Giải bất phương trình mũ bằng phương pháp đưa về cùng cơ số - bài tập có đáp án chi tiết

Giải bất phương trình mũ bằng phương pháp đưa về cùng cơ số – bài tập có đáp án

Phương pháp đứa về cùng cơ số mũ

Xét bất phương trình ${{a}^{f(x)}}>{{a}^{g(x)}}$

Nếu a > 1 thì ${{a}^{f(x)}}>{{a}^{g(x)}}\Leftrightarrow f(x)>g(x)$ (cùng chiều khi a > 1)

Nếu 0 < a {{a}^{g(x)}}\Leftrightarrow f(x)<g(x)$(ngược chiều khi 0 < a {{a}^{g(x)}}\Leftrightarrow (a-1)\left[ f(x)-g(x) \right]>0$(hoặc xét 2 trường hợp của cơ số).

Bài tập trắc nghiệm giải giải bất phương trình mũ khác cơ số có đáp án chi tiết

Bài tập 1: Giải các bất phương trình sau:

a) ${{\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)}^{8{{x}^{2}}-17x+11}}\ge {{\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)}^{7-5x-{{x}^{2}}}}$ b) ${{\left( \frac{1}{4} \right)}^{x}}\ge {{2}^{\frac{2x}{x+1}}}$

Lời giải chi tiết

a) Do $0>\frac{1}{\sqrt{3}}{{2}^{\frac{2x}{x+1}}}\Leftrightarrow {{2}^{-2x}}>{{2}^{\frac{2x}{x+1}}}$

Do 2 > 1 nên BPT $\Leftrightarrow -2x>\frac{2x}{x+1}\Leftrightarrow 2x+\frac{2x}{x+1}<0\Leftrightarrow \frac{2{{x}^{2}}+4x}{x+1}<0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x<-2 \\ {} -1<x<0 \\ \end{array} \right.$

Vậy nghiệm của BPT là $x\in \left( -\infty ;-2 \right)\cup (-1;0)$

Bài tập 2: Giải các bất phương trình sau:

a) ${{\left( \sqrt{10}+3 \right)}^{\frac{x-3}{x-1}}}<{{\left( \sqrt{10}-3 \right)}^{\frac{x+1}{x+3}}}$ b) $\frac{1}{{{2}^{\sqrt{{{x}^{2}}-2x}}}}\le {{2}^{x-1}}$

Lời giải chi tiết

a) ĐK: $x\ne 1,x=\ne -3$

Do $\left( \sqrt{10}+3 \right)\left( \sqrt{10}-3 \right)=1\Rightarrow \left( \sqrt{10}-3 \right)={{\left( \sqrt{10}+3 \right)}^{-1}}$

Khi đó BPT $\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{10}+3 \right)}^{\frac{x-3}{x-1}}}<{{\left( \sqrt{10}+3 \right)}^{\frac{x+1}{x+3}}}\Leftrightarrow \frac{x-3}{x-1}<-\frac{x+1}{x+3}\Leftrightarrow \frac{x-3}{x-1}+\frac{x+1}{x+3}<0$

$\Leftrightarrow \frac{2{{x}^{2}}-5}{(x-1)(x+3)}<0$. Lập bảng xét dấu ta được $\left[ \begin{array} {} -3<x<-\sqrt{5} \\ {} 1<x<\sqrt{5} \\ \end{array} \right.$

Vậy BPT có nghiệm là $\left( -3;-\sqrt{5} \right)\cup \left( 1;\sqrt{5} \right)$

b) Điều kiện ${{x}^{2}}-2x\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x\ge 2 \\ {} x\le 0 \\ \end{array} \right.$

Ta có $\frac{1}{{{2}^{\sqrt{{{x}^{2}}-2x}}}}\le {{2}^{x-1}}\Leftrightarrow {{2}^{x-1+\sqrt{{{x}^{2}}-2x}}}\ge 1={{2}^{0}}\Leftrightarrow x-1+\sqrt{{{x}^{2}}-2x}\ge 0$

$\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}-2x}\ge 1-x\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{} \left\{ \begin{array} {} 1-x1 \\ {} {{x}^{2}}-2x\ge 0 \\ \end{array} \right. \\ {} \left\{ \begin{array} {} x\le 1 \\ {} 0\ge 1 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x\ge 2$

Vậy tập nghiệm của BPT là: $S=\left[ 2;+\infty \right)$

Bài tập 3: Tập nghiệm của bất phương trình ${{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{\frac{6x-6}{x+1}}}\le {{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{-x}}$là :

A. $S=\left( -1;2 \right]\cup \left[ 3;+\infty \right)$ B. $S=\left( -1;2 \right)\cup \left[ 3;+\infty \right)$

C. $S=\left( -1;2 \right]\cup \left( 3;+\infty \right)$ D. $S=\left( 3;+\infty \right)$

Lời giải chi tiết

Ta có ${{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{\frac{6x-6}{x+1}}}\le {{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{-x}}\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{\frac{6x-6}{x+1}}}\le {{\left( \frac{1}{\sqrt{2}+1} \right)}^{-x}}={{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{x}}\Leftrightarrow \frac{6x-6}{x+1}\le x$

$\Leftrightarrow \frac{6x-6}{x+1}-x\le 0\Leftrightarrow \frac{-{{x}^{2}}+5x-6}{x+1}\le 0\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}-5x+6}{x+1}\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x\ge 3 \\ {} -1<x\le 2 \\ \end{array} \right.$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là $S=\left( -1;2 \right]\cup \left[ 3;+\infty \right)$.Chọn A.

