Giải bất phương trình mũ bằng Phương pháp đặt ẩn phụ có đáp án
Ta sẽ làm tương tự như các dạng đặt ẩn phụ của phương trình nhưng lưu ý đến chiều biến thiên của hàm số.
Bài tập trắc nghiệm đặt ẩn phụ giải bất phương trình mũ bpt có đáp án chi tiết
| Bài tập 1: Giải các bất phương trình sau:
a) ${{\left( \frac{1}{3} \right)}^{\frac{2}{x}}}+3.{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{\frac{1}{x}+1}}>12$ b) ${{3}^{x}}+{{9.3}^{-x}}-10<0$ |
Lời giải chi tiết
a) Điều kiện:$x\ne 0$
BPT$\Leftrightarrow {{\left( \frac{1}{3} \right)}^{\frac{2}{x}}}+3.{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{\frac{1}{x}}}.\frac{1}{3}>12\Leftrightarrow {{\left( \frac{1}{3} \right)}^{\frac{2}{x}}}+{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{\frac{1}{x}}}-12>0$
Đặt $t={{\left( \frac{1}{3} \right)}^{\frac{1}{x}}}\left( t>0 \right)$ ta được${{t}^{2}}+t-12>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} t>3 \\ {} t3$$\Rightarrow {{\left( \frac{1}{3} \right)}^{\frac{1}{x}}}>3\Leftrightarrow {{\left( \frac{1}{3} \right)}^{\frac{1}{x}}}>{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{-1}}\Leftrightarrow \frac{1}{x}<-1\Leftrightarrow \frac{1+x}{x}<0$
Lập bảng xét dấu ta được nghiệm của bất phương trình là $-1<x<0$
b) Ta có${{3}^{x}}+{{9.3}^{-x}}-10<0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} t={{3}^{x}} \\ {} {{t}^{2}}-10t+90 \\ {} 1<t<9 \\ \end{array} \right.\Rightarrow 1<{{3}^{x}}<9\Leftrightarrow {{3}^{0}}<{{3}^{x}}<{{3}^{3}}\Leftrightarrow 0<x<2$
| Bài tập 2: Giải các bất phương trình sau:
a) ${{6.9}^{\frac{1}{x}}}-{{13.6}^{\frac{1}{x}}}+{{6.4}^{\frac{1}{x}}}\le 0$ b) ${{5.4}^{x}}+{{2.25}^{x}}-{{7.10}^{x}}\le 0$ |
Lời giải chi tiết
a) Điều kiện:$x\ne 0$. Khi đó chia cả 2 vế cho ${{4}^{\frac{1}{x}}}$ ta có: $\Leftrightarrow 6.{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{\frac{2}{x}}}-13.{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{\frac{1}{x}}}+6.\le 0$
$\to \left\{ \begin{array} {} t={{\left( \frac{3}{2} \right)}^{\frac{1}{x}}}>0 \\ {} 6{{t}^{2}}-13t+6\le 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} t>0 \\ {} \frac{2}{3}\le t\le \frac{3}{2} \\ \end{array} \right.$
$\Rightarrow \left( \frac{2}{3} \right)\le {{\left( \frac{3}{2} \right)}^{\frac{1}{x}}}\le \frac{3}{2}\Leftrightarrow -1\le \frac{1}{x}\le 1\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} \frac{x+1}{x}\ge 0 \\ {} \frac{x-1}{x}\ge 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x\le -1 \\ {} x\ge 1 \\ \end{array} \right.$
b) Ta có: ${{5.4}^{x}}+{{2.25}^{x}}-{{7.10}^{x}}\le 0\Leftrightarrow 5+2.{{\left( \frac{25}{4} \right)}^{x}}-7{{\left( \frac{5}{2} \right)}^{x}}\le 0$
$\to \left\{ \begin{array} {} t={{\left( \frac{5}{2} \right)}^{x}} \\ {} 2{{t}^{2}}-7t+5\le 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} t>0 \\ {} 1\le t\le \frac{5}{2} \\ \end{array} \right.\Rightarrow 1\le {{\left( \frac{5}{2} \right)}^{x}}\le \frac{5}{2}\Leftrightarrow 0\le x\le 1$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left[ 0;1 \right]$
| Bài tập 3: Số nghiệm nguyên trong khoảng $\left( -20;20 \right)$có bất phương trình ${{16}^{x}}-{{5.4}^{x}}+4\ge 0$là
A. 19 B. 20 C. 39 D. 40 |
Lời giải chi tiết
Đặt $t={{4}^{x}}\left( t>0 \right)$ ta có: ${{t}^{2}}-5t+4\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} t\ge 4 \\ {} t\le 1 \\ \end{array} \right.$
Suy ra $\left[ \begin{array} {} {{4}^{x}}\ge 4 \\ {} {{4}^{x}}\le 1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x\ge 1 \\ {} x\le 0 \\ \end{array} \right.$
Kết hợp $\left\{ \begin{array} {} x\in \mathbb{Z} \\ {} x\in \left( -20;20 \right) \\ \end{array} \right.$ $\Rightarrow $có 39 nghiệm. Chọn C.
