Giải phương trình mũ bằng cách đặt ẩn phụ – bài tập có đáp án
Phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình mũ
Loại 1: Phương trình dạng: $m.{{a}^{2f\left( x \right)}}+n.{{a}^{f\left( x \right)}}+p=0$
| Ta đặt $t={{a}^{f\left( x \right)}}\,\left( t>0 \right)$ đưa về dạng phương trình ẩn t ta được: $PT\to m.{{t}^{2}}+n.t+p=0$
Với phương trình: $m.{{a}^{3f\left( x \right)}}+n.{{a}^{2f\left( x \right)}}+p.{{a}^{f\left( x \right)}}+q=0$ ta cũng đặt $t={{a}^{f\left( x \right)}}\,\left( t>0 \right)$ đưa về phương trình bậc 3 đối với ẩn t. |
Loại 2: Phương trình dạng: $m.{{A}^{2f\left( x \right)}}+n.{{\left( AB \right)}^{f\left( x \right)}}+p.{{\left( B \right)}^{2f\left( x \right)}}=0$
| Chia 2 vế của phương trình (2) cho ${{\left( B \right)}^{2f\left( x \right)}}$ ta được
$PT\Leftrightarrow m.{{A}^{2f\left( x \right)}}+n.{{\left( AB \right)}^{f\left( x \right)}}+p.{{\left( B \right)}^{2f\left( x \right)}}=0\Leftrightarrow m.{{\left( \frac{A}{B} \right)}^{2f\left( x \right)}}+n.{{\left( \frac{A}{B} \right)}^{f\left( x \right)}}+p=0$ Đặt $t={{\left( \frac{A}{B} \right)}^{f\left( x \right)}}\,\,\left( t>0 \right)$ suy ra $m.{{t}^{2}}+n.t+p=0$ Với phương trình: $m.{{A}^{3f\left( x \right)}}+n.{{\left( {{A}^{2}}B \right)}^{f\left( x \right)}}+p.{{\left( A{{B}^{2}} \right)}^{f\left( x \right)}}+q.{{\left( B \right)}^{3f\left( x \right)}}=0$ ta chia cả 2 vế của phương trình cho ${{B}^{3f\left( x \right)}}$ và đặt $t={{\left( \frac{A}{B} \right)}^{3}}$ (với $t>0$) |
Loại 3: Phương trình dạng: $m.{{A}^{2f\left( x \right)}}+n.{{A}^{f\left( x \right)+g\left( x \right)}}+p.{{A}^{2g\left( x \right)}}=0$
| $PT\Leftrightarrow m.{{A}^{2f\left( x \right)}}+n.{{A}^{f\left( x \right)+g\left( x \right)}}+p.{{A}^{2g\left( x \right)}}=0\Leftrightarrow m.{{A}^{2\left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]}}+n.{{A}^{f\left( x \right)-g\left( x \right)}}+p=0$
Đặt $t={{A}^{f\left( x \right)-g\left( x \right)}}\,\,\left( t>0 \right)\Rightarrow m{{t}^{2}}+nt+p=0$. |
Một số bài tập trắc nghiệm phương trình mũ đặt ẩn phụ có Lời giải chi tiết
| Bài tập 1: Giải các phương trình sau:
a) ${{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{x}}+{{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{x}}=4$ b) ${{2}^{3x+1}}-{{7.2}^{2x}}+{{7.2}^{x}}=2$ |
Lời giải chi tiết
a) Do ${{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{x}}.{{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{x}}=1\Rightarrow {{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{x}}=\frac{1}{{{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{x}}}$
Đặt $t={{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{x}}\Rightarrow {{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{x}}=\frac{1}{t}\Rightarrow PT\to t+\frac{1}{t}=4\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} t=2+\sqrt{3} \\ {} t=2-\sqrt{3} \\ \end{array} \right.$
Với $t=2+\sqrt{3}\Rightarrow {{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{x}}=\left( 2+\sqrt{3} \right)\Leftrightarrow x=1$
Với $t=2-\sqrt{3}\Rightarrow {{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{x}}=\left( 2-\sqrt{3} \right)={{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{-1}}\Leftrightarrow x=-1$
b) Đặt $t={{2}^{x}}>0$ khi đó $PT\Rightarrow 2{{t}^{3}}-7{{t}^{2}}+7t-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} t=2 \\ {} t=1 \\ {} t=\frac{1}{2} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array} {} x=1 \\ {} x=0 \\ {} x=-1 \\ \end{array} \right.$.
