Lập phương trình mặt cầu – Các giải tổng quát và bài tập có đáp án
Phương pháp giải lập phương trình mặt cầu
· Phương trình chính tắc của mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}+{{\left( z-c \right)}^{2}}={{R}^{2}}$
· Phương trình tổng quát của mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by-2cz+d$ với tâm $I\left( a;b;c \right)$ bán kính $R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d}$.
Chú ý:
– Nếu A, B thuộc mặt cầu $\left( S \right)\Rightarrow IA=IB=R$.
– Nếu $IA=IB$ thì ta có: $2.\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OI}=O{{B}^{2}}-O{{A}^{2}}\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OI}=\frac{O{{B}^{2}}-O{{A}^{2}}}{2}$
Chứng minh: Ta có: $IA=IB\Leftrightarrow I{{A}^{2}}=I{{B}^{2}}\Leftrightarrow {{\overrightarrow{IA}}^{2}}={{\overrightarrow{IB}}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( \overrightarrow{IO}+\overrightarrow{OA} \right)}^{2}}={{\left( \overrightarrow{IO}+\overrightarrow{OB} \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow 2\overrightarrow{IO}.\left( \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} \right)=O{{B}^{2}}-O{{A}^{2}}\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OI}=\frac{O{{B}^{2}}-O{{A}^{2}}}{2}$.
– Với bài toán: Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D ta sẽ làm như sau:
Gọi $I\left( x;y;z \right)$ là tâm mặt cầu thì: $IA=IB=IC=ID$ khi đó $I\left( x;y;z \right)$ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{array} {} IA=IB \\ {} IA=IC \\ {} IA=ID \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OI}=\frac{O{{B}^{2}}-O{{A}^{2}}}{2} \\ {} \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{OI}=\frac{O{{C}^{2}}-O{{A}^{2}}}{2} \\ {} \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{OI}=\frac{O{{D}^{2}}-O{{A}^{2}}}{2} \\ \end{array} \right.\xrightarrow{{}}$ CASIO suy ra tọa độ điểm I.
Trong đó $O\left( 0;0;0 \right)$ là gốc tọa độ, giải hệ phương trình suy ra tọa độ điểm I.
Bài tập phương trình mặt cầu có Lời giải chi tiết
| Bài tập 1: Lập phương trình của mặt cầu $\left( S \right)$ biết:
a) Tâm I thuộc Oy, đi qua $A\left( 1;1;3 \right);\text{ }B\left( -1;3;3 \right)$. b) Tâm I thuộc Oz, đi qua $A\left( 2;1;1 \right);\text{ }B\left( 4;-1;-1 \right)$. |
Lời giải chi tiết
a) Gọi $I\left( 0;y;0 \right)$ ta có: $I{{A}^{2}}=I{{B}^{2}}\Leftrightarrow 1+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+9=1+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+9\Leftrightarrow y=2\Rightarrow R=IA=\sqrt{14}$
Suy ra $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=14$.
b) Gọi $I\left( 0;0;z \right)$ ta có: $I{{A}^{2}}=I{{B}^{2}}\Leftrightarrow 4+1+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=16+1+{{\left( z+1 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow 4z=-12\Leftrightarrow z=-3\Rightarrow I\left( 0;0;-3 \right);R=\sqrt{21}$.
Phương trình mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=21$
| Bài tập 2: Lập phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ biết:
a) Tâm I thuộc $d:\left\{ \begin{array} {} x=1+t \\ {} y=t \\ {} z=2t \\ \end{array} \right.$ và đi qua $A\left( 3;0;-1 \right);\text{ }B\left( 1;4;1 \right)$. b) Tâm I thuộc $d:\frac{x-2}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{2}$ và đi qua $A\left( 3;6;-1 \right);\text{ }B\left( 5;4;-3 \right)$. |
Lời giải chi tiết
a) Gọi $I\left( 1+t;t;2t \right)$ là tâm mặt cầu ta có:
$I{{A}^{2}}=I{{B}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( t-2 \right)}^{2}}+{{t}^{2}}+{{\left( 2t+1 \right)}^{2}}={{t}^{2}}+{{\left( t-4 \right)}^{2}}+{{\left( 2t-1 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow -12t=-12\Leftrightarrow t=1\Rightarrow I\left( 2;1;2 \right)\Rightarrow R=\sqrt{11}$.
