Bài tập phương trình mũ – Lấy logarit hai vế phương trình (logarit hóa) có đáp án
Phương pháp giải tổng quát logarit hóa là gì ?
Phương trình dạng: ${{a}^{f\left( x \right)}}={{a}^{g\left( x \right)}}$, với $a.b=1\,\left( 1\ne a;b>0 \right)$ ta sẽ giải như sau:
Lấy logarit 2 vế với cơ số a ta được: ${{\log }_{a}}{{a}^{f\left( x \right)}}={{\log }_{a}}{{a}^{g\left( x \right)}}\Leftrightarrow f\left( x \right)=g\left( x \right){{\log }_{a}}b$
Một số bài tập trắc nghiệm để biết Cách chọn cơ số trong phương pháp logarit hóa
| Bài tập 1: Giải các phương trình sau
a) ${{7}^{x}}{{.27}^{\left( 1-\frac{1}{x} \right)}}=3087$ b) ${{8}^{\frac{x}{x+2}}}={{36.3}^{2-x}}$ |
Lời giải chi tiết
a) ĐK: $x\ne 0$.Ta có: ${{7}^{x}}{{.27}^{\left( 3\frac{x-1}{x} \right)}}={{7}^{3}}{{.3}^{2}}\Leftrightarrow {{7}^{x-3}}={{3}^{2-\frac{3x-3}{x}}}\Leftrightarrow {{7}^{x-3}}={{3}^{\frac{-x+3}{x}}}$
Logarit cơ số 3 cả 2 vế ta được: ${{\log }_{3}}{{7}^{x-3}}={{\log }_{3}}{{3}^{\frac{-x+3}{x}}}$
$\Leftrightarrow \left( x-3 \right){{\log }_{3}}7=-\frac{x-3}{3}\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=3 \\ {} {{\log }_{3}}7=-\frac{1}{x} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=3 \\ {} x=\frac{-1}{{{\log }_{3}}7} \\ \end{array} \right.$
b) ĐK: $x\ne -2$, $PT\Leftrightarrow {{2}^{\frac{3x}{x+2}}}={{2}^{2}}{{.3}^{2}}{{.3}^{2-x}}\Leftrightarrow {{2}^{\frac{3x}{x+2}-2}}={{3}^{4-x}}\Leftrightarrow {{2}^{\frac{3x}{x+2}}}={{3}^{4-x}}$
Logarit cơ số 2 cả 2 vế ta được: $\frac{x-4}{x+2}=\left( 4-x \right){{\log }_{2}}3\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=4 \\ {} \frac{1}{x+2}=-{{\log }_{2}}3\Leftrightarrow x=-2-{{\log }_{3}}2 \\ \end{array} \right.$
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là: $x=4;x=-2-{{\log }_{3}}2$.
| Bài tập 2: Giải các phương trình sau
a)${{3}^{x}}{{.2}^{x+1}}=72$ b) ${{5}^{x}}{{.3}^{{{x}^{2}}}}=1$ c) ${{7}^{3x}}+{{9.5}^{2x}}={{5}^{2x}}+{{9.7}^{3x}}$ |
Lời giải chi tiết
a) ${{3}^{x}}{{.2}^{x+1}}=72\Leftrightarrow \frac{{{3}^{x}}{{.2}^{x+1}}}{9.8}=1\Leftrightarrow {{3}^{x-2}}{{.2}^{x-2}}=1\Leftrightarrow {{6}^{x-2}}=1\to x=2$
Vậy phương trình có nghiệm $x=1$.
b) ${{5}^{x}}{{.3}^{{{x}^{2}}}}=1\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( {{5}^{x}}{{.3}^{{{x}^{2}}}} \right)={{\log }_{3}}1\Leftrightarrow {{\log }_{3}}{{5}^{x}}+{{\log }_{3}}{{3}^{{{x}^{2}}}}=0\Leftrightarrow x{{\log }_{3}}5+{{x}^{2}}=0$
$\Leftrightarrow x\left( {{\log }_{3}}5+x \right)=0\to \left[ \begin{array} {} x=0 \\ {} x=-{{\log }_{3}}5 \\ \end{array} \right.$
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm $x=0$ và $x=-{{\log }_{3}}5$.
