• Skip to main content
  • Bỏ qua primary sidebar
Cộng đồng học tập lớp 12

Cộng đồng học tập lớp 12

Trắc nghiệm bài học, bài tập, kiểm tra và đề thi cho học sinh lớp 12.

Bạn đang ở:Trang chủ / Tổng ôn Toán 12 / Tổng hợp lý thuyết công thức tỷ số thể tích, định lý simson đầy đủ các kỹ thuật giải nhanh toán lớp 12

Tổng hợp lý thuyết công thức tỷ số thể tích, định lý simson đầy đủ các kỹ thuật giải nhanh toán lớp 12

25/04/2022 by admin Để lại bình luận

Công thức tỷ số thể tích, định lý simson đầy đủ các kỹ thuật giải nhanh

Chú thích ${{V}_{1}}=$Thể tích cũ, ${{V}_{2}}=$Thể tích mới (dùng cho kỹ thuật chuyển đỉnh và đáy).

Kỹ thuật đổi đỉnh (đáy không đổi)

  1. Song song với đáy

${{V}_{1}}={{V}_{2}}=\frac{1}{3}Bh.$

 

  1. Cắt đáy

$\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{\frac{1}{3}.d\left( A;\left( P \right) \right).{{S}_{}}}{\frac{1}{3}.d\left( B;\left( P \right) \right).{{S}_{}}}=\frac{d\left( A;\left( P \right) \right)}{d\left( B;\left( P \right) \right)}=\frac{IB}{IA}.$

 Kỹ thuật chuyển đáy (đường cao không đổi)

$$;với ${{S}_{1}}$ là diện tích đáy cũ; ${{S}_{2}}$ là diện tích đáy mới

Chú ý:

  1. Đưa hai khối đa diện về cùng một đỉnh; hai đáy mới và cũ nằm trong cùng một mặt phẳng (thường thì đáy cũ chứa đáy mới). Áp dụng công thức tính diện tích của đa giác để so sánh tỉ số giữa đáy cũ và đáy mới.
  2. Nếu tăng (hoặc giảm) mỗi cạnh của đa giác (tam giác, tứ giác), k lần thì diện tích đa giác sẽ tăng (hoặc giảm) ${{k}^{2}}$ lần.
  3. Tỉ số đa giác hay gặp là tỉ số diện tích của hai tam giác.

$\frac{{{S}_{\Delta AMN}}}{{{S}_{\Delta ABC}}}=\frac{\frac{1}{2}.AM.AN.\sin A}{\frac{1}{2}.AB.AC.\sin A}=\frac{AM}{AB}.\frac{AN}{AC}.$

Tỉ số thể tích của khối chóp

  1. Tỉ số thể tích của khối chóp tam giác 

Công thức: $$

Lưu ý: Công thức chỉ áp dụng với khối chóp có đáy là tam giác nên trong nhiều trường hợp ta cần chia nhỏ các khối đa diện thành các hình chóp tam giác khác nhau rồi mới áp dụng.

 Tỉ số thể tích của khối chóp tứ giác

  • Trường hợp đặc biệt: Cho hình chóp $S.ABCD$có đáy $ABCD$ (hoặc đa giác bất kỳ), mặt phẳng $\left( P \right)$ song song với đáy cắt các cạnh bên $SA,SB,SC,SD$lần lượt tại ${A}’,{B}’,{C}’,{D}’$.

Khi đó $$; với $\frac{S{A}’}{SA}.\frac{S{B}’}{SB}.\frac{S{C}’}{SC}=\frac{S{D}’}{SD}=k$.

Chú ý: Công thức trên đúng với đáy n giác. 

 Trường hợp đáy là hình bình hành (hay gặp)

Bài toán: Cho hình chóp $S.ABCD$có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Mặt phẳng $\left( P \right)$ cắt các cạnh $SA,SB,SC,SD$lần lượt tại ${A}’,{B}’,{C}’,{D}’$sao cho $\frac{S{A}’}{SA}=x;\frac{S{B}’}{SB}=y;\frac{S{C}’}{SC}=z;\frac{S{D}’}{SD}=t.$

Khi đó $$ và $$

Tỉ số thể tích của khối lăng trụ

  1. Lăng trụ tam giác

þ  Kết quả 1:

