Bài tập tính Thể tích khối lăng trụ xiên có đáp án chi tiết
Một số bài tập trắc nghiệm tính thể tích khối lăng trụ xiên có Lời giải chi tiết
| Bài tập 1: Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}’$ có đáy là tam giác vuông cân $AC=BC=3a$, hình chiếu vuông góc của ${B}’$lên mặt đáy trùng với trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng $\left( AB{B}'{A}’ \right)$ tạo với mặt phẳng $\left( ABC \right)$ một góc $60{}^\circ $. Thể tích khối lăng trụ đã cho là:
A. $\frac{9{{a}^{3}}\sqrt{6}}{8}$ B. $\frac{9{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}$ C. $\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}$ D. $\frac{9{{a}^{3}}}{4}$ |
Lời giải chi tiết
Dựng $CI\bot AB\Rightarrow I$ là trung điểm của AB.
Ta có: $\left( {B}’GI \right)\bot AB\Rightarrow \widehat{{B}’IG\,}=60{}^\circ .$
Lại có: $CI=\frac{1}{2}AB=\frac{3a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow GI=\frac{a\sqrt{2}}{2}$
$\Rightarrow {B}’G=GI\tan 60{}^\circ =\frac{a\sqrt{6}}{2}$
${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}’}}={B}’G.{{S}_{ABC}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}.\frac{9{{a}^{2}}}{2}=\frac{9{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}$.Chọn B.
| Bài tập 2: Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}’$ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của ${B}’$ lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của cạnh AB, góc giữa mặt phẳng $\left( BC{C}'{B}’ \right)$ và mặt phẳng đáy bằng $60{}^\circ $. Thể tích khối lăng trụ đã cho là:
A. $\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$ B. $\frac{9{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}$ C. $\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{6}}{16}$ D. $\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}$ |
Lời giải chi tiết
Kẻ $HK\bot BC\Rightarrow BC\bot \left( {B}’HK \right)\Rightarrow \widehat{{B}’KH}=60{}^\circ .$
Ta có: $HK=HB\sin 60{}^\circ =\frac{a\sqrt{3}}{4}\Rightarrow {B}’H=HK\tan 60{}^\circ =\frac{3a}{4}$
${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}’}}={B}’H.{{S}_{ABC}}=\frac{3a}{4}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}$.
Chọn D.
| Bài tập 3: Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}’$ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của ${A}’$trên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là trùng với trọng tâm tam giác ABC, góc giữa đường thẳng $A{A}’$ và mặt phẳng đáy $\left( ABC \right)$ bằng $30{}^\circ $. Thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}’$ là:
A. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$ B. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}$ C. $\frac{5{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$ D. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$ |
Lời giải chi tiết
Gọi H là trọng tâm tam giác đều ABC và M là trung điểm của BC.
Ta có: $AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AH=\frac{2}{3}AM=\frac{a\sqrt{3}}{3}$
Khi đó: ${A}’H=HA\tan 30{}^\circ =\frac{a}{3},{{S}_{ABC}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$
Do vậy: ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}’}}={{S}_{ABC}}.{A}’H=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$
Chọn D.
| Bài tập 4: Cho lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}’$ có đáy là tam giác đều cạnh 4a. Hình chiếu của ${A}’$ trên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là điểm H thuộc cạnh AB sao cho $HB=3HA.$ Góc tạo bởi đường thẳng ${A}’C$ và mặt đáy bằng $30{}^\circ $. Thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}’$ là:
A. $4{{a}^{3}}\sqrt{13}$ B. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{13}}{8}$ C. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{13}}{4}$ D. ${{a}^{3}}\sqrt{13}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $HB=3a;HA=a.$Gọi E là trung điểm của AB.