| Bài tập 4: Biết $S=\left[ a;b \right]$ là tập nghiệm của bất phương trình ${{3.9}^{x}}-{{10.3}^{x}}+3\le 0$. Tìm $b-a$
A. $T=\frac{8}{3}$ B. $T=1$ C. $T=\frac{10}{3}$ D. $T=2$ |
Lời giải chi tiết
Đặt $t={{3}^{x}}\left( t>0 \right)$ ta có $3{{t}^{2}}-10t+3\ge 0\Leftrightarrow \frac{1}{3}\le t\le 3\Rightarrow {{3}^{-1}}\le {{3}^{x}}\le 3\Leftrightarrow -1\le x\le 1$
Suy ra $S=\left[ -1;1 \right]\Rightarrow b-a=2$. Chọn D.
| Bài tập 5: Tìm tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình ${{9}^{x-1}}-{{36.3}^{x-3}}+3\le 0$
A. $T=4$ B. $T=3$ C. $T=0$ D. $T=1$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: BPT$\Leftrightarrow {{3}^{2\left( x-1 \right)}}-{{4.3}^{x-1}}+3\le 0\xrightarrow{t={{3}^{x-1}}>0}{{t}^{2}}-4t+3\le 0\Leftrightarrow 1\le t\le 3$
Khi đó: ${{3}^{0}}\le {{3}^{x-1}}\le 3\Leftrightarrow 0\le x-1\le 1\Leftrightarrow 1\le x\le 2$
Kết hợp$x\in \mathbb{Z}\Rightarrow x=\left\{ 1;2 \right\}\Rightarrow T=3$. Chọn B.
| Bài tập 6: Tìm tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình $\frac{{{2.3}^{x}}-{{2}^{x+2}}}{{{3}^{x}}-{{2}^{x}}}\le 1$
A. $T=0$ B. $T=1$ C. $T=2$ D. $T=3$ |
Lời giải chi tiết
$\frac{{{2.3}^{x}}-{{2}^{x+2}}}{{{3}^{x}}-{{2}^{x}}}\le 1\Leftrightarrow \frac{{{2.3}^{x}}-{{4.2}^{x}}}{{{3}^{x}}-{{2}^{x}}}\le 1\Leftrightarrow \frac{2.{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}-4}{{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}-1}\le 1\Leftrightarrow \frac{{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}-3}{{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}-1}\le 0$
$\xrightarrow{t={{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}>0}\Leftrightarrow \frac{t-3}{t-1}\le 0\Leftrightarrow 1<t\le 3\Rightarrow 1<{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}\le 3\Leftrightarrow 0<x<{{\log }_{\frac{3}{2}}}3$
Kết hợp $x\in \mathbb{Z}\Rightarrow x=\left\{ 1;2 \right\}\Rightarrow T=3$. Chọn D.
| Bài tập 7: Số nghiệm nguyên của bất phương trình${{\left( 3-\sqrt{5} \right)}^{2x-{{x}^{2}}}}+{{\left( 3+\sqrt{5} \right)}^{2x-{{x}^{2}}}}\le {{2}^{1-{{x}^{2}}+2x}}$là
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 |
Lời giải chi tiết
BPT$\Leftrightarrow $${{\left( \frac{3-\sqrt{5}}{2} \right)}^{2x-{{x}^{2}}}}+{{\left( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right)}^{2x-{{x}^{2}}}}\le 2$ Nhận xét$\left( \frac{3-\sqrt{5}}{2} \right)\left( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right)=1$
Đặt$t={{\left( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right)}^{2x-{{x}^{2}}}}\left( t>0 \right)$ suy ra${{\left( \frac{3-\sqrt{5}}{2} \right)}^{2x-{{x}^{2}}}}=\frac{1}{t}$
Ta có$t+\frac{1}{t}\le 2\Leftrightarrow {{t}^{2}}-2t+1\le 0\Leftrightarrow {{\left( t-1 \right)}^{2}}\le 0\Leftrightarrow t=1\Leftrightarrow 2x-{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=0 \\ {} x=2 \\ \end{array} \right.$
Vậy nghiệm của BPT là: $x=0;x=2$. Chọn A.
