Giải bất phương trình mũ bằng phương pháp logarit hóa – bài tập có đáp án
Phương pháp logarit hóa giải bpt mũ
| Xét bất phương trình dạng: ${{a}^{f(x)}}>{{b}^{g(x)}}$(*) với $1\ne a;b>0$
Lấy logarit 2 vế với cơ số a > 1 ta được: $(*)\Leftrightarrow {{\log }_{a}}{{a}^{f(x)}}>{{\log }_{a}}{{b}^{g(x)}}\Leftrightarrow f(x)>g(x){{\log }_{a}}b$ Lấy logarit 2 vế với cơ số 0 < a < 1 ta được: $(*)\Leftrightarrow {{\log }_{a}}{{a}^{f(x)}}<{{\log }_{a}}{{b}^{g(x)}}\Leftrightarrow f(x)<g(x){{\log }_{a}}b$ |
Bài tập trắc nghiệm phương trình mũ có đáp án
| Bài tập 1: Giải các bất phương trình sau:
a) ${{3}^{{{x}^{2}}-5x+6}}>{{2}^{x-2}}$ b) ${{7.2}^{{{x}^{2}}}}>{{16.7}^{x-1}}$ c) ${{2}^{{{x}^{2}}-1}}+{{2}^{{{x}^{2}}+2}}<{{3}^{{{x}^{2}}}}+{{3}^{{{x}^{2}}-1}}$ |
Lời giải chi tiết
a) Logarit cơ số 3 cả 2 vế ta có:
BPT $\Leftrightarrow {{\log }_{3}}{{3}^{{{x}^{2}}-5x+6}}>{{\log }_{3}}{{2}^{x-2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-5x+6>(x-2){{\log }_{3}}2$
$\Leftrightarrow (x-2)(x-3-{{\log }_{3}}2)>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x>3+{{\log }_{3}}2 \\ {} x<2 \\ \end{array} \right.$
Vậy nghiệm của BPT là : $x3+{{\log }_{3}}2$
b) Logarit cơ số 3 cả 2 vế ta có:
BPT $\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}-4}}>{{7}^{x-2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4>(x-2){{\log }_{2}}7$
$\Leftrightarrow (x-2)(x+2-{{\log }_{2}}7)>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x>2 \\ {} x<{{\log }_{2}}7-2 \\ \end{array} \right.$
c) BPT $\Leftrightarrow \frac{{{2}^{{{x}^{2}}}}}{2}+{{4.2}^{{{x}^{2}}}}<{{3}^{{{x}^{2}}}}+\frac{{{3}^{{{x}^{2}}}}}{3}\Leftrightarrow \frac{9}{2}{{.2}^{{{x}^{2}}}}<\frac{4}{3}{{.3}^{{{x}^{2}}}}$
${{2}^{{{x}^{2}}-3}}<{{3}^{{{x}^{2}}-3}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-3<\left( {{x}^{2}}-3 \right){{\log }_{2}}3$
$\Leftrightarrow ({{x}^{2}}-3)(1-{{\log }_{2}}3)0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x>\sqrt{3} \\ {} x<-\sqrt{3} \\ \end{array} \right.$
| Bài tập 2: Tập nghiệm S của bất phương trình ${{3}^{{{x}^{2}}}}<{{2}^{x}}$là:
A. $S=\left( 0;+\infty \right)$ B. $S=(0;{{\log }_{2}}3)$ C. $S=(0;lo{{g}_{3}}2)$ D. $S=(0,1)$ |
Lời giải chi tiết
Lấy logarit cơ số 3 cả 2 vế ta có: ${{x}^{2}}<x{{\log }_{3}}2\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x{{\log }_{3}}2<0\Leftrightarrow 0<x<{{\log }_{3}}2$. Chọn C.
| Bài tập 3: Số nghiệm nguyên của bất phương trình ${{3}^{x}}{{.5}^{{{x}^{2}}}}<1$ là :
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 |
Lời giải chi tiết
Lấy logarit cơ số 3 cả 2 vế ta có: ${{\log }_{3}}\left( {{3}^{x}}{{.5}^{{{x}^{2}}}} \right)<{{\log }_{3}}1\Leftrightarrow x+{{x}^{2}}{{\log }_{3}}5<0\Leftrightarrow -\frac{1}{{{\log }_{3}}5}<x<0$
Kết hợp$x\in \mathbb{Z}\Rightarrow $ bất phương trình không có nghiệm nguyên. Chọn A.