| Bài tập 2: Giải các phương trình sau:
a) ${{3.9}^{x}}+{{7.6}^{x}}-{{6.4}^{x}}=0$ b) ${{2.3}^{2{{x}^{2}}}}-{{17.3}^{{{x}^{2}}+x}}-{{9}^{x+1}}=0$ |
Lời giải chi tiết
a) Ta có: $PT\Leftrightarrow 3.{{\left( \frac{9}{4} \right)}^{x}}+7.{{\left( \frac{6}{4} \right)}^{x}}-6=0\Leftrightarrow 3{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2x}}+7{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}-6=0$
Đặt $t={{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}\,\,\left( t>0 \right)$ ta có: $3{{t}^{2}}+7t-6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} t=\frac{2}{3} \\ {} t=-3\left( loai \right) \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow {{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow x=-1$
b) $PT\Leftrightarrow {{2.3}^{2{{x}^{2}}}}-{{17.3}^{{{x}^{2}}+x}}-{{9.3}^{2x}}=0\Leftrightarrow {{2.3}^{2{{x}^{2}}-2x}}-{{17.3}^{{{x}^{2}}-x}}-9=0$
Đặt $t={{3}^{{{x}^{2}}-x}}>0$ ta có: $2{{t}^{2}}-17t-9=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} t=-\frac{1}{2}\left( loai \right) \\ {} t=9={{3}^{{{x}^{2}}-x}}\Rightarrow {{x}^{2}}-x=2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=2 \\ {} x=-1 \\ \end{array} \right.$
Vậy nghiệm của phương trình là $x=2;x=-1$.
A. Chọn B.
| Bài tập 3: Tập nghiệm của phương trình ${{9}^{x}}-{{5.3}^{x}}+6=0$ là:
A. $S=\left\{ {{\log }_{3}}2;1 \right\}$. B. $S=\left\{ {{\log }_{3}}2;2 \right\}$. C. $S=\left\{ {{\log }_{2}}3;1 \right\}$. D. $S=\left\{ {{\log }_{2}}3;2 \right\}$. |
Lời giải chi tiết
Đặt $t={{3}^{x}}\,\,\left( t>0 \right)\Rightarrow {{9}^{x}}={{t}^{2}}\Rightarrow {{t}^{2}}-5t+6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} t=2 \\ {} t=3 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} {{3}^{x}}\,=2 \\ {} {{3}^{x}}\,=3 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x={{\log }_{3}}2 \\ {} x=1 \\ \end{array} \right.$ . Chọn A.
| Bài tập 4: Tính tích các nghiệm của phương trình ${{2}^{x}}+{{3.2}^{4-x}}=16$ là:
A. $P={{\log }_{2}}24$. B. $P={{\log }_{2}}48$. C. $P={{\log }_{2}}144$. D. $P={{\log }_{2}}6$. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $PT\Leftrightarrow {{2}^{x}}+3.\frac{16}{{{2}^{x}}}=16\Leftrightarrow {{\left( {{2}^{x}} \right)}^{2}}-{{16.2}^{x}}+48=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} {{2}^{x}}=4 \\ {} {{2}^{x}}=12 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=2 \\ {} x={{\log }_{2}}12 \\ \end{array} \right.$
Do đó $P=2{{\log }_{2}}12={{\log }_{2}}144$. Chọn C.
