Bài tập phương trình mũ – phương pháp đưa về cùng cơ số có đáp án
Một số bài tập trắc nghiệm giải phương trình mũ bằng phương pháp đưa về cùng cơ số
| Bài tập 1: Giải các phương trình sau:
a) ${{3}^{{{x}^{2}}-x+1}}={{3}^{2x-1}}$ b) ${{\left( 1,5 \right)}^{5x-7}}={{\left( \frac{2}{3} \right)}^{x+1}}$ |
Lời giải chi tiết
a) Ta có: ${{3}^{{{x}^{2}}-x+1}}={{3}^{2x-1}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x+1=2x-1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=1 \\ {} x=2 \\ \end{array} \right.$
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là $x=1;x=2$
b) Ta có: ${{\left( 1,5 \right)}^{5x-7}}={{\left( \frac{2}{3} \right)}^{x+1}}\Leftrightarrow {{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x+1}}={{\left[ {{\left( \frac{3}{2} \right)}^{-1}} \right]}^{5x-7}}={{\left( \frac{3}{2} \right)}^{-5x+7}}$
$\Leftrightarrow x+1=-5x+7\Leftrightarrow 6x=6\Leftrightarrow x=1$
| Bài tập 2: Giải các phương trình sau:
a) ${{2}^{x}}+{{2}^{x+1}}+{{2}^{x+2}}={{5}^{x}}+{{2.5}^{x-1}}$ b) ${{\left( \sqrt{5}+2 \right)}^{x-1}}={{\left( \sqrt{5}-2 \right)}^{\frac{x-1}{x+1}}}$ |
Lời giải chi tiết
a)$PT\Leftrightarrow {{2}^{x}}+{{2.2}^{x}}+{{4.2}^{2}}={{5}^{x}}+2.\frac{{{5}^{x}}}{5}\Leftrightarrow {{7.2}^{x}}=\frac{7}{5}{{.5}^{x}}$
$\Leftrightarrow \frac{{{2}^{x}}}{{{5}^{x}}}=\frac{1}{5}\Leftrightarrow {{\left( \frac{2}{5} \right)}^{x}}=\frac{1}{5}\Leftrightarrow x={{\log }_{\frac{2}{5}}}\frac{1}{5}$
b) Do $\left( \sqrt{5}+2 \right)\left( \sqrt{5}-2 \right)=1\Rightarrow \left( \sqrt{5}+2 \right)={{\left( \sqrt{5}-2 \right)}^{-1}}$
Do đó $PT\Leftrightarrow {{\left[ {{\left( \sqrt{5}-2 \right)}^{-1}} \right]}^{x-1}}={{\left( \sqrt{5}-2 \right)}^{\frac{x-1}{x+1}}}={{\left( \sqrt{5}-2 \right)}^{1-x}}={{\left( \sqrt{5}-2 \right)}^{\frac{x-1}{x+1}}}$ (ĐK $x\ne -1$)
$\Leftrightarrow 1-x=\frac{x-1}{x+1}\Leftrightarrow 1-{{x}^{2}}=x-1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=1 \\ {} x=-2 \\ \end{array} \right.$
Vậy nghiệm của phương trình là $x=1;x=-2$.
| Bài tập 3: Giải các phương trình ${{2}^{x}}+{{2}^{x+1}}+{{2}^{x+2}}={{5}^{x}}+{{2.5}^{x-1}}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có ${{2}^{x}}+{{2}^{x+1}}+{{2}^{x+2}}={{5}^{x}}+{{2.5}^{x-1}}\Leftrightarrow {{2}^{x}}+{{2}^{x}}.2+{{2}^{x}}{{.2}^{2}}={{5}^{x}}+{{2.5}^{x}}.\frac{1}{5}$
$\Leftrightarrow \left( 1+2+4 \right){{2}^{x}}=\left( 1+\frac{2}{5} \right){{.5}^{x}}\Leftrightarrow {{7.2}^{x}}=\frac{7}{5}{{.5}^{x}}\Leftrightarrow {{\left( \frac{5}{2} \right)}^{x}}=5\Leftrightarrow x={{\log }_{\frac{5}{2}}}5$
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là $x={{\log }_{\frac{5}{2}}}5$.
| Bài tập 4: Giải các phương trình sau
a) ${{2}^{{{x}^{2}}+3x-2}}={{16}^{x+1}}$ b) ${{3}^{-{{x}^{2}}+4x}}=\frac{1}{243}$ |
Lời giải chi tiết
a) ${{2}^{{{x}^{2}}+3x-2}}={{16}^{x+1}}\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}+3x-2}}={{2}^{4x+4}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+3x-2=4x+4\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=2 \\ {} x=-3 \\ \end{array} \right.$
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là $x=2$ và $x=-3$.
