• Skip to main content
  • Bỏ qua primary sidebar
Cộng đồng học tập lớp 12

Cộng đồng học tập lớp 12

Trắc nghiệm bài học, bài tập, kiểm tra và đề thi cho học sinh lớp 12.

Bạn đang ở:Trang chủ / Tổng ôn Toán 12 / Tổng hợp lý thuyết cách tính thể tích khối lăng trụ đứng- bài tập có đáp án chi tiết toán lớp 12

Tổng hợp lý thuyết cách tính thể tích khối lăng trụ đứng- bài tập có đáp án chi tiết toán lớp 12

24/04/2022 by admin Để lại bình luận

Cách tính Thể tích khối lăng trụ đứng- Bài tập có đáp án

Công thức tính thể tích khối lăng trụ:

$V=S.h$

Trong đó: S là diện tích đáy và h là chiều cao của khối lăng trụ.

Chú ý: Lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.

 Bài tập trắc nghiệm thể tích khối lăng trụ có đáp án chi tiết

Bài tập 1: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}’$có đáy là tam giác dều cạnh a. Biết mặt phẳng (A’BC) tạo với đáy một góc 60°. Thể tích khối lăng trụ đã cho là:

A. $\frac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$ B. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$ C. $\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$              D. $\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$

Lời giải chi tiết

Diện tích đáy cùa lăng trụ là ${{S}_{ABC}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.$

Dựng $AH\bot BC,$có $BC\bot A{A}’\Rightarrow BC\bot ({A}’HA)$

Do đó: $\widehat{\left( \left( {A}’BC \right);\left( ABC \right) \right)}=\widehat{{A}’HA\text{ }}=60{}^\circ $

Ta có: $AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow {A}’H=AH\tan 60{}^\circ =\frac{3a}{2}.$

Thể tích khối lăng trụ là: $V={{S}_{ABC}}.A{A}’=\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}.$ Chọn C

 

Bài tập 2: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}’$ có đáy là tam giác đều cạnh a. Đường thẳng ${A}’C$ tạo với mặt phẳng $(BC{C}'{B}’)$ một góc $30{}^\circ $. Thể tích khối lăng trụ đã cho là

A. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{5}$ B. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{8}$ C. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{8}$              D. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}$

Lời giải chi tiết

Dựng ${A}’H\bot {B}'{C}’\Rightarrow $H là trung điểm của ${B}'{C}’$.

Mặt khác ${A}’H\bot B{B}’\Rightarrow {A}’H\bot (BC{C}'{B}’)$.

Khi đó $\widehat{({A}’C;(BC{C}'{B}’)})=\widehat{{A}’CH}=30{}^\circ $

Ta có: ${A}’C\sin 30{}^\circ -{A}’H-\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow {A}’C=a\sqrt{3}$

Suy ra $A{A}’=\sqrt{{A}'{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}}=a\sqrt{2}.$

Thể tích khối lăng trụ là: $V={{S}_{ABC}}.A{A}’=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.a\sqrt{2}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}$

Chọn D.

Bài tập 3: Cho hình lăng trụ đứng$ABC.{A}'{B}'{C}’$có đáy là tam giác vuông cân tại A có $AB=AC=a$. Biết diện tích tam giác ${A}’BC$ bằng $\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$. Thể tích khối lăng trụ đã cho là

A. $2{{a}^{3}}$ B. ${{a}^{3}}$ C. $\text{3}{{a}^{3}}$ D. $\frac{{{a}^{3}}}{2}$

Lời giải chi tiết

Diện tích đáy của lăng trụ là ${{S}_{ABC}}=\frac{{{a}^{2}}}{2}.$

Dựng $AH\bot BC,$có $BC\bot A{A}’\Rightarrow BC\bot ({A}’HA)\Rightarrow BC\bot {A}’H.$

Mặt khác $BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=a\sqrt{2}\Rightarrow {A}’H=\frac{2{{S}_{ABC}}}{BC}=\sqrt{\frac{3}{2}}a.$

Do $AH=\frac{BC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow A{A}’=\sqrt{{A}'{{H}^{2}}-A{{H}^{2}}}=a.$

Thể tích khối lăng trụ là: $V={{S}_{ABC}}.A{A}’=\frac{{{a}^{3}}}{2}.$Chọn D.