| Bài tập 4: Cho hàm số $f(x)={{2}^{x}}{{.3}^{{{x}^{2}}}}$. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. $f(x)0$ B. $f(x)0$ C. $f(x)<1\Leftrightarrow x{{\log }_{3}}2+{{x}^{2}}<0$ D. $f(x)<1\Leftrightarrow x\ln 2+{{x}^{2}}\ln 3<0$ |
Lời giải chi tiết
Ta có $f(x)<1\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} {{\log }_{\frac{1}{3}}}({{2}^{x}}{{.3}^{{{x}^{2}}}})<{{\log }_{\frac{1}{3}}}1 \\ {} {{\log }_{2}}({{2}^{x}}{{.3}^{{{x}^{2}}}})<{{\log }_{2}}1 \\ {} {{\log }_{3}}({{2}^{x}}{{.3}^{{{x}^{2}}}})<{{\log }_{3}}1 \\ {} \ln ({{2}^{x}}{{.3}^{{{x}^{2}}}})0 \\ {} x+{{x}^{2}}{{\log }_{2}}3<0 \\ {} x{{\log }_{3}}2+{{x}^{2}}<0 \\ {} x\ln 2+{{x}^{2}}\ln 3<0 \\ \end{array} \right.$
Đáp án sai là B. Chọn B
| Bài tập 5: Cho hàm số $f(x)=\frac{{{3}^{x}}}{{{7}^{{{x}^{2}}-1}}}$. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. $f(x)>1\Leftrightarrow \frac{x}{1+{{\log }_{3}}7}>\frac{{{x}^{2}}-1}{1+{{\log }_{7}}3}$ B. $f(x)>1\Leftrightarrow x{{\log }_{\frac{1}{2}}}3>({{x}^{2}}-1){{\log }_{2}}7$ C. $f(x)>1\Leftrightarrow x>({{x}^{2}}-1){{\log }_{3}}7$ D. $f(x)>1\Leftrightarrow x\ln 3>({{x}^{2}}-1)\ln 7$ |
Lời giải chi tiết
Ta có:$f(x)>1\Leftrightarrow {{3}^{x}}>{{7}^{{{x}^{2}}-1}}\Leftrightarrow {{\log }_{21}}{{3}^{x}}>{{\log }_{21}}{{7}^{{{x}^{2}}-1}}\Leftrightarrow x{{\log }_{21}}3>({{x}^{2}}-1){{\log }_{21}}7$
$\Leftrightarrow \frac{x}{{{\log }_{3}}21}>\frac{{{x}^{2}}-1}{{{\log }_{7}}21}\Leftrightarrow \frac{x}{1+{{\log }_{3}}7}>\frac{{{x}^{2}}-1}{1+{{\log }_{7}}3}$
Tương tự lấy logarit cơ số 3 và e cả 2 vế ta được $f(x)>1\Leftrightarrow x>({{x}^{2}}-1){{\log }_{3}}7$
$f(x)>1\Leftrightarrow x\ln 3>({{x}^{2}}-1)ln7$
Đáp án sai là B. Chọn B.
| Bài tập 6: Cho hàm số $f(x)={{2}^{x}}{{.7}^{{{x}^{2}}}}$. Khẳng định nào sau đây là sai ?
A. $f(x)<1\Leftrightarrow x+{{x}^{2}}{{\log }_{2}}7<0$ B. $f(x)<1\Leftrightarrow x\ln 2+{{x}^{2}}\ln 7<0$ C. $f(x)<1\Leftrightarrow x{{\log }_{7}}2+{{x}^{2}}<0$ D. $f(x)<1\Leftrightarrow 1+x{{\log }_{2}}7<0$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $f(x)<1\Leftrightarrow {{2}^{x}}{{.7}^{{{x}^{2}}}}<1\Leftrightarrow {{\log }_{2}}({{2}^{x}}{{.7}^{{{x}^{2}}}})<{{\log }_{2}}1$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}{{2}^{x}}+{{\log }_{2}}{{7}^{{{x}^{2}}}}<0\Leftrightarrow x+{{x}^{2}}{{\log }_{2}}7<0\Rightarrow $A đúng.
$f(x)<1\Leftrightarrow \ln ({{2}^{x}}{{.7}^{{{x}^{2}}}})<\ln 1\Leftrightarrow x\ln 2+{{x}^{2}}\ln 7<0\Rightarrow $ B đúng
$f(x)<1\Leftrightarrow {{\log }_{7}}({{2}^{x}}{{.7}^{{{x}^{2}}}})<0\Leftrightarrow x{{\log }_{7}}2+{{x}^{2}}<0\Rightarrow $ C đúng.
Đáp án sai là D. Chọn D.