Ta có: $CE=\frac{\left( 4a \right)\sqrt{3}}{2}=2a\sqrt{3}$
$\Rightarrow C{{H}^{2}}=H{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}-2HA.AC\cos 60{}^\circ =13{{a}^{2}}$
Hoặc $CH=\sqrt{C{{E}^{2}}+H{{E}^{2}}}=a\sqrt{13}$
$\Rightarrow {A}’H=CH\tan 30{}^\circ =\frac{a\sqrt{13}}{\sqrt{3}};{{S}_{ABC}}=4{{a}^{2}}\sqrt{3}$
Khi đó ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}’}}={{S}_{ABC}}.{A}’H=4{{a}^{3}}\sqrt{13}$
Chọn A.
| Bài tập 5: Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}’$ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C có $AC=BC=2a,$hình chiếu vuông góc của ${A}’$lên mặt đáy trùng với trung điểm của AB. Biết khoảng cách giữa 2 đường thẳng ${A}’C$và AB bằng $\frac{2a}{\sqrt{3}}.$ Thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}’$ là:
A. $4{{a}^{3}}\sqrt{2}$ B. $8{{a}^{3}}$ C. $4{{a}^{3}}$ D. $2{{a}^{3}}$ |
Lời giải chi tiết
Gọi H là trung điểm của $AB\Rightarrow CH=a\sqrt{2}$
Khi đó ta có: $\left\{ \begin{matrix} CH\bot AB \\ AB\bot {A}’H \\\end{matrix} \right.\Rightarrow AB\bot \left( {A}’HC \right)$
Dựng $HK\bot {A}’C\Rightarrow d\left( {A}’C;AB \right)=HK$
Mặt khác $\frac{1}{HK}=\frac{1}{A{{H}^{2}}}+\frac{1}{H{{C}^{2}}}\Rightarrow {A}’H=2a$
Do vậy ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}’}}={A}’H.{{S}_{ABC}}=4{{a}^{3}}$. Chọn C.
| Bài tập 6: Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}’$ có đáy là tam giác đều cạnh a. Gọi M là trung điểm của AB, tam giác ${C}’MC$ cân tại ${C}’$ và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Đường thẳng $A{C}’$ tạo với đáy góc $60{}^\circ $. Thể tích khối lăng trụ là:
A. $\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{7}}{16}$ B. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{21}}{16}$ C. $\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}$ D. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{21}}{4}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $CM=\frac{a\sqrt{3}}{2},{{S}_{ABC}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$
Gọi H là trung điểm của CM suy ra ${C}’H\bot CM.$
Mặt khác có $\left( {C}’MC \right)\bot \left( ABC \right)\Rightarrow {C}’H\bot \left( ABC \right)$
$\Rightarrow \widehat{\left( A{C}’;\left( ABC \right) \right)}=\widehat{{C}’AH}=60{}^\circ ..$
Lại có $AH=\sqrt{M{{H}^{2}}+A{{M}^{2}}}=\frac{a\sqrt{7}}{4}.$
Suy ra ${C}’H=AH\tan 60{}^\circ =\frac{a\sqrt{21}}{4}$.
Vậy ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}’}}={C}’H.{{S}_{ABC}}=\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{7}}{16}$. Chọn A.
| Bài tập 7: Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}’$ có tam giác ABC vuông tại B, có $AB=a,AC=2a$. Tam giác ${A}’AC$ cân tại ${A}’$ và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt phẳng $\left( {A}’AC \right)$ tạo với đáy một góc $45{}^\circ $. Thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}’$ là:
A. $2{{a}^{3}}\sqrt{3}$ B. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$ C. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$ D. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$ |
Lời giải chi tiết
Gọi H là trung điểm của AC khi đó $AH\bot AC$.