| Bài tập 5: Tính tổng các nghiệm của phương trình ${{25}^{x}}-{{7.5}^{x}}+10=0$
A. ${{\log }_{5}}2$. B. ${{\log }_{5}}10$. C. ${{\log }_{5}}20$. D. 7. |
Lời giải chi tiết
Đặt $t={{5}^{x}}>0$ ta có: ${{t}^{2}}-7t+10=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} t=2 \\ {} t=5 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} {{5}^{x}}=2 \\ {} {{5}^{x}}=5 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x={{\log }_{5}}2 \\ {} x=1 \\ \end{array} \right.$
Do đó $P=1+{{\log }_{5}}2={{\log }_{5}}10$. Chọn B.
| Bài tập 6: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình ${{9}^{{{x}^{2}}+x-1}}-{{10.3}^{{{x}^{2}}+x-2}}+1=2$
A. $T=-1$. B. $T=-2$. C. $T=0$. D. $T=2$. |
Lời giải chi tiết
$PT\Leftrightarrow {{9}^{{{x}^{2}}+x-1}}-\frac{10}{3}{{.3}^{{{x}^{2}}+x-1}}+1=0$. Đặt $t={{3}^{{{x}^{2}}+x-1}}$ (với $t>0$)
Khi đó $PT\to {{t}^{2}}-\frac{10}{3}t+1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} t=3 \\ {} t=\frac{1}{3} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array} {} {{x}^{2}}+x-1=1 \\ {} {{x}^{2}}+x-1=-1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=1;x=-2 \\ {} x=-1;x=0 \\ \end{array} \right.$
Do đó $T=-2$. Chọn B.
| Bài tập 7: Gọi a là nghiệm của phương trình ${{3}^{2-2x}}-{{2.3}^{2-x}}-27=0$. Giá trị của $A={{a}^{2}}+{{2}^{a}}$ là:
A. $A=\frac{3}{2}$ hoặc $A=\frac{9}{4}$. B. $A=\frac{3}{2}$. C. $A=\frac{-1}{2}$. D. $A=\frac{1}{2}$. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $PT\Leftrightarrow {{3}^{2\left( 1-x \right)}}-{{6.3}^{1-x}}-27=0$
Đặt $t={{3}^{1-x}}>0$ khi đó ${{t}^{2}}-6t-27=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} t=9\Rightarrow {{3}^{1-x}}=9\Leftrightarrow 1-x=2\Leftrightarrow x=-1 \\ {} t=-3\left( loai \right) \\ \end{array} \right.$
Do đó ${{a}^{2}}+{{2}^{a}}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$. Chọn B.
| Bài tập 8: Số nghiệm của phương trình ${{2}^{{{x}^{2}}-x}}-{{2}^{2+x-{{x}^{2}}}}=3$ là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. |
Lời giải chi tiết
$PT\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}-x}}-{{4.2}^{x-{{x}^{2}}}}=3$. Đặt $t={{2}^{{{x}^{2}}-x}}>0$ khi đó $t-\frac{4}{t}=3\Leftrightarrow {{t}^{2}}-3t-4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} t=-1\left( loai \right) \\ {} t=4 \\ \end{array} \right.$
Khi đó ${{x}^{2}}-x=2\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=-1 \\ {} x=2 \\ \end{array} \right.$. Chọn B.
| Bài tập 9: Số nghiệm của phương trình ${{27}^{x}}-{{3}^{2x+1}}-16=0$ là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $PT\Leftrightarrow {{3}^{3x}}-{{3.3}^{2x}}-16=0$. Đặt $t={{3}^{x}}>0$ ta có: ${{t}^{3}}-3{{t}^{2}}-16=0\Leftrightarrow t=4\Rightarrow x={{\log }_{3}}4$. Chọn A.
| Bài tập 10: Số nghiệm của phương trình ${{\left( 3-2\sqrt{2} \right)}^{x}}+2{{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{x}}-1=0$ là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $3-2\sqrt{2}={{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{2}}$. Đặt $t={{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{x}}>0$
Khi đó $PT\Rightarrow {{t}^{2}}+2t-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} t=\sqrt{2}-1={{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{x}} \\ {} t=-\sqrt{2}-1<0\left( loai \right) \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x=1$. Chọn A.