Gọi V là thể tích khối lăng trụ, ${{V}_{1}}$ là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 6 đỉnh của lăng trụ, ${{V}_{2}}$ là thể tích khối chóp tạo thành từ 5 trong 6 đỉnh của lăng trụ. Khi đó: $$

Bài tập: Hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}’\xrightarrow{{}}{{V}_{{A}'{B}’BC}}=\frac{1}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}’}};{{V}_{{A}'{B}’ABC}}=\frac{2}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}’}}$

 

þ   Kết quả 2:

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.{A}'{B}'{C}’$. Mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$cắt các đường thẳng $A{A}’,B{B}’,C{C}’$lần lượt tại $M,N,P$ (tham khảo hình vẽ bên). Tính tỉ số $\frac{{{V}_{ABC.MNP}}}{{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}’}}}$.

HD: Ta có ${{V}_{ABC.MNP}}={{V}_{M.ABC}}+{{V}_{A.BNPC}}$

Lại có ${{V}_{M.ABC}}=\frac{1}{3}.d\left( M;\left( ABC \right) \right).{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{3}.\frac{AM}{A{A}’}.d\left( {A}’;\left( ABC \right) \right).{{S}_{\Delta ABC}}$

$=\frac{1}{3}.\frac{AM}{A{A}’}.{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}’}}\xrightarrow[{}]{}{{V}_{M.ABC}}=\frac{1}{3}.\frac{AM}{A{A}’}.{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}’}}$

Và ${{S}_{BNPC}}=\frac{h}{2}.\left( BN+CP \right);$${{S}_{BC{C}'{B}’}}=\frac{h}{2}.\left( B{B}’+C{C}’ \right)=h.B{B}’$

$\Rightarrow \frac{{{S}_{BNPC}}}{{{S}_{BC{C}'{B}’}}}=\frac{\frac{h}{2}.\left( BN+CP \right)}{h.B{B}’}=\frac{1}{2}\left( \frac{BN+CP}{B{B}’} \right)=\frac{1}{2}\left( \frac{BN}{B{B}’}+\frac{CP}{C{C}’} \right).$

Suy ra ${{V}_{A.BNPC}}=\frac{1}{3}.d\left( A;\left( BC{C}'{B}’ \right) \right).{{S}_{BNPC}}$

$=\frac{1}{3}.d\left( A;\left( BC{C}'{B}’ \right) \right).\frac{1}{2}\left( \frac{BN}{B{B}’}+\frac{CP}{C{C}’} \right).{{S}_{BC{C}'{B}’}}=\frac{1}{2}\left( \frac{BN}{B{B}’}+\frac{CP}{C{C}’} \right).{{V}_{A.BC{C}'{B}’}}$

Mà ${{V}_{A.BC{C}'{B}’}}=\frac{2}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}’}}\Rightarrow {{V}_{A.BNPC}}=\frac{1}{3}.\left( \frac{BN}{B{B}’}+\frac{CP}{C{C}’} \right).{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}’}}$

Vậy ${{V}_{ABC.MNP}}=\frac{1}{3}.\frac{AM}{A{A}’}.{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}’}}+\frac{1}{3}.\left( \frac{BN}{B{B}’}+\frac{CP}{C{C}’} \right).{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}’}}\Rightarrow \frac{{{V}_{ABC.MNP}}}{{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}’}}}=\frac{1}{3}\left( \frac{AM}{A{A}’}+\frac{BN}{B{B}’}+\frac{CP}{C{C}’} \right)$

Công thức tính nhanh $$ 

  1. Khối hộp

þ  Kết quả 1:

Gọi V là thể tích khối hộp, ${{V}_{1}}$ là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 8 đỉnh của khối hộp gồm hai đường chéo của hai mặt song song, ${{V}_{2}}$ là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 8 đỉnh của khối hộp ở các trường hợp còn lại. Khi đó: $$

Bài tập: Hình hộp $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’\xrightarrow{{}}{{V}_{{A}’C’BD}}=\frac{1}{3}{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’}};{{V}_{{A}'{C}'{D}’D}}=\frac{1}{6}{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’}}$

 þ  Kết quả 2:

Cho hình lăng trụ tam giác $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$. Mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$cắt các đường thẳng $A{A}’,B{B}’,C{C}’,D{D}’$lần lượt tại $M,N,P,Q$ (tham khảo hình vẽ bên).