c) ${{7}^{3x}}+{{9.5}^{2x}}={{5}^{2x}}+{{9.7}^{3x}}\Leftrightarrow {{8.7}^{3x}}={{8.5}^{2x}}\Leftrightarrow {{7}^{3x}}={{5}^{2x}}\Leftrightarrow \lg \left( {{7}^{3x}} \right)=\lg \left( {{5}^{2x}} \right)\Leftrightarrow 3x.\lg 7-2x.\lg 5=0$
$\to x\left( 3\lg 7-2\lg 5 \right)=0\Leftrightarrow x=0$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=0$.
| Bài tập 3: Giải các phương trình sau
a) ${{5}^{x}}{{.8}^{\frac{x+1}{x}}}=500$ b) ${{5}^{x}}{{.2}^{\frac{2x-1}{x+1}}}=50$ |
Lời giải chi tiết
a) ${{5}^{x}}{{.8}^{\frac{x+1}{x}}}=500$ , (1) Điều kiện: $x\ne 0$
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{5}^{x}}{{.2}^{3\frac{x+1}{x}}}={{5}^{3}}{{.2}^{2}}\Leftrightarrow {{2}^{\frac{x-3}{x}}}={{5}^{3-x}}\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{2}^{\frac{x-3}{x}}} \right)={{\log }_{2}}\left( {{5}^{3-x}} \right)\Leftrightarrow \frac{x-3}{x}=\left( 3-x \right){{\log }_{2}}5$
$\Leftrightarrow \left( x-3 \right)\left( \frac{1}{x}+{{\log }_{2}}5 \right)=0\to \left[ \begin{array} {} x=3 \\ {} x=-\frac{1}{{{\log }_{2}}5}=-{{\log }_{5}}2 \\ \end{array} \right.$
b) ${{5}^{x}}{{.2}^{\frac{2x-1}{x+1}}}=50$ , (2) Điều kiện: $x\ne -1$
$\left( 2 \right)\Leftrightarrow {{5}^{x}}{{.2}^{\frac{2x-1}{x+1}}}={{5}^{2}}.2\Leftrightarrow {{5}^{x-2}}{{.2}^{\frac{2x-1}{x-1}-1}}=1\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{5}^{x-2}}{{.2}^{\frac{2x-1}{x-1}-1}} \right)={{\log }_{2}}1=0$
$\frac{2x-1}{x+1}-1+\left( x-2 \right){{\log }_{2}}5=0\Leftrightarrow x-2+\left( x-2 \right)\left( x+1 \right){{\log }_{2}}5=0\to \left[ \begin{array} {} x-2=0 \\ {} 1+\left( x+1 \right){{\log }_{2}}5=0 \\ \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=2 \\ {} x=-\frac{\left( 1+{{\log }_{2}}5 \right)}{{{\log }_{2}}5}=-\frac{1}{\lg 5} \\ \end{array} \right.$
Vậy phương trình có hai nghiệm $x=2;x=-\frac{1}{\lg 5}$.
