Cách Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng – Bài tập có đáp án
Phương pháp viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng
Có hai đặc điểm quan trọng của bài toán về trường hợp mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
· Điều kiện tiếp xúc $d\left( I;\left( P \right) \right)=R$.
· Tâm I sẽ nằm trên đường thẳng D đi qua điểm tiếp xúc và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$.
Bài tập viết phương trình mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng có đáp án chi tiết
| Bài tập 1: Lập phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ tiếp xúc $\left( P \right):3x+y+z-4=0$ tại điểm $M\left( 1;-2;3 \right)$ và đi qua $A\left( -1;0;1 \right)$. |
Lời giải chi tiết
Do $\left( S \right)$ tiếp xúc với $\left( P \right)$ tại $M\left( 1;-2;3 \right)$ nên $IM\bot \left( P \right)\Rightarrow IM$ qua $M\left( 1;-2;3 \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 3;1;1 \right)$ suy ra $IM:\left\{ \begin{array} {} x=1+3t \\ {} y=-2+t \\ {} z=3+t \\ \end{array} \right.$
Gọi $I\left( 1+3t;-2+t;3+t \right)$. Ta có $I{{M}^{2}}=I{{A}^{2}}\Leftrightarrow 11{{t}^{2}}={{\left( 3t+2 \right)}^{2}}+{{\left( t-2 \right)}^{2}}+{{\left( t+2 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow 12t+12=0\Leftrightarrow t=-1$.
Suy ra $I\left( -2;-3;2 \right);R=IA=\sqrt{11}\Rightarrow \left( S \right):{{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=11$.
| Bài tập 2: Lập phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ tiếp xúc $\left( P \right):x+2y+3z+10=0$ tại điểm $M\left( 2;-3;-2 \right)$ và đi qua $A\left( 0;1;2 \right)$. |
Lời giải chi tiết
Do $\left( S \right)$ tiếp xúc với $\left( P \right)$ tại $M\left( 2;-3;-2 \right)$ nên $IM\bot \left( P \right)\Rightarrow IM$ qua $M\left( 2;-3;-2 \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 1;2;3 \right)$ suy ra $IM:\left\{ \begin{array} {} x=2+t \\ {} y=-3+2t \\ {} z=-2+3t \\ \end{array} \right.$
Gọi $I\left( 2+t;-3+2t;-2+3t \right)$. Ta có $I{{M}^{2}}=I{{A}^{2}}\Leftrightarrow 14{{t}^{2}}={{\left( t+2 \right)}^{2}}+{{\left( 2t-4 \right)}^{2}}+{{\left( 3t-4 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow 36-36t=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow I\left( 3;-1;1 \right);R=IA=\sqrt{14}$.
Phương trình mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=14$.
| Bài tập 3: Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu có tâm $I\left( -1;2;-1 \right)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( P \right):2x-y+2z-3=0$?
A. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=3$. B. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=9$. C. ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=3$. D. ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=9$. |
Lời giải chi tiết
Bán kính mặt cầu tâm I là: $R=d\left( I;\left( P \right) \right)=\frac{\left| 2.\left( -1 \right)-2-2-3 \right|}{\sqrt{4+1+4}}=3$.
Do đó phương trình mặt cầu là: ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=9$. Chọn D.
| Bài tập 4: Có bao nhiêu mặt phẳng song song với mặt phẳng $\left( \alpha \right):x+y+z=0$ đồng thời tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y-2z=0$?
A. 1. B. 0. C. vô số. D. 2. |
Lời giải chi tiết
Mặt cầu có tâm $I\left( 1;1;1 \right);\text{ }R=\sqrt{3}$.
Mặt phẳng cầm tìm có dạng $\left( P \right):x+y+z+m=0\text{ }\left( \text{Do }\left( P \right)//\left( \alpha \right)\Rightarrow m\ne 0 \right)$.
Điều kiện tiếp xúc: $d\left( I;\left( P \right) \right)=R\Leftrightarrow \frac{\left| m+3 \right|}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m=0\text{ }\left( loai \right) \\ {} m=-6 \\ \end{array} \right.$. Chọn A.
| Bài tập 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{array} {} x=t \\ {} y=-1 \\ {} z=-t \\ \end{array} \right.$ và hai mặt phẳng $\left( P \right):x+2y+2z+3=0$ và $\left( Q \right):x+2y+2z+7=0$. Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có $I\in d$ và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ có phương trình là:
A. ${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=\frac{9}{4}$. B. ${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=\frac{4}{9}$. C. ${{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=\frac{9}{4}$. D. ${{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=\frac{4}{9}$. |
Lời giải chi tiết
Gọi $I\left( t;-1;-t \right)\in d$, do $\left( S \right)$ tiếp xúc với cả 2 mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ nên:
$d\left( I;\left( P \right) \right)=d\left( I;\left( Q \right) \right)=R\Leftrightarrow \frac{\left| 1-t \right|}{3}=\frac{\left| 5-t \right|}{3}\Leftrightarrow t=3\Rightarrow R=\frac{2}{3}$.
Phương trình mặt cầu cần tìm là: ${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=\frac{4}{9}$. Chọn B.
| Bài tập 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{3}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{1}$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x+y-2z+2=0$. Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm thuộc đường thẳng d có bán kính nhỏ nhất, tiếp xúc với $\left( P \right)$ và đi qua điểm $A\left( 1;-1;1 \right)$ là:
A. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=1$. B. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=4$. C. ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=1$. D. ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=4$. |
Lời giải chi tiết
Do $I\in d$ ta gọi $I\left( 1+3t;-1+t;t \right)$ khi đó $IA=d\left( I;\left( P \right) \right)=R$
$\Leftrightarrow \sqrt{11{{t}^{2}}-2t+1}=\frac{\left| 5t+3 \right|}{3}=R\Leftrightarrow 9\left( 11{{t}^{2}}-2t+t \right)={{\left( 5t+3 \right)}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} t=0\Rightarrow R=1 \\ {} t=\frac{24}{37}\Rightarrow R=\frac{77}{37} \\ \end{array} \right.$
Do $\left( S \right)$ có bán kính nhỏ nhất nên ta chọn $t=0;R=1\Rightarrow I\left( 1;-1;1 \right)\Rightarrow \left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=1$.
Chọn A.
| Bài tập 7: [Đề thi chuyên ĐH Vinh 2017] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right)$ đi qua điểm $A\left( 2;-2;5 \right)$ và tiếp xúc với các mặt phẳng $\left( \alpha \right):x=1;\text{ }\left( \beta \right):y=-1;\text{ }\left( \gamma \right):z=1$. Bán kính của mặt cầu $\left( S \right)$ bằng:
A. $\sqrt{33}$. B. 1. C. $3\sqrt{2}$. D. 3. |
Lời giải chi tiết
Gọi $I\left( a;b;c \right)$ ta có: $d\left( I;\left( \alpha \right) \right)=d\left( I;\left( \beta \right) \right)=d\left( I;\left( \gamma \right) \right)$ suy ra $R=\left| a-1 \right|=\left| b+1 \right|=\left| c-1 \right|$.
Do điểm $A\left( 2;-2;5 \right)$ thuộc miền $x>1;\text{ }y1$ nên $I\left( a;b;c \right)$ cũng thuộc miền $x>1;\text{ }y1$.
Khi đó $I\left( R+1;-1-R;R+1 \right)$. Mặt khác $IA=R\Rightarrow \left( {{R}^{2}}-1 \right)+{{\left( R-1 \right)}^{2}}+{{\left( R-4 \right)}^{2}}={{R}^{2}}\Leftrightarrow R=3$. Chọn D.
