x \right)\ne 0$ nếu $n$ chẵn.
3. Đạo hàm của hàm số logarit cơ số a
Đạo hàm: ${{\left( {{\log }_{a}}u \right)}^{\prime }}=\frac{{{u}’}}{u\ln a}\Rightarrow {{\left( {{\log }_{a}}x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{x\ln a}.$ Đặc biệt: ${{\left( {{\log }_{a}}\left| u \right| \right)}^{\prime }}=\frac{{{u}’}}{u\ln a}.$
4. Tính chất
Với hàm số $y={{\log }_{a}}x\Rightarrow y’=\frac{1}{x\ln a}\left( \forall x\in \left( 0;+\infty \right) \right).$ Do đó:
- Với $a>1$ ta có $\left( {{\log }_{a}}x \right)’=\frac{1}{x\ln a}>0\Rightarrow $ Hàm số luôn đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right).$
Trong trường hợp này ta có: $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=-\infty $ do đó đồ thị hàm số nhận trục tung là tiệm cận đứng.
- Với $0<a<1$ ta có: $\left( {{\log }_{a}}x \right)’=\frac{1}{x\ln a}<0\Rightarrow $ Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right).$
- Trong trường hợp này ta có: $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=+\infty $ do đó đồ thị hàm số nhận trục tung là tiệm cận đứng.
5. Đồ thị hàm số logarit $y={{\log }_{a}}x$
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là trục $Oy$ và luôn đi qua các điểm $\left( 1;0 \right)$ và $\left( a;1 \right)$ và nằm phía bên phải trục tung vì có tập xác định là $D\left( 0;+\infty \right).$
Đồ thị nhận trục tung là tiệm cận đứng.
@ Nhận xét: Đồ thị hàm số $y={{a}^{x}}$ và $y={{\log }_{a}}x,\left( 0<a\ne 1 \right)$ đối xứng nhau qua đường thẳng $y=x,$(góc phần tư thứ nhất và thứ 3 trong hệ trục tọa độ $Oxy).$