Mặt khác $\left( {A}’AC \right)\bot \left( ABC \right).$
Do đó ${A}’H\bot \left( ABC \right)$. Dựng $HK\bot BC$
$\Rightarrow \left( {A}’HK \right)\bot BC\Rightarrow \widehat{{A}’KH}=45{}^\circ $
Ta có: $HK=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2}\Rightarrow {A}’H=HK=\frac{a}{2}$
${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}’}}={A}’H.{{S}_{ABC}}=\frac{a}{2}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$
Chọn D.
| Bài tập 8: Cho khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}’$ có đáy là tam giác ABC vuông tại B có $AB=BC=2a$. Biết rằng hình chiếu của ${A}’$ lên mặt đáy trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết ${A}’C=\frac{2a\sqrt{14}}{3}$. Thể tích khối lăng trụ đã cho là:
A. $2{{a}^{3}}$ B. $4{{a}^{3}}$ C. $\frac{4{{a}^{3}}}{3}$ D. $8{{a}^{3}}$ |
Lời giải chi tiết
Gọi H là trọng tâm tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB ta có: $CM=\sqrt{M{{B}^{2}}+C{{B}^{2}}}=a\sqrt{5}$
$\Rightarrow CH=\frac{2}{3}a\sqrt{5}\Rightarrow {A}’H=\sqrt{{A}'{{C}^{2}}-C{{H}^{2}}}=2a$
Do vậy ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}’}}={A}’H.{{S}_{ABC}}=2a.\frac{{{\left( 2a \right)}^{2}}}{2}=4{{a}^{3}}$.
Chọn B.
| Bài tập 9: Cho khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}’$ có đáy là tam giác ABC đều cạnh 6a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh ${A}’$ xuống mặt đáy thuộc cạnh AC sao cho $HC=2HA$. Biết khoảng cách từ C đến mặt phẳng $\left( AB{B}'{A}’ \right)$bằng $\frac{9a}{2}$. Thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}’$ là:
A. $18{{a}^{3}}\sqrt{3}$ B. $36{{a}^{3}}\sqrt{3}$ C. $54{{a}^{3}}\sqrt{3}$ D. $27{{a}^{3}}\sqrt{3}$ |
Lời giải chi tiết
Dựng $HK\bot AC,HF\bot {A}’E\Rightarrow HF\bot \left( AB{A}’ \right)$
Ta có: $d\left( C;\left( AB{A}’ \right) \right)=3d\left( H;\left( AB{A}’ \right) \right)=3HF=\frac{9a}{2}$
Lại có: $HE=HA\sin 60{}^\circ =2a\sin 60{}^\circ =a\sqrt{3};HF=\frac{3a}{2}.$
Mặt khác: $\frac{1}{H{{E}^{2}}}+\frac{1}{{A}'{{H}^{2}}}=\frac{1}{H{{F}^{2}}}\Rightarrow {A}’H=3a.$
Vậy ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}’}}={A}’H.{{S}_{ABC}}=3a.\frac{{{\left( 6a \right)}^{2}}\sqrt{3}}{4}=27{{a}^{3}}\sqrt{3}$
Chọn D.
| Bài tập 10: Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}’$ có đáy là tam giác đều cạnh a. Biết rằng hình chiếu vuông góc ${A}’$ xuống đáy trùng với trung điểm của AB và $A{C}’=\frac{3a}{2}$. Thể tích khối lăng trụ đã cho là:
A. $\frac{{{a}^{3}}}{4}$ B. $\frac{{{a}^{3}}}{12}$ C. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$ D. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$ |
Lời giải chi tiết
Gọi H là trung điểm của $AB\Rightarrow AH=\frac{a}{2}.$
Ta có: $AB\bot {A}’H;AB\bot CH\Rightarrow {C}’H\bot AB$
$\Rightarrow A{{H}^{2}}+H{{{C}’}^{2}}=A{{{C}’}^{2}}\Rightarrow H{{{C}’}^{2}}=A{{{C}’}^{2}}-A{{H}^{2}}=2{{a}^{2}}$
$\Rightarrow {A}’H=\sqrt{H{{{{C}’}}^{2}}-A{{{{C}’}}^{2}}}=a$
${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}’}}={A}’H.{{S}_{ABC}}=a.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$. Chọn C.