b) ${{3}^{-{{x}^{2}}+4x}}=\frac{1}{243}\Leftrightarrow {{3}^{-{{x}^{2}}+4x}}={{3}^{-5}}\Leftrightarrow -{{x}^{2}}+4x=-5\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=-1 \\ {} x=5 \\\end{array} \right.$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=-1;x=5$
| Bài tập 5: Giải các phương trình sau
a)${{16}^{\frac{x+10}{x-10}}}=0,{{125.8}^{\frac{x+5}{x-15}}}$ b) ${{5}^{{{x}^{2}}}}-{{3}^{{{x}^{2}}+1}}=2\left( {{5}^{{{x}^{2}}-1}}-{{3}^{{{x}^{2}}-2}} \right)$ |
Lời giải chi tiết
a) Điều kiện: $\left\{ \begin{array} {} x-10\ne 0 \\ {} x-15\ne 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x\ne 10 \\ {} x\ne 15 \\ \end{array} \right.$
Do $16={{2}^{4}};\,0,125=\frac{1}{8}={{2}^{-3}};\,8={{2}^{3}}$ nên ta có $PT\Leftrightarrow {{2}^{4.\frac{x+10}{x-10}}}={{2}^{-3}}{{.2}^{3.\frac{x+5}{x-15}}}\Leftrightarrow 4.\frac{x+10}{x-10}=-3+3.\frac{x+5}{x-15}$
$\Leftrightarrow \frac{4\left( x+10 \right)}{x-10}=\frac{60}{x-15}\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}-5x-150 \right)=15x-150\to \left[ \begin{array} {} x=0 \\ {} x=20 \\\end{array} \right.$
Vậy phương trình có nghiệm $x=0;x=20$.
b) ${{5}^{{{x}^{2}}}}-{{3}^{{{x}^{2}}+1}}=2\left( {{5}^{{{x}^{2}}-1}}-{{3}^{{{x}^{2}}-2}} \right)\Leftrightarrow {{5}^{{{x}^{2}}}}-{{3.3}^{{{x}^{2}}}}=\frac{2}{5}{{5}^{{{x}^{2}}}}-\frac{2}{9}{{3}^{{{x}^{2}}}}\Leftrightarrow {{5}^{{{x}^{2}}}}-\frac{2}{5}{{5}^{{{x}^{2}}}}={{3.3}^{{{x}^{2}}}}-\frac{2}{9}{{3}^{{{x}^{2}}}}$
$\Leftrightarrow \frac{3}{5}{{5}^{{{x}^{2}}}}=\frac{25}{9}{{3}^{{{x}^{2}}}}\Leftrightarrow {{\left( \frac{5}{3} \right)}^{{{x}^{2}}}}=\frac{125}{27}\Leftrightarrow {{\left( \frac{5}{3} \right)}^{{{x}^{2}}}}={{\left( \frac{5}{3} \right)}^{3}}\to x=\pm \sqrt{3}$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=\pm \sqrt{3}$.
| Bài tập 6: Giải các phương trình sau:
a) ${{\left( \frac{2}{3} \right)}^{x}}.{{\left( \frac{9}{8} \right)}^{x}}=\frac{27}{64}$ b) ${{4.9}^{x-1}}=3\sqrt{{{2}^{2x+1}}}$ |
Lời giải chi tiết
a) ${{\left( \frac{2}{3} \right)}^{x}}.{{\left( \frac{9}{8} \right)}^{x}}=\frac{27}{64}\Leftrightarrow {{\left( \frac{2}{3}.\frac{9}{8} \right)}^{x}}={{\left( \frac{3}{4} \right)}^{3}}\Leftrightarrow {{\left( \frac{3}{4} \right)}^{x}}={{\left( \frac{3}{4} \right)}^{3}}\to x=3$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=3$.
b) ${{4.9}^{x-1}}=3\sqrt{{{2}^{2x+1}}}\Leftrightarrow \frac{{{4.9}^{x-1}}}{{{3.2}^{\frac{2x+1}{2}}}}=1\Leftrightarrow {{3}^{2x-3}}{{.2}^{2-\frac{2x+1}{2}}}=1\Leftrightarrow {{3}^{2x-3}}.{{\left( \sqrt{2} \right)}^{3-2x}}=1$
$\Leftrightarrow {{\left( \frac{3}{\sqrt{2}} \right)}^{2x-3}}=1={{\left( \frac{3}{\sqrt{2}} \right)}^{0}}\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}$. Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=\frac{3}{2}$.