 

Bài tập 4: Cho khối lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}’$có đáy ABC là tam giác cân với $AB=AC=a$, $\widehat{BAC}=120{}^\circ ,$ mặt phẳng $(A{B}'{C}’)$ tạo với đáy một góc $60{}^\circ $. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

A. $V=\frac{3{{a}^{3}}}{8}$ B. $V=\frac{9{{a}^{3}}}{8}$ C. $V=\frac{{{a}^{3}}}{8}$              D. $V=\frac{3{{a}^{3}}}{4}$

Lời giải chi tiết

Gọi M là trung điểm của ${B}'{C}’$

Khi đó $\left\{ \begin{matrix}   {B}'{C}’\bot {A}’M  \\   {B}'{C}’\bot A{A}’  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow {B}'{C}’\bot ({A}’MA)\Rightarrow \widehat{{A}’MA}=60{}^\circ $

Ta có: $B{{C}^{2}}=2{{a}^{2}}-2{{a}^{2}}\cos 120{}^\circ =3{{a}^{2}}\Rightarrow BC=a\sqrt{3}$

${A}’M=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a}{2}\Rightarrow A{A}’=h={A}’M\tan 60{}^\circ =\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}{{a}^{2}}\sin 120{}^\circ =\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\Rightarrow V={{S}_{ABC}}.A{A}’=\frac{3{{a}^{3}}}{8}.$ Chọn A.

 

Bài tập 5: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}’$có đáy ABC là tam giác cân tại A có $AB=AC=3a$. Biết rằng $A{A}’=a\sqrt{3}$và mặt phẳng $\left( {A}’BC \right)$tạo với đáy một góc $60{}^\circ $. Thể tích khối lăng trụ đã cho là:

A. ${{a}^{3}}\sqrt{6}$ B. $6{{a}^{3}}\sqrt{6}$ C. $2{{a}^{3}}\sqrt{6}$ D. $\frac{2{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$

Lời giải chi tiết

Gọi M là trung điểm của BC, ta có $AM\bot BC$

Mặt khác $BC\bot A{A}’\Rightarrow BC\bot \left( A{A}’M \right)$

Do đó $\widehat{{A}’MA}=60{}^\circ $. Khi đó $A{A}’=AM\tan 60{}^\circ $

$\Rightarrow AM=a\Rightarrow BM=\sqrt{A{{B}^{2}}-A{{M}^{2}}}=2a\sqrt{2}.$

Khi đó ${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}BC.AM=BM.AM=2{{a}^{2}}\sqrt{2}.$

Do đó ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}’}}=A{A}’.{{S}_{ABC}}.=a\sqrt{3}.2{{a}^{2}}\sqrt{2}=2{{a}^{3}}\sqrt{6}$. Chọn C.

 

Bài tập 6: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}’$có đáy là tam giác ABC vuông tại B có $AB=a\sqrt{3},BC=a.$ Gọi M là trung điểm của AC, đường thẳng ${B}’M$ tạo với đáy một góc $45{}^\circ .$Thể tích khối lăng trụ đã cho là:

A. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$ B. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{2}$ C. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$              D. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}$

Lời giải chi tiết

Ta có: $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=2a$.

Do vậy $BM=\frac{AC}{2}=a$(tính chất trung tuyến trong tam giác vuông).

Lại có: ${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$

Mặt khác: $\widehat{\left( {B}’M;\left( ABC \right) \right)}=\widehat{{B}’MB}=45{}^\circ .$

Suy ra $B{B}’=BM\tan 45{}^\circ =a.$

Vậy $V=B{B}’.{{S}_{ABC}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}.$Chọn A.