| Bài tập 11: Tích tất cả các nghiệm của phương trình ${{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{x}}+{{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{x}}=2\sqrt{2}$
A. $P=0$. B. $P=1$. C. $P=-1$. D. $P=2$. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $\left( \sqrt{2}-1 \right)\left( \sqrt{2}+1 \right)=1$. Do đó PT $\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{-x}}+{{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{x}}=2\sqrt{2}$
Đặt $t={{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{x}}>0$ khi đó $PT\Rightarrow \frac{1}{t}+t=2\sqrt{2}\Leftrightarrow {{t}^{2}}-2t\sqrt{2}+1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} t=1+\sqrt{2} \\ {} t=-1+\sqrt{2} \\ \end{array} \right.$
Với $t=1+\sqrt{2}\Rightarrow x=1$
Với $t=-1+\sqrt{2}\Rightarrow x=-1$. Do đó tích các nghiệm của phương trình là $P=-1$. Chọn C.
| Bài tập 12: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình ${{\left( \sqrt{5}+1 \right)}^{x}}+{{\left( \sqrt{5}-1 \right)}^{x}}={{2}^{x+1}}$ là
A. 0. B. 1. C. $\sqrt{5}$. D. $2\sqrt{5}$. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $PT\Leftrightarrow {{\left( \frac{\sqrt{5}+1}{2} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right)}^{x}}=2$
Do ${{\left( \frac{\sqrt{5}+1}{2} \right)}^{x}}.{{\left( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right)}^{x}}=1\Rightarrow {{\left( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right)}^{x}}={{\left( \frac{\sqrt{5}+1}{2} \right)}^{-x}}$
Đặt $t={{\left( \frac{\sqrt{5}+1}{2} \right)}^{x}}\,\,\left( t>0 \right)$ ta có: $t+\frac{1}{t}=2\Leftrightarrow {{t}^{2}}-2t+1=0\Leftrightarrow {{\left( t-1 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow t=1$
Suy ra ${{\left( \frac{\sqrt{5}+1}{2} \right)}^{x}}=1\Leftrightarrow x=0$. Chọn A.
| Bài tập 13: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình ${{2}^{2{{x}^{2}}+1}}-{{9.2}^{{{x}^{2}}+x}}+{{2}^{2x+2}}=0$ là
A. $\frac{3}{2}$. B. $-1$. C. 2. D. 1. |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${{2}^{2{{x}^{2}}+1}}-{{9.2}^{{{x}^{2}}+x}}+{{2}^{2x+2}}=0\Leftrightarrow {{2.2}^{2{{x}^{2}}}}-{{9.2}^{{{x}^{2}}+x}}+{{4.2}^{2x}}=0$là
Chia cả 2 vế cho ${{2}^{2x}}$ ta được: ${{2.2}^{2\left( {{x}^{2}}-x \right)}}-{{9.2}^{{{x}^{2}}-x}}+4=0$
Đặt $t={{2}^{{{x}^{2}}-x}}$ $\left( t>0 \right)$ ta có: $2{{t}^{2}}-9t+4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} t=4 \\ {} t=\frac{1}{2} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} {{2}^{{{x}^{2}}-x}}=4 \\ {} {{2}^{{{x}^{2}}-x}}=\frac{1}{2} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} {{x}^{2}}-x=2 \\ {} {{x}^{2}}-x=1\left( vn \right) \\ \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=-1 \\ {} x=2 \\ \end{array} \right.\Rightarrow $ Tổng tất cả các nghiệm của phương trình bằng 1. Chọn D.