Bài tập 4: Số nghiệm nguyên của bất phương trình ${{3}^{\sqrt{x}}}+{{3}^{\sqrt{x}-1}}-{{3}^{\sqrt{x}-2}}<11$ là:

A. 5 B. 2 C. 3 D. 4

Lời giải chi tiết

Ta có ${{3}^{\sqrt{x}}}+{{3}^{\sqrt{x}-1}}-{{3}^{\sqrt{x}-2}}<11\Leftrightarrow {{3}^{\sqrt{x}}}+\frac{1}{3}{{.3}^{\sqrt{x}}}-\frac{1}{9}{{.3}^{\sqrt{x}}}<11\Leftrightarrow \frac{11}{9}{{.3}^{\sqrt{x}}}<11$

$\Leftrightarrow {{3}^{\sqrt{x}}}<{{3}^{2}}\Leftrightarrow \sqrt{x}<2\Leftrightarrow 0\le x<4$. Vậy bất phương trình có tập nghiệm là $S=\left[ 0;4 \right)$

Vậy BPT có 4 nghiệm nguyên. Chọn D.

Bài tập 5: Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình ${{\left( \frac{2}{5} \right)}^{\frac{6-5x}{2+5x}}}\ge \frac{25}{4}$là

A. $T=-3$ B. $T=-1$ C. $T=2$ D. $T=1$

Lời giải chi tiết

Ta có

${{\left( \frac{2}{5} \right)}^{\frac{6-5x}{2+5x}}}\ge \frac{25}{4}\Leftrightarrow {{\left( \frac{2}{5} \right)}^{\frac{6-5x}{2+5x}}}\ge {{\left( \frac{5}{2} \right)}^{2}}={{\left( \frac{2}{5} \right)}^{-2}}\Leftrightarrow \frac{6-5x}{2+5x}\ge -2\Leftrightarrow \frac{10+5x}{2+5x}\le 0\Leftrightarrow -2\le x<\frac{-2}{5}$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là $S=\left[ -2;\frac{-2}{5} \right)$

Kết hợp $x\in \mathbb{Z}\Rightarrow x=\left\{ -2;-1 \right\}\Rightarrow T=-3$. Chọn A.

Bài tập 6: Số nghiệm nguyên âm của bất phương trình ${{\left( \sqrt{5}+2 \right)}^{x-1}}\ge {{\left( \sqrt{5}-2 \right)}^{\frac{x-1}{x+1}}}$ là

A. 5 B. 2 C. 3 D. 4

Lời giải chi tiết

Ta có ${{\left( \sqrt{5}+2 \right)}^{x-1}}\ge {{\left( \sqrt{5}-2 \right)}^{\frac{x-1}{x+1}}}\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{5}+2 \right)}^{x-1}}\ge {{\left( \frac{1}{\sqrt{5}+2} \right)}^{\frac{x-1}{x+1}}}={{\left( \sqrt{5}+2 \right)}^{\frac{x-1}{x+1}}}$

$\Leftrightarrow x-1\ge -\frac{x-1}{x+1}\Leftrightarrow x-1+\frac{x-1}{x+1}\ge 0\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}+x-2}{x+1}\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x>1 \\ {} -2\le x<1 \\ \end{array} \right.$

Kết hợp $x\in {{\mathbb{Z}}^{-}}\Rightarrow x=\left\{ -2;-1 \right\}\Rightarrow $BPT có 2 nghiệm nguyên âm. Chọn B.

Bài tập 7: Gọi S là tập hợp các nghiệm nguyên của bất phương trình ${{\left( \frac{1}{3} \right)}^{\sqrt{{{x}^{2}}-3x-10}}}>{{3}^{2-x}}$

Tìm số phần tử của S.

A. 11 B. 0 C. 9 D. 1

Lời giải chi tiết

BPT $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {{x}^{2}}-3x-10\ge 0 \\ {} \sqrt{{{x}^{2}}-3x-10}<x-2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \left[ \begin{array} {} x\ge 5 \\ {} x\le -2 \\ \end{array} \right. \\ {} \sqrt{{{x}^{2}}-3x-10}0 \\ {} {{x}^{2}}-3x-10<{{x}^{2}}-4x+4 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x\ge 5 \\ {} x<14 \\ \end{array} \right.$

$\Rightarrow 5\le x<14\Rightarrow $ có 9 phần tử. Chọn C.