Tìm nhanh giao tuyến giữa 2 mặt phẳng trong không gian – bài tập có đáp án
Phương pháp giải xác định giao tuyến giữa 2 mp
Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, ta đi tìm hai điểm chung của chúng. Đường thẳng đi qua hai điểm chung đó là giao tuyến.
Lưu ý: Điểm chung của hai mặt phẳng (P) và (Q) thường được tìm như sau:
Tìm hai đường thẳng a và b lần lượt thuộc mặt phẳng (P) và (Q) cùng nằm trong một mặt phẳng (R). Giao điểm $M=a\cap b$ chính là điểm chung của mặt phẳng (P) và (Q).
Bài tập trắc nghiệm tình giao tuyến giữa hai mặt phẳng
| Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là tứ giác có cặp cạnh đối diện không song song, điểm M thuộc cạnh SA. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau:
A. (SAC) và (SBD) B. (SAC) và (MBD) C. (MBC) và (SAD) D. (SAB) và (SCD) |
Lời giải chi tiết
a) Trong mặt phẳng (ABCD) gọi $O=AC\cap BD\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} O\in AC\subset \left( SAC \right) \\ {} O\in BD\subset \left( SBD \right) \\ \end{array} \right.$ .
Khi đó hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) có hai điểm chung là S và O$\Rightarrow SO=\left( SAC \right)\cap \left( SBD \right).$
b) Điểm $M\in SA\Rightarrow M\in \left( SAC \right).$
Hai mặt phẳng (SAC) và (MBD) có hai điểm chung là O và M nên $OM=\left( SAC \right)\cap \left( MBD \right).$
c) Gọi $F=AD\cap BC$ suy ra $\left\{ \begin{array} {} F\in \left( MBC \right) \\ {} F\in \left( SAD \right) \\ \end{array} \right..$ Khi đó hai mặt phẳng (MBC) và (SAD) có hai điểm chung là M và F $\Rightarrow MF=\left( MBC \right)\cap \left( SAD \right)$ .
d) Gọi $E=AB\cap CD$ suy ra $\left\{ \begin{array} {} E\in \left( SAB \right) \\ {} E\in \left( SCD \right) \\ \end{array} \right.\Rightarrow $ hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) có hai điểm chung là S và E $\Rightarrow SE=\left( SAB \right)\cap \left( SCD \right)$ .
| Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABC và điểm I thuộc đoạn SA. Một đường thẳng không song song với mặt cắt các cạnh AB và BC lần lượt tại J và K. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau:
A. Mặt phẳng (IJK) và (SAC) B. Mặt phẳng (IJK) và (SAB) C. Mặt phẳng (IJK) và (SBC) |
Lời giải chi tiết
a) Trong mặt phẳng (ABC) gọi $M=JK\cap AC$ .
Khi đó 2 mặt phẳng (IJK) và (SAC) có hai điểm chung là I và M.
Suy ra $IM=\left( \text{IJ}K \right)\cap \left( SAC \right)$ .
b) Hai mặt phẳng (IJK) và (SAB) có hai điểm chung là I và J $\Rightarrow \text{IJ}=\left( \text{IJ}K \right)\cap \left( SAB \right)$ .
c) Trong mặt phẳng (SAC) gọi $E=SC\cap IM$ .
Khi đó $\left\{ \begin{array} {} E\in \left( \text{IJ}K \right) \\ {} E\in \left( SBC \right) \\ \end{array} \right.\Rightarrow $hai mặt phẳng (IJK) và (SBC) có hai điểm chung là E và K. Do đó $KE=\left( \text{IJ}K \right)\cap \left( SBC \right)$
| Bài tập 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (JAD) b) Điểm M nằm trên cạnh AB, điểm N nằm trên cạnh AC. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (DMN). |
Lời giải chi tiết
a) Ta có: $I\in AD\Rightarrow I\in \left( JAD \right)\cap \left( IBC \right)$
$J\in BC\Rightarrow J\in \left( JAD \right)\cap \left( IBC \right).$
Do đó $\text{IJ}=\left( IBC \right)\cap \left( JAD \right)$
b) Trong mặt phẳng (ABC) gọi $E=DM\cap IB$
suy ra $E\in \left( DMN \right)\cap \left( IBC \right)$
Do đó $\text{EF}=\left( DMN \right)\cap \left( IBC \right)$
| Bài tập 4: Cho tứ diện ABCD. Điểm M nằm bên trong tam giác ABD, điểm N nằm bên trong tam giác ACD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau:
a) (AMN) và (BCD). b) (DMN) và (ABC). |
Lời giải chi tiết
a) Trong mặt phẳng (ABD) gọi $Q=AM\cap BD$
Khi đó $Q\in \left( AMN \right)\cap \left( BCD \right)$
Tương tự gọi $P=AN\cap CD\Rightarrow P=\left( AMN \right)\cap \left( BCD \right)$
Do vậy $PQ=\left( AMN \right)\cap \left( BCD \right).$
b) Trong mặt phẳng (ABD) gọi $E=DM\cap AB$ suy ra $E\in \left( DMN \right)\cap \left( ABC \right)$ .