| Bài tập 11: Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}’$ biết ${C}’.ABC$là hình chóp tam giác đều có đường cao bằng h. Đường thẳng $A{A}’$tạo với đáy một góc $60{}^\circ $. Thể tích khối lăng trụ đã cho tính theo h là:
A. $\frac{{{h}^{3}}\sqrt{3}}{8}$ B. $\frac{{{h}^{3}}\sqrt{3}}{4}$ C. $\frac{3{{h}^{3}}}{4}$ D. $\frac{{{h}^{3}}\sqrt{3}}{2}$ |
Lời giải chi tiết
Gọi H là trọng tâm tam giác đều ABC.
Khi đó ${C}’H\bot \left( ABC \right)$ và ${C}’H=h.$
Ta có: $A{A}’//C{C}’$ suy ra $C{C}’$tạo với đáy một góc $60{}^\circ $
$\Rightarrow \widehat{{C}’CH}=60{}^\circ .$ Khi đó $CH\tan 60{}^\circ =h\Rightarrow CH=\frac{h}{\sqrt{3}}.$
Đặt $AB=a\Rightarrow CH=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{h}{\sqrt{3}}\Rightarrow h=a.$
Do đó ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}’}}=\frac{{{h}^{3}}\sqrt{3}}{4}$. Chọn B.
| Bài tập 12: Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}’$có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của ${A}’$ xuống đáy là trung điểm của AB. Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng $\left( {A}’BC \right)$ bằng $\frac{a\sqrt{15}}{5}$. Thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}’$ là:
A. $\frac{3{{a}^{3}}}{8}$ B. $\frac{3{{a}^{3}}}{4}$ C. $\frac{{{a}^{3}}}{8}$ D. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$ |
Lời giải chi tiết
Gọi H là trung điểm của $AB\Rightarrow {A}’H\bot \left( ABC \right)$
Dựng $HE\bot BC,HF\bot {A}’E.$Khi đó $d\left( H;\left( {A}’BC \right) \right)=HF.$
Mặt khác $HE=HB\sin \widehat{ABC}=\frac{a}{2}\sin 60{}^\circ =\frac{a\sqrt{3}}{4}.$
Lại có $d\left( A;\left( {A}’BC \right) \right)=2d\left( H;\left( {A}’BC \right) \right)=2HF=\frac{a\sqrt{15}}{5}$
$\Rightarrow HF=\frac{a\sqrt{15}}{10}$. Mặt khác: $\frac{1}{H{{F}^{2}}}=\frac{1}{H{{E}^{2}}}+\frac{1}{{A}'{{H}^{2}}}$
$\Rightarrow {A}’H=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow V={A}’H.{{S}_{ABC}}=\frac{3{{a}^{3}}}{8}$. Chọn A.
| Bài tập 13: Cho hình chóp hộp $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$ có đáy là hình chữ nhật có $AB=3a,AD=4a$
. Biết ${A}’A={A}’B={A}’C={A}’D$ và mặt phẳng $\left( {A}’CD \right)$ tạo với đáy một góc $60{}^\circ$. Thể tích khối hộp đã cho là: A. $4{{a}^{3}}\sqrt{3}$ B. $12{{a}^{3}}\sqrt{3}$ C. $8{{a}^{3}}\sqrt{3}$ D. $24{{a}^{3}}\sqrt{3}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có ${A}’A={A}’B={A}’C={A}’D$ nên hình chiếu của ${A}’$xuống mặt đáy trùng với tâm H của hình chữ nhật ABCD. Dựng $HK\bot CD.$
Lại có ${A}’H\bot CD\Rightarrow CD\bot \left( {A}’CD \right)$
Do vậy $\widehat{\left( \left( {A}’CD \right);\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{{A}’KH}=60{}^\circ .$
Lại có $HK=\frac{AD}{2}=2\Rightarrow {A}’H=HK\tan 60{}^\circ =2a\sqrt{3}$
Vậy ${{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’}}={A}’H.{{S}_{ABCD}}=24{{a}^{3}}\sqrt{3}$. Chọn D.