Chứng minh rằng $\frac{AM}{A{A}’}+\frac{CP}{C{C}’}=\frac{BN}{B{B}’}+\frac{DQ}{D{D}’}$

và $\frac{{{V}_{ABCD.MNPQ}}}{{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’}}}=\frac{1}{2}\left( \frac{AM}{A{A}’}+\frac{CP}{C{C}’} \right)=\frac{1}{2}\left( \frac{BN}{B{B}’}+\frac{DQ}{D{D}’} \right)$

  • Chứng minh $\frac{AM}{A{A}’}+\frac{CP}{C{C}’}=\frac{BN}{B{B}’}+\frac{DQ}{D{D}’}$

Gọi I là tâm hình vuông ABCD; ${I}’$ là tâm hình vuông ${A}'{B}'{C}'{D}’$.

Ta có: $\frac{AM}{A{A}’}+\frac{CP}{C{C}’}=\frac{AM+PC}{A{A}’}=\frac{2OI}{A{A}’};$

$\frac{BN}{B{B}’}+\frac{DQ}{D{D}’}=\frac{BN+DQ}{B{B}’}=\frac{2O{I}’}{B{B}’}\Rightarrow \frac{AM}{A{A}’}+\frac{CP}{C{C}’}=\frac{BN}{B{B}’}+\frac{DQ}{D{D}’}.$

  • Chứng minh $\frac{{{V}_{ABCD.MNPQ}}}{{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’}}}=\frac{1}{2}\left( \frac{AM}{A{A}’}+\frac{CP}{C{C}’} \right)=\frac{1}{2}\left( \frac{BN}{B{B}’}+\frac{DQ}{D{D}’} \right)$

Chia khối đa diện $ABCD.MNPQ$thành hai khối đa diện $ABC.MNP$ và $ACD.MPQ$;

Làm tương tự với thể tích khối lăng trụ tam giác;

Cộng thể tích hai khối đa diện $\Rightarrow \frac{{{V}_{ABC.MNP}}}{{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}’}}}=\frac{1}{4}\left( \frac{AM}{A{A}’}+\frac{CP}{C{C}’}+\frac{BN}{B{B}’}+\frac{DQ}{D{D}’} \right)$

Mà $\frac{AM}{A{A}’}+\frac{CP}{C{C}’}=\frac{BN}{B{B}’}+\frac{DQ}{D{D}’}\Rightarrow \frac{{{V}_{ABCD.MNPQ}}}{{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’}}}=\frac{1}{2}\left( \frac{AM}{A{A}’}+\frac{CP}{C{C}’} \right)=\frac{1}{2}\left( \frac{BN}{B{B}’}+\frac{DQ}{D{D}’} \right)$

Công thức tính nhanh

$$

Thuộc chủ đề:Tổng ôn Toán 12 Tag với:THE TICH DA DIEN - TOAN 12

Bài liên quan:
  1. Tổng hợp lý thuyết bài tập trắc nghiệm tỉ số thể tích khối lăng trụ có đáp án chi tiết toán lớp 12
  2. Tổng hợp lý thuyết bài tập trắc nghiệm tỉ số thể tích của khối chóp có đáp án chi tiết toán lớp 12
  3. Tổng hợp lý thuyết bài tập tính thể tích khối lăng trụ xiên có đáp án chi tiết toán lớp 12
  4. Tổng hợp lý thuyết cách tính thể tích khối lăng trụ đứng- bài tập có đáp án chi tiết toán lớp 12
  5. Tổng hợp lý thuyết cách giải bài toán tính thể tích một số khối chóp đặc biệt toán lớp 12
  6. Tổng hợp lý thuyết cách giải tính thể tích khối chóp đều – bài tập đáp án chi tiết toán lớp 12
  7. Tổng hợp lý thuyết bài tập tính thể tích khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy có đáp án chi tiết toán lớp 12
  8. Tổng hợp lý thuyết bài tập thể tích khối chóp có đường cao sẵn có – có đáp án chi tiết toán lớp 12

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

Trắc nghiệm online Lớp 12 - Bài học - Ôn thi THPT 2022.
Bản quyền - Chính sách bảo mật - Giới thiệu - Liên hệ - Sitemap.