Trong mặt phẳng (ACD) gọi $F=DN\cap AC$ suy ra $F\in \left( DMN \right)\cap (ABC).$
Do đó $\text{EF}=\left( DMN \right)\cap \left( ABC \right)$
| Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD và SO. Tìm giao tuyến của
a) Mặt phẳng (MNP) và (SAB). b) Mặt phẳng (MNP) và (SBC). |
Lời giải chi tiết
a) Gọi $H=NO\cap AB,$ trong mặt phẳng (SHN) dựng NP cắt SH tại $Q\Rightarrow Q\cap \left( MNP \right)\cap \left( SAB \right).$
Gọi $F=NM\cap AB\Rightarrow F\in \left( MNP \right)\cap \left( SAB \right).$ Do đó $QF=\left( SAB \right)\cap \left( MNP \right)$
b) Trong mặt phẳng (SAB). Gọi $E=QF\cap SB\Rightarrow E=\left( SBC \right)\cap \left( MNP \right)$
Do đó $ME=\left( MNP \right)\cap \left( SBC \right).$
| Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SA và SB. Khẳng định nào sau đây sai?
A. IJCD là hình thang B. $\left( SAB \right)\cap \left( IBC \right)=IB$ C. $\left( SBD \right)\cap \left( JCD \right)=JD$ D. $\left( IAC \right)\cap \left( IBD \right)=AO,$ (O là tâm ABCD) |
Lời giải chi tiết
Ta có $\left\{ \begin{array} {} \text{IJ}\parallel AB \\ {} AB\parallel CD \\ \end{array} \right.\Rightarrow \text{IJ}\parallel CD\Rightarrow $Loại A
+) $\left( SAB \right)\cap \left( IBC \right)=IB\Rightarrow $Loại B
+) $\left( SBD \right)\cap \left( JCD \right)=JD\Rightarrow $ Loại C
+) $\left( IAC \right)\cap \left( JBD \right)=\left( SAC \right)\cap \left( SBD \right)=SO.$ Chọn D.
| Bài tập 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD (AD//BC). Gọi M là trung điểm của CD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (MSB) và (SAC) là:
A. SI, I là giao điểm của AC và BM B. SJ (J là giao điểm của AM và BD). C. SO (O là giao điểm của AC và BD) D. SP (P là giao điểm của AB và CD) |
Lời giải chi tiết
Ta có: $\left( MSB \right)\cap \left( SAC \right)=SI.$ Chọn A
| Bài tập 8: Cho hình tứ diện ABCD, trên các cạnh AB và AC lấy các điểm M và N sao cho MN cắt đường thẳng BC tại E, điểm P thuộc cạnh BD. Gọi Q là giao điểm của CD và PE. Khẳng định nào sau đây là sai:
A. $\left( MNP \right)\cap \left( BCD \right)=PE$ B. $\left( MNP \right)\cap \left( ABD \right)=MP$ C. $\left( MNP \right)\cap \left( ABC \right)=MN$ D. $\left( MNP \right)\cap \left( ACD \right)=PN$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $E\in MN\Rightarrow E\in \left( MNP \right)$
Khi đó (MNP) và (BCD) có 2 điểm chung là P và E
Do đó $\left( MNP \right)\cap (BCD)=PE.$
Điểm M, P$\in \left( ABD \right)$ suy ra $\left( MNP \right)\cap \left( ABD \right)=MP$
Điểm $M,N\in \left( ABC \right)$ suy ra $\left( MNP \right)\cap \left( ABC \right)=MN.$
$\left( MNP \right)\cap \left( ACD \right)=NQ.$
Khẳng định sai là D. Chọn D.
| Bài tập 9: Cho hình tứ diện ABCD, trên các cạnh AB, AC và AD lần lượt lấy các điểm M, N và P. Đường thẳng MN và BC cắt nhau tại E, đường thẳng MP và BD cắt nhau tại F. Khẳng định nào sau đây là sai.
A. $\left( MNP \right)\cap \left( ABC \right)=ME$ B. $\left( MNP \right)\cap \left( ABD \right)=MF$ C. $\left( MNP \right)\cap \left( ACD \right)=CD$ D. $\left( MNP \right)\cap \left( BCD \right)=EF$ |
Lời giải chi tiết
Điểm M, E cùng thuộc 2 mặt phẳng (MNP) và (ABC) do đó
$\left( MNP \right)\cap \left( ABC \right)=ME.$
Tương tự: $\left( MNP \right)\cap \left( ABD \right)=MF.$
+) $\left( MNP \right)\cap \left( ACD \right)=NP$
+) $\left( MNP \right)\cap \left( BCD \right)\text{=EF}$
Khẳng định sai là C. Chọn C.
| Bài tập 10: Cho hình tứ diện ABCD, các điểm M và N lần lượt nằm trong tam giác ABD và ACD, AM cắt BD tại P, AN cắt CD tại Q, đường thẳng PQ cắt BC tại E. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. $\left( AMN \right)\cap \left( BCD \right)=PQ$ . B. $\left( AMN \right)\cap \left( ABC \right)=AE$ . C. $\left( AMN \right)\cap \left( ABD \right)=AE.$ D. $\left( AMN \right)\cap \left( ABD \right)=AP$. |
Lời giải chi tiết
Hai mặt phẳng (AMN) và (BCD) có 2 điểm chung là P và Q do đó $\left( AMN \right)\cap \left( BCD \right)=PQ.$
Vì $PQ\cap \left( BC \right)=E\Rightarrow E$ thuộc (APQ) và (ABC)
Hai mặt phẳng (AMN) và (ABC) có 2 điểm chung là A và E nên $\left( AMN \right)\cap \left( ABC \right)=AE$ .
Hai mặt phẳng (AMN) và (ABD) có 2 điểm chung là A và P $\left( AMN \right)\cap \left( ABD \right)=AP.$ Đáp án sai là C. Chọn C