| Bài tập 4: Giải các phương trình sau
a) ${{2}^{x-3}}={{5}^{{{x}^{2}}-5x+6}}$ b) ${{x}^{2\lg x}}=10x$ |
Lời giải chi tiết
a) ${{2}^{x-3}}={{5}^{{{x}^{2}}-5x+6}}\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{2}^{x-3}} \right)={{\log }_{2}}\left( {{5}^{{{x}^{2}}-5x+6}} \right)\Leftrightarrow x-3=\left( {{x}^{2}}-5x+6 \right){{\log }_{2}}5$
$\Leftrightarrow \left( x-3 \right)\left[ 1-\left( x-2 \right){{\log }_{2}}5 \right]=0\to \left[ \begin{array} {} x-3=0 \\ {} x+{{\log }_{2}}5=1+2{{\log }_{2}}5 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=3 \\ {} x=\frac{{{\log }_{2}}50}{{{\log }_{2}}5}={{\log }_{2}}50 \\ \end{array} \right.$
Vậy phương trình có hai nghiệm $x=3;x={{\log }_{5}}50$
b) ${{x}^{2\lg x}}=10x$ , (4). Điều kiện: $x>0$
$\left( 4 \right)\Leftrightarrow \lg \left( {{x}^{2\lg x}} \right)=\lg \left( 10x \right)\Leftrightarrow 2{{\lg }^{2}}x-\lg x-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} \lg x=1 \\ {} \lg x=\frac{1}{2} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=10 \\ {} x=\sqrt{10} \\ \end{array} \right.$
Vậy phương trình có hai nghiệm $x=10;x=\sqrt{10}$
| Bài tập 5: Gọi ${{x}_{1}}$ và ${{x}_{2}}$ là 2 nghiệm của phương trình ${{2}^{x-3}}={{3}^{{{x}^{2}}-5x+6}}$. Tính $P=\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|$
A. $P={{\log }_{3}}\frac{3}{2}$. B. $P={{\log }_{3}}\frac{2}{3}$. C. $P={{\log }_{3}}\frac{9}{4}$. D. $P={{\log }_{3}}\frac{4}{9}$. |
Lời giải chi tiết
Logarit cơ số 3 cả 2 vế ta được: $\left( x-3 \right){{\log }_{3}}2=\left( {{x}^{2}}-5x+6 \right)$
$\Leftrightarrow \left( x-3 \right){{\log }_{3}}2=\left( x-3 \right)\left( x-2 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=3 \\ {} x-2={{\log }_{3}}2\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=3 \\ {} x=2+{{\log }_{3}}2 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.$
Suy ra $P=\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=\left| 1-{{\log }_{3}}2 \right|={{\log }_{3}}\frac{3}{2}$. Chọn A.
| Bài tập 6: Gọi ${{x}_{1}}$ và ${{x}_{2}}$ là 2 nghiệm của phương trình ${{5}^{{{x}^{2}}-5x+6}}={{2}^{x-3}}$. Biết ${{x}_{1}}>{{x}_{2}}$, tính $P=2{{x}_{1}}-{{x}_{2}}$
A. $P=4-{{\log }_{2}}5$. B. $P=4-{{\log }_{5}}2$. C. $P=1-{{\log }_{5}}2$. D. $P=1+{{\log }_{5}}2$. |
Lời giải chi tiết
Logarit cơ số 5 cả 2 vế ta được: $\left( {{x}^{2}}-5x+6 \right)=\left( x-3 \right){{\log }_{5}}2$
$\Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left( x-3 \right)=\left( x-3 \right){{\log }_{2}}5\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=3 \\ {} x-2={{\log }_{5}}2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=3 \\ {} x=2+{{\log }_{5}}2 \\ \end{array} \right.$
Vì ${{x}_{1}}>{{x}_{2}}$ nên ${{x}_{1}}=3;{{x}_{2}}=2+{{\log }_{5}}2\Rightarrow P=6-\left( 2+{{\log }_{5}}2 \right)=4-{{\log }_{5}}2$. Chọn B.
| Bài tập 7: Biết tổng các nghiệm của phương trình ${{2}^{x+3}}={{5}^{{{x}^{2}}+2x-3}}$ bằng $a+b{{\log }_{5}}2$ với $\left( a;b\in \mathbb{Z} \right)$. Tính $a+b$
A. $a+b=1$. B. $a+b=-1$. C. $a+b=-5$. D. $a+b=5$. |
Lời giải chi tiết
Logarit cơ số 5 cả 2 vế ta được: $\left( x+3 \right){{\log }_{5}}2={{x}^{2}}+2x-3=\left( x-1 \right)\left( x+3 \right)$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=-3 \\ {} x-1={{\log }_{5}}2\Leftrightarrow x=1+{{\log }_{5}}2 \\ \end{array} \right.\Rightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-2+{{\log }_{5}}2\Rightarrow a=-2;b=1\Rightarrow a+b=-1$. Chọn B.