Cách khác: ${{4.9}^{x-1}}=3\sqrt{{{2}^{2x+1}}}\Leftrightarrow {{16.81}^{x-1}}={{9.2}^{2x+1}}\Leftrightarrow 16.\frac{{{81}^{x}}}{81}={{9.2.4}^{x}}\Leftrightarrow {{\left( \frac{81}{4} \right)}^{x}}=\frac{18.81}{16}$
$\Leftrightarrow {{\left( \frac{9}{2} \right)}^{2x}}={{\left( \frac{9}{2} \right)}^{3}}\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}$.
| Bài tập 7: Giải các phương trình sau:
a) ${{\left[ 2{{\left( {{2}^{\sqrt{x}+3}} \right)}^{\frac{1}{2\sqrt{x}}}} \right]}^{\frac{2}{\sqrt{x}-1}}}=4$ b) ${{\left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right)}^{{{x}^{2}}-5x}}={{\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)}^{6}}$ |
Lời giải chi tiết
a) ${{\left[ 2{{\left( {{2}^{\sqrt{x}+3}} \right)}^{\frac{1}{2\sqrt{x}}}} \right]}^{\frac{2}{\sqrt{x}-1}}}=4$ , (1). Điều kiện: $\left\{ \begin{array} {} x>0 \\ {} x\ne 1 \\ \end{array} \right.$
(1) $\Leftrightarrow {{2}^{\frac{3\left( \sqrt{x}+1 \right)}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}-1 \right)}}}={{2}^{2}}\Leftrightarrow \frac{3\left( \sqrt{x}+1 \right)}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}-1 \right)}=2\Leftrightarrow 2x-5\sqrt{x}-3=0\Leftrightarrow \sqrt{x}=3\Leftrightarrow x=9$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=9$.
b) ${{\left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right)}^{{{x}^{2}}-5x}}={{\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)}^{6}}$, (2).
Do $\left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right)\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)=1\to \left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)=\frac{1}{\left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right)}={{\left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right)}^{-1}}$
$\left( 2 \right)\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right)}^{{{x}^{2}}-5x}}={{\left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right)}^{-6}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-5x+6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=2 \\ {} x=3 \\ \end{array} \right.$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=2$ và $x=3$.
| Bài tập 8: Số nghiệm của phương trình ${{2}^{{{x}^{2}}+3x-2}}={{16}^{x+1}}$ là:
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. |
Lời giải chi tiết
$PT\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}+3x-2}}={{\left( {{2}^{4}} \right)}^{x+1}}\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}+3x-2}}={{2}^{4x+4}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+3x-2=4x+4$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=3 \\ {} x=2 \\ \end{array} \right.$. Chọn C.
| Bài tập 9: Tổng bình phương các nghiệm của phương trình ${{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{{{x}^{2}}-x-1}}=\sqrt{2}+1$ là:
A. $T=5$. B. $T=1$. C. $T=10$. D. $T=13$. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $PT\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{{{x}^{2}}-x-1}}={{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{-1}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-1=-1\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=0 \\ {} x=1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow T={{0}^{2}}+{{1}^{2}}=1$. Chọn B.
| Bài tập 10: Tổng lập phương tất cả các nghiệm của phương trình ${{3}^{-{{x}^{2}}+4x}}=\frac{1}{243}$
A. $T=124$. B. $T=125$. C. $T=126$. D. $T=26$. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $PT\Leftrightarrow {{3}^{-{{x}^{2}}+4x}}=\frac{1}{243}={{3}^{-5}}\Leftrightarrow -{{x}^{2}}+4x=-5\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x-5=0\Leftrightarrow \left[\begin{array} {} x=-1 \\ {} x=5 \\ \end{array} \right.$
Do đó $T={{\left( -1 \right)}^{3}}+{{5}^{3}}=124$. Chọn A.
| Bài tập 11: Biết phương trình ${{4}^{x}}+{{4}^{x+1}}={{2}^{x}}+{{2}^{x+1}}$ có nghiệm duy nhất là $x=a{{\log }_{2}}3+b{{\log }_{2}}5$ (trong đó $a;b\in \mathbb{Z}$). Giá trị của $T=a+b$ là:
A. $T=0$. B. $T=1$. C. $T=-2$. D. $T=2$. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $PT\Leftrightarrow {{4}^{x}}+{{4.4}^{x}}={{2}^{x}}+{{2.2}^{x}}\Leftrightarrow {{5.4}^{x}}={{3.2}^{x}}\Leftrightarrow {{2}^{x}}=\frac{3}{5}\Leftrightarrow x={{\log }_{2}}\frac{3}{5}={{\log }_{2}}3-{{\log }_{2}}5$
Khi đó $a=1;b=-1\Rightarrow T=a+b=0$. Chọn A.
| Bài tập 12: Nghiệm của phương trình ${{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{3x+1}}={{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{5x+7}}$ là ${{x}_{0}}$ thì giá trị của $A={{x}_{0}}+{{3}^{{{x}_{0}}}}$ bằng
A. $A=\frac{10}{3}$. B. $A=\frac{4}{3}$. C. $A=4$. D. $A=\frac{-2}{3}$. |
Lời giải chi tiết
Do $\left( 2+\sqrt{3} \right)\left( 2-\sqrt{3} \right)=1\Rightarrow 2-\sqrt{3}={{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{-1}}$
Ta có: ${{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{3x+1}}={{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{5x+7}}\Leftrightarrow {{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{3x+1}}={{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{-5x-7}}\Leftrightarrow 3x+1=-5x-7\Leftrightarrow x=-1$
Vậy $A=-1+{{3}^{-1}}=\frac{-2}{3}$. Chọn D.