Phương trình mặt cầu là: ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=11$.
b) Gọi $I\left( 2-t;1+t;2t \right)$ là tâm mặt cầu ta có:
$I{{A}^{2}}=I{{B}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( t+1 \right)}^{2}}+{{\left( t-5 \right)}^{2}}+{{\left( 2t+1 \right)}^{2}}={{\left( t+3 \right)}^{2}}+{{\left( t-3 \right)}^{2}}+{{\left( 2t+3 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow -16t=0\Leftrightarrow t=0\Rightarrow I\left( 2;1;0 \right)\Rightarrow R=3\sqrt{3}$
Phương trình mặt cầu là: ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=27$.
| Bài tập 3: Lập phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ biết $\left( S \right)$
a) Đi qua 4 điểm $A\left( 2;4;-1 \right);\text{ }B\left( 1;-4;-1 \right);\text{ }C\left( 2;4;3 \right);\text{ }D\left( 2;2;-1 \right)$. b) Đi qua 4 điểm $A\left( 3;3;0 \right);\text{ }B\left( 3;0;3 \right);\text{ }C\left( 0;3;3 \right);\text{ }D\left( 3;3;-3 \right)$. |
Lời giải chi tiết
Áp dụng: $IA=IB=IC=ID$thì $I\left( x;y;z \right)$ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OI}=\frac{O{{B}^{2}}-O{{A}^{2}}}{2} \\ {} \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{OI}=\frac{O{{C}^{2}}-O{{A}^{2}}}{2} \\ {} \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{OI}=\frac{O{{D}^{2}}-O{{A}^{2}}}{2} \\ \end{array} \right.$.
a) Gọi $I\left( x;y;z \right)$ là tâm mặt cầu ta có: $\left\{ \begin{array} {} IA=IB \\ {} IA=IC \\ {} IA=ID \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OI}=\frac{O{{B}^{2}}-O{{A}^{2}}}{2} \\ {} \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{OI}=\frac{O{{C}^{2}}-O{{A}^{2}}}{2} \\ {} \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{OI}=\frac{O{{D}^{2}}-O{{A}^{2}}}{2} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} x=\frac{-45}{2} \\ {} z=1 \\ {} y=3 \\ \end{array} \right.$
Phương trình mặt cầu: ${{\left( x+\frac{45}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=\frac{2421}{4}$.
b) Gọi $I\left( x;y;z \right)$ là tâm mặt cầu ta có: $\left\{ \begin{array} {} \left( 0;-3;3 \right)\left( x;y;z \right)=0 \\ {} \left( -3;0;3 \right)\left( x;y;z \right)=0 \\ {} \left( 0;0;-3 \right)\left( x;y;z \right)=\frac{9}{2} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x=-\frac{3}{2} \\ {} y=-\frac{3}{2} \\ {} z=-\frac{3}{2} \\ \end{array} \right.$.