| Bài tập 14: Cho hình lăng trụ $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$ có đáy là hình thoi ABCD tâm O có $AC=2a,$$BD=2a\sqrt{3}.$ Hình chiếu vuông góc của ${B}’$ xuống đáy trùng cới trung điểm của OB. Đường thẳng ${B}’C$ tạo với đáy góc $45{}^\circ $. Thể tích khối lăng trụ đã cho là:
A. $2{{a}^{3}}\sqrt{7}.$ B. $2{{a}^{3}}\sqrt{3}.$ C. $3{{a}^{3}}\sqrt{21}.$ D. ${{a}^{3}}\sqrt{21}.$ |
Lời giải chi tiết
Gọi H là trung điểm của OB. Khi đó
$OC=a,OH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow CH=\sqrt{O{{C}^{2}}+O{{H}^{2}}}=\frac{a\sqrt{7}}{2}.$
Ta có: $\widehat{\left( {B}’C;\left( ABC \right) \right)}=\widehat{{B}’CH}=45{}^\circ $
$\Rightarrow {B}’H=CH=\frac{a\sqrt{7}}{2}$
Lại có: ${{S}_{ABCD}}=\frac{1}{2}AC.BD=2{{a}^{2}}\sqrt{3}$
$\Rightarrow {{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’}}=2{{a}^{2}}\sqrt{3}.\frac{a\sqrt{7}}{2}={{a}^{3}}\sqrt{21}.$ Chọn D
| Bài tập 15: Cho hình lăng trụ $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$ có đáy là hình vuông ABCD cạnh 6a. Hình chiếu vuông góc của ${A}’$xuống đáy trùng với trọng tâm tam giác ABD. Biết tam giác $A{A}’C$ vuông tại ${A}’$. Thể tích khối lăng trụ $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$ là:
A. $72{{a}^{3}}$ B. $144{{a}^{3}}$ C. $72{{a}^{3}}\sqrt{3}$ D. $48{{a}^{3}}$ |
Lời giải chi tiết
Gọi G là trọng tâm tam giác ABD khi đó ta có:
$GA=\frac{1}{3}AC$. Mặt khác $AC=6a\sqrt{2}.$
Suy ra $GA=2a\sqrt{2},GC=4a\sqrt{2}.$ Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác $AC{A}’$ vuông tại ${A}’$có đường cao ${A}’G$ nên ta có: ${A}’G=\sqrt{GA.GC}=4a$
$\Rightarrow {{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’}}={A}’G.{{S}_{ABCD}}=144{{a}^{3}}$. Chọn B.
| Bài tập 16: Cho lăng trụ $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$ có đáy ABCD là hình chữ nhật có $AB=2a,AD=2a\sqrt{3},$hình chiếu vuông góc của ${A}’$ lên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ trùng với tâm O của hình chữ nhật ABCD. Biết cạnh $A{A}’$ tạo với đáy một góc $60{}^\circ $. Thể tích lăng trụ $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$ là:
A. $8{{a}^{3}}$ B. $12\sqrt{3}{{a}^{3}}$ C. $24{{a}^{3}}$ D. $8\sqrt{3}{{a}^{3}}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $\widehat{\left( A{A}’;\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{{A}’AO}=60{}^\circ .$
Mặt khác: $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=4a\Rightarrow OA=2a$
$\Rightarrow O{A}’=OA\tan 60{}^\circ =2a\sqrt{3}$
${{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’}}=O{A}’.{{S}_{ABCD}}=2a\sqrt{3}.4{{a}^{2}}\sqrt{3}=24{{a}^{3}}$
Chọn C.
.
