Giải bất phương trình mũ bằng Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số, phương pháp phân tích nhân tử, phương pháp đánh giá
Các phương pháp giải bất phương trình mũ
Cho hàm số y = f(t) xác định và liên tục trên D:
Nếu hàm số f(t) luôn đồng biến trên D và $\forall u,v\in D$ thì $f(u)>f(v)\Leftrightarrow u>v$
Nếu hàm số f(t) luôn nghịch biến trên D và $\forall u,v\in D$ thì $f(u)>f(v)\Leftrightarrow u<v$
Bài tập trắc nghiệm các dạng bài giải bất phương trình mũ
| Bài tập 1: Giải các bất phương trình sau:
a) $\frac{{{3}^{2-x}}+3-2x}{{{4}^{x}}-2}>0$ b) $\frac{{{4}^{x}}+x-5}{{{2}^{x}}+x-6}>0$ |
Lời giải chi tiết
a) ĐK: $x\ne \frac{1}{2}$. Xét $g\left( x \right)={{3}^{2-x}}+3-2x$ với $x\in \mathbb{R}$ta có: $g’\left( x \right)=-{{3}^{2-x}}\ln 3-20\Leftrightarrow g\left( x \right)>g\left( 2 \right)\Leftrightarrow x<2$
$g\left( x \right)2$. Khi đó BPT $\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} \left\{ \begin{array} {} g\left( x \right)>0 \\ {} {{4}^{x}}-2>0 \\ \end{array} \right. \\ {} \left\{ \begin{array} {} g\left( x \right)<0 \\ {} {{4}^{x}}-2<0 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} \left\{ \begin{array} {} x\frac{1}{2} \\ \end{array} \right. \\ {} \left\{ \begin{array} {} x>2 \\ {} x<\frac{1}{2} \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \frac{1}{2}<x0,f\left( x \right)={{2}^{x}}\ln 2+1>0$
Do vậy hàm số$f\left( x \right)$,$g\left( x \right)$ đều đồng biến trên$\mathbb{R}$
Khi đó BPT$\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} \left\{ \begin{array} {} g\left( x \right)>0 \\ {} f\left( x \right)>0 \\ \end{array} \right. \\ {} \left\{ \begin{array} {} g\left( x \right)<0 \\ {} f\left( x \right)g\left( 1 \right) \\ {} f\left( x \right)>f\left( 2 \right) \\ \end{array} \right. \\ {} \left\{ \begin{array} {} g\left( x \right)<g\left( 1 \right) \\ {} f\left( x \right)2 \\ {} x2$;$x<1$
| Bài tập 2: Giải các bất phương trình sau:
a) ${{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{x+1}}-{{\left( 3+2\sqrt{2} \right)}^{x}}+1\ge x$ b*) ${{4}^{x}}+{{2}^{x}}-4\ge -x+\sqrt{{{2}^{x+1}}-x+6}$ |
Lời giải chi tiết
a) BPT $\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{x+1}}-{{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{2x}}+1\ge x\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{x+1}}+x+1\ge {{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{2x}}+2x$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{t}}+t\left( t\in \mathbb{R} \right),f’\left( t \right)={{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{t}}\ln \left( \sqrt{2}+1 \right)+1>0$
Do vậy hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$
Ta có: $f\left( x+1 \right)\ge f\left( 2x \right)\Leftrightarrow x+1\ge 2x\Leftrightarrow x\le 1$
Vậy nghiệm của BPT là: $x\le 1$
b) Đặt $y=\sqrt{{{2}^{x+1}}-x+6}\Rightarrow -x={{y}^{2}}-6-{{2}^{x+1}}$
Khi đó BPT $\Rightarrow {{4}^{x}}+{{2}^{x}}-4\ge {{y}^{2}}-6-{{2}^{x+1}}+y\Leftrightarrow {{4}^{x}}+{{3.2}^{x}}+2\ge {{y}^{2}}+y$
$\Leftrightarrow {{\left( {{2}^{x}}+1 \right)}^{2}}+\left( {{2}^{x}}+1 \right)\ge {{y}^{2}}+y$. Xét hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$
Do vậy BPT $\Leftrightarrow f\left( {{2}^{x}}+1 \right)\ge f\left( y \right)\Leftrightarrow {{2}^{x}}+1\ge y\Leftrightarrow {{2}^{x}}+1\ge \sqrt{{{2}^{x+1}}-x+6}$
$\Leftrightarrow {{4}^{x}}+{{2}^{x+1}}+1\ge {{2}^{x+1}}-x+6\Leftrightarrow {{4}^{x}}+x\ge 5$. Xét hàm số $g\left( x \right)={{4}^{x}}+5$ đồng biến trên $\mathbb{R}$
BPT$\Leftrightarrow g\left( x \right)\ge 5=g\left( 1 \right)\Leftrightarrow x\ge 1$
Vậy $x\ge 1$ là nghiệm của PT.