Phương trình mặt cầu: ${{\left( x+\frac{3}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y+\frac{3}{2} \right)}^{2}}+{{\left( z+\frac{3}{2} \right)}^{2}}=\frac{171}{4}$.
| Bài tập 4: Lập phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ biết
a) $\left( S \right)$ đi qua $A\left( 2;0;1 \right);B\left( 1;0;0 \right);C\left( 1;1;1 \right)$ và $I\in \left( P \right):x+y+z-2=0$. b) $\left( S \right)$ đi qua $A\left( -2;4;1 \right);B\left( 3;1;-3 \right);C\left( -5;0;0 \right)$ và $I\in \left( P \right):2x+y-z+3=0$. |
Lời giải chi tiết
Gọi $I\left( x;y;z \right)$ là tâm mặt cầu
a) Ta có: $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OI}=\frac{O{{B}^{2}}-O{{A}^{2}}}{2} \\ {} \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{OI}=\frac{O{{C}^{2}}-O{{A}^{2}}}{2} \\ {} x+y+z-2=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \left( -1;0;-1 \right)\left( x;y;z \right)=-2 \\ {} \left( -1;1;0 \right)\left( x;y;z \right)=-1 \\ {} x+y+z=2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x=1 \\ {} y=0 \\ {} z=1 \\ \end{array} \right.$.
Khi đó $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=1$.
b) Ta có: $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OI}=\frac{O{{B}^{2}}-O{{A}^{2}}}{2} \\ {} \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{OI}=\frac{O{{C}^{2}}-O{{A}^{2}}}{2} \\ {} 2x+y-z+3=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \left( 5;-3;-4 \right)\left( x;y;z \right)=-1 \\ {} \left( -3;-4;-1 \right)\left( x;y;z \right)=2 \\ {} 2x+y-z=-3 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x=1 \\ {} y=-2 \\ {} z=3 \\ \end{array} \right.$.
Khi đó $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=49$.
| Bài tập 5: [Đề thi THPT Quốc gia 2017] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu đi qua ba điểm $M\left( 2;3;3 \right);\text{ }N\left( 2;-1;-1 \right);\text{ }P\left( -2;-1;3 \right)$ và có tâm thuộc mặt phẳng: $\left( \alpha \right):2x+3y-z+2=0$.
A. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2y-2z-10=0$. B. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4x+2y-6z-2=0$. C. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4x-2y+6z+2=0$. D. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+2y-2z-2=0$. |
Lời giải chi tiết
Giả sử mặt cầu có tâm $I\left( x;y;z \right)$.
Ta có: $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{OI}=\frac{O{{N}^{2}}-O{{M}^{2}}}{2} \\ {} \overrightarrow{MP}.\overrightarrow{OI}=\frac{O{{P}^{2}}-O{{M}^{2}}}{2} \\ {} 2x+3y-z+2=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \left( 0;-4;-4 \right)\left( x;y;z \right)=-8 \\ {} \left( -4;-4;0 \right)\left( x;y;z \right)=-4 \\ {} 2x+y-z=-2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x=2 \\ {} y=-1 \\ {} z=3 \\ \end{array} \right.$.
Phương trình mặt cầu là: ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=16$ hay ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4x+2y-6z-2=0$.
Chọn B.
| Bài tập 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm $A\left( 2;-4;0 \right),\text{ }B\left( 0;0;4 \right),\text{ }C\left( -1;0;3 \right)$. Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là:
A. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y+4z=0$. B. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4x+3y-4z=0$. C. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-6x+2y-4z=0$. D. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y-4z=0$. |
Lời giải chi tiết
Gọi $I\left( x;y;z \right)$ là tâm mặt cầu ta có: $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{OI}.\overrightarrow{OA}=\frac{O{{A}^{2}}}{2} \\ {} \overrightarrow{OI}.\overrightarrow{OI}=\frac{O{{B}^{2}}}{2} \\ {} \overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OI}=\frac{O{{C}^{2}}}{2} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \left( 2;-4;0 \right)\left( x;y;z \right)=10 \\ {} \left( 0;0;4 \right)\left( x;y;z \right)=8 \\ {} \left( -1;0;3 \right)\left( x;y;z \right)=5 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x=1 \\ {} y=-2 \\ {} z=2 \\ \end{array} \right.$
Phương trình mặt cầu là: ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=9$ hay ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y-4z=0$. Chọn D.
| Bài tập 7: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 điểm $A\left( 3;2;-3 \right);B\left( -1;-2;1 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+y+z=0$. Viết phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm I thuộc $\left( P \right)$ đi qua A, B sao cho tam giác OIA vuông tại gốc tọa độ O.