| Bài tập 14: Số nghiệm của phương trình ${{3}^{4x}}+{{3}^{2\sqrt{x+1}+1}}={{4.3}^{2x+\sqrt{x+1}}}$ là:
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. |
Lời giải chi tiết
ĐK: $x\ge -1$. Khi đó $PT\Leftrightarrow 1+{{3}^{2\sqrt{x+1}-4x}}={{4.3}^{\sqrt{x+1}-2x}}$
Đặt $t={{3}^{\sqrt{x+1}-2x}}$ $\left( t>0 \right)$ ta có: $3{{t}^{2}}-4t+1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} t=1 \\ {} t=\frac{1}{3} \\ \end{array} \right.$
Với $t=1\Rightarrow {{3}^{\sqrt{x+1}-2x}}=1\Leftrightarrow \sqrt{x+1}-2x=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x\ge 0 \\ {} x+1=4{{x}^{2}} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x=\frac{1+\sqrt{17}}{8}$
Với $t=\frac{1}{3}\Rightarrow {{3}^{\sqrt{x+1}-2x}}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow \sqrt{x+1}-2x=-1\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 2x-1\ge 0 \\ {} x+1={{\left( 2x-1 \right)}^{2}} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x=\frac{5}{4}$
Vậy phương trình có 2 nghiệm là $x=\frac{1+\sqrt{17}}{8}$; $x=\frac{5}{4}$. Chọn C.
| Bài tập 15: Giải phương trình: $\frac{8}{{{2}^{x-1}}+1}+\frac{{{2}^{x}}}{{{2}^{x}}+2}=\frac{18}{{{2}^{x-1}}+{{2}^{1-x}}+2}$ |
Lời giải chi tiết
Viết lại phương trình dưới dạng: $\frac{8}{{{2}^{x-1}}+1}+\frac{1}{{{2}^{1-x}}+1}=\frac{18}{{{2}^{x-1}}+{{2}^{1-x}}+2}$
Đặt $\left\{ \begin{array} {} u={{2}^{x-1}}+1 \\ {} v={{2}^{1-x}}+1 \\ \end{array} \right.,\,\,\left( u,v>1 \right)$
Ta có $u.v=\left( {{2}^{x-1}}+1 \right).\left( {{2}^{1-x}}+1 \right)={{2}^{x-1}}+{{2}^{1-x}}+2=u+v$
Phương trình tương đương với hệ $\left\{ \begin{array} {} \frac{8}{u}+\frac{1}{v}=\frac{18}{u+v} \\ {} u+v=uv \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} u+8v=18 \\ {} u+v=uv \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} u=v=2 \\ {} u=9;v=\frac{9}{8} \\ \end{array} \right.$
Với $u=v=2$, ta được: $\left\{ \begin{array} {} {{2}^{x-1}}+1=2 \\ {} {{2}^{1-x}}+1=2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x=1$
Với $u=9;v=\frac{9}{8}$$u=v=2$, ta được: $\left\{ \begin{array} {} {{2}^{x-1}}+1=9 \\ {} {{2}^{1-x}}+1=\frac{9}{8} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x=4$
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm $x=1$ và $x=4$.
| Bài tập 16: Giải phương trình ${{2}^{2x}}-\sqrt{{{2}^{x}}+6}=6$ |
Lời giải chi tiết
Đặt $u={{2}^{x}};u>0$
Khi đó phương trình trở thành ${{u}^{2}}-\sqrt{u+6}=6$
Đặt $v=\sqrt{u+6}$, điều kiện $v\ge \sqrt{6}\Rightarrow {{v}^{2}}=u+6$
Khi đó phương trình được chuyển thành hệ
$\left\{ \begin{array} {} {{u}^{2}}=v+6 \\ {} {{v}^{2}}=u+6 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow {{u}^{2}}-{{v}^{2}}=-\left( u-v \right)\Leftrightarrow \left( u-v \right)\left( u+v \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} u-v=0 \\ {} u+v+1=0 \\ \end{array} \right.$
Với $u=v$ ta được: ${{u}^{2}}-u-6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} u=3 \\ {} u=-2\left( l \right) \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow {{2}^{x}}=3\Leftrightarrow x=8$
Với $u+v+1=0$ ta được: ${{u}^{2}}+-5=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} u=\frac{-1+\sqrt{21}}{2} \\ {} u=\frac{-1-\sqrt{21}}{2}\left( l \right) \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow {{2}^{x}}=\frac{\sqrt{21}-1}{2}\Leftrightarrow x={{\log }_{2}}\frac{\sqrt{21}-1}{2}$
Vậy phương trình có 2 nghiệm là $x=8$ và $x={{\log }_{2}}\frac{\sqrt{21}-1}{2}$.