| Bài tập 3: Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình ${{25.2}^{x}}-{{10}^{x}}+{{5}^{x}}\ge 25$là:
A. $T=5$ B. $T=3$ C. $T=2$ D. $T=1$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${{25.2}^{x}}-{{10}^{x}}+{{5}^{x}}\ge 25\Leftrightarrow 25\left( {{2}^{x}}-1 \right)\ge 5\left( {{2}^{x}}-1 \right)$
$\Leftrightarrow \left( {{2}^{x}}-1 \right)\left( 25-{{5}^{x}} \right)\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} \left\{ \begin{array} {} {{2}^{x}}-1\ge 0 \\ {} 25-{{5}^{x}}\ge 0 \\ \end{array} \right. \\ {} \left\{ \begin{array} {} {{2}^{x}}-1\le 0 \\ {} 25-{{5}^{x}}\le 0 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} \left\{ \begin{array} {} {{2}^{x}}\ge {{2}^{0}} \\ {} {{5}^{2}}\ge {{5}^{x}} \\ \end{array} \right. \\ {} \left\{ \begin{array} {} {{2}^{x}}\le {{2}^{0}} \\ {} {{5}^{2}}\le {{5}^{x}} \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow 0\le x\le 2$
Kết hợp$x\in \mathbb{Z}\Rightarrow x=\left\{ 0;1;2 \right\}\Rightarrow T=3$. Chọn B.
| Bài tập 4: Số nghiệm nguyên của bất phương trình ${{3}^{{{x}^{2}}-x-6}}-{{3}^{x+2}}+{{x}^{2}}-2x-8\le 0$ là:
A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 |
Lời giải chi tiết
Ta có: BPT$\Leftrightarrow {{3}^{{{x}^{2}}-x-6}}+{{x}^{2}}-x-6\le {{3}^{x+2}}+x+2$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{3}^{t}}+t$ trên tập $\mathbb{R}$
Khi đó $f’\left( t \right)={{3}^{t}}\ln 3+1>0\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)$ suy ra $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$
Do đó $f\left( {{x}^{2}}-x-6 \right)\le f\left( x+2 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-6\le x+2\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-8\le 0$
$\Leftrightarrow -2\le x\le 4\Rightarrow $BPT có 7 nghiệm nguyên. Chọn C.
| Bài tập 5: Số nghiệm nguyên của bất phương trình ${{2}^{{{x}^{2}}-4x+7}}-{{2}^{5x-7}}+{{x}^{2}}-9x+14\le 0$ là:
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 |
Lời giải chi tiết
Ta có: BPT $\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}-4x+7}}+{{x}^{2}}-4x+7\le {{2}^{5x-7}}+5x-7$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{2}^{t}}+t$ trên tập $\mathbb{R}$
Khi đó $f'(t)={{2}^{t}}\ln 2+1>0\,\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)$ suy ra f(t) đồng biến trên $\mathbb{R}$
Do đó $f\left( {{x}^{2}}-4x+7 \right)\le f\left( 5x-7 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+7\le 5x-7\Leftrightarrow {{x}^{2}}-9x+14\le 0$
$\Leftrightarrow 2\le x\le 7\Rightarrow $BPT có 6 nghiệm nguyên. Chọn B.
| Bài tập 6: Số nghiệm nguyên của bất phương trình ${{2017}^{2x+\sqrt{x+1}}}-{{2017}^{2+\sqrt{x+1}}}+2018x\le 2018$
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 |
Lời giải chi tiết
Điều kiện $x\ge -1$
BPT $\Leftrightarrow {{2017}^{2x+\sqrt{x+1}}}+1004(2x+\sqrt{x+1})\le {{2018}^{2+\sqrt{x+1}}}+1004(2+\sqrt{x+1})$ (*)
Hàm số $f(t)={{2017}^{t}}+1004t$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên (*) $\Leftrightarrow 2x+\sqrt{x+1}\le 2+\sqrt{x+1}\Leftrightarrow x\in \left[ -1;1 \right]$
Do đó BPT có 3 nghiệm nguyên. Chọn C.