A. $\left( S \right):{{\left( x+5 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=84$. B. $\left( S \right):{{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{\left( y+6 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=84$. C. $\left( S \right):{{\left( x+5 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=42$. D. $\left( S \right):{{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{\left( y+6 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=42$. |
Lời giải chi tiết
Phương trình mặt phẳng trung trực của AB là: $\left( Q \right):x+y-z-2=0$.
Gọi $d=\left( P \right)\cap \left( Q \right)\Rightarrow d\left\{ \begin{array} {} x=t \\ {} y=1-t \\ {} z=-1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow I\left( t;1-t;-1 \right)$.
Ta có: $\overrightarrow{OI}.\overrightarrow{OA}=0\Leftrightarrow 3t+2-2t+3=0\Leftrightarrow t=-5\Rightarrow I\left( -5;6;-1 \right)$.
Vậy PT mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x+5 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=84$. Chọn A.
| Bài tập 8: Trong không gian tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm $A\left( 3;1;1 \right);B\left( 0;1;4 \right);C\left( -1;-3;1 \right)$ và có tâm thuộc mặt phẳng $\left( P \right):x+y-2z+4=0$ là:
A. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=9$. B. ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=9$. C. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=81$. D. ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=81$. |
Lời giải chi tiết
Gọi $I\left( x;y;z \right)$ là tâm mặt cầu
Ta có: $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OI}=\frac{O{{B}^{2}}-O{{A}^{2}}}{2} \\ {} \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{OI}=\frac{O{{C}^{2}}-O{{A}^{2}}}{2} \\ {} x+y-2z+4=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \left( -3;0;3 \right)\left( x;y;z \right)=3 \\ {} \left( -4;-4;0 \right)\left( x;y;z \right)=0 \\ {} x+y-2z=-4 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x=1 \\ {} y=-1 \\ {} z=2 \\ \end{array} \right.$.
Khi đó phương trình mặt cầu là: ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=9$. Chọn A.
| Bài tập 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng $\left( P \right):2x+6y+z-3=0$ cắt trục Oz và đường thẳng $d:\frac{x-5}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-6}{-1}$ lần lượt tại A và B. Phương trình mặt cầu đường kính AB là
A. ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z-5 \right)}^{2}}=9$. B. ${{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z+5 \right)}^{2}}=36$. C. ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z-5 \right)}^{2}}=36$. D. ${{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z+5 \right)}^{2}}=9$. |
Lời giải chi tiết
Ta có $A\in Oz\Rightarrow A\left( 0;0;a \right)$ mà $A\in \left( P \right)\Rightarrow 2.0+6.0+a-3=0\Leftrightarrow a=3\Rightarrow A\left( 0;0;3 \right)$.
Lại có $d:\left\{ \begin{array} {} x=5+t \\ {} y=2t \\ {} z=6-t \\ \end{array} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)$ mà $B\in d\Rightarrow B\left( t+5;2t;6-t \right)$.
Hơn nữa $B\in \left( P \right)\Rightarrow 2\left( t+5 \right)+6.2t+\left( 6-t \right)-3=0\Leftrightarrow 13t+13=0\Leftrightarrow t=-1\Rightarrow B\left( 4;-2;7 \right)$.
Mặt cầu đường kính AB có tâm I là trung điểm của AB $\Rightarrow I\left( 2;-1;5 \right)$.
Mặt cầu đường kính AB có bán kính $R=\frac{1}{2}AB$.
Mà $\overrightarrow{AB}=\left( 4;-2;4 \right)\Rightarrow AB=\sqrt{{{4}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{4}^{2}}}=6\Rightarrow R=3\Rightarrow \left( S \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z-5 \right)}^{2}}=9$.
Chọn A.