Bài tập 7: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}’$ có tam giác ABC vuông tại B có $BC=3a$. Gọi M là trung điểm của ${A}'{C}’$ và I là giao điểm của ${A}’C$và AM. Khoảng cách từ I đến mặt phẳng $(ABC)$ bằng 2a và ${A}’B=5a$. Thể tích khối lăng trụ đã cho là:

A. $6{{a}^{3}}$ B. $2{{a}^{3}}$ C. $9{{a}^{3}}$ D. $18{{a}^{3}}$

Lời giải chi tiết

Do $AM//AC$ nên $\frac{I{A}’}{IC}=\frac{M{A}’}{AC}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{{A}’C}{IC}=\frac{3}{2}.$

Do đó $d\left( {A}’;\left( ABC \right) \right)=\frac{3}{2}d\left( I;\left( ABC \right) \right)=3a=A{A}’.$

Mặt khác $AB=\sqrt{{A}'{{B}^{2}}-A{{{{A}’}}^{2}}}=4a.$

Do đó ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}’}}=A{A}’.{{S}_{ABC}}.=3a.\frac{4a.3a}{2}=18{{a}^{3}}$. Chọn D

 

Bài tập 8: Cho khối lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}’$có đáy là tam giác ABC vuông tại A có $AB=5a,AC=12a.$ Biết rằng mặt phẳng $\left( {A}’BC \right)$ tạo với đáy một góc $60{}^\circ $. Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}’$.

A. $\frac{800{{a}^{3}}\sqrt{3}}{13}.$ B. $\frac{3600{{a}^{3}}\sqrt{3}}{13}.$ C. $\frac{900{{a}^{3}}\sqrt{3}}{13}.$              D. $\frac{1800{{a}^{3}}\sqrt{3}}{13}.$

Lời giải chi tiết

Dựng $AH\bot BC.$ Mặt khác $A{A}’\bot BC.$

Do đó $\left( {A}’HA \right)\bot BC.$

Khi đó $\widehat{\left( \left( {A}’BC \right);\left( ABC \right) \right)}=\widehat{{A}’HA}=60{}^\circ .$

Mặt khác $AH=\frac{AB.AC}{\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}}=\frac{60}{13}a.$

Suy ra $A{A}’=AH\tan \widehat{{A}’HA}=\frac{60\sqrt{3}}{13}a.$

Vậy $V=A{A}’.{{S}_{ABC}}=\frac{1800{{a}^{3}}\sqrt{3}}{13}.$ Chọn D.

 

Bài tập 9: Cho khối lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}’$có đáy là tam giác ABC có $\widehat{BAC}=60{}^\circ ,AB=3a$và $AC=4a.$Gọi M là trung điểm của ${B}'{C}’$, biết khoảng cách từ M đến mặt phẳng $({B}’AC)$ bằng $\frac{3a\sqrt{15}}{10}$. Thể tích khối lăng trụ đã cho là:

A. ${{a}^{3}}$ B. $9{{a}^{3}}$ C. $4{{a}^{3}}$ D. $27{{a}^{3}}$

Lời giải chi tiết

Ta có: ${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}AB.AC\sin \widehat{BAC}=3{{a}^{2}}\sqrt{3}.$

Dựng $BE\bot AC;BF\bot {B}’E.$ Khi đó $\left\{ \begin{matrix}   BC\bot {B}’B  \\   BC\bot BE  \\\end{matrix} \right.$

Suy ra $BC\bot BF\Rightarrow BF\bot ({B}’AC).$

Do vậy $d\left( M;({B}’AC) \right)=BF;BE=AB\sin A=\frac{3a\sqrt{3}}{2}.$

Mặt khác $d\left( M;({B}’AC) \right)=\frac{1}{2}d\left( C;({B}’AC) \right)$

$=\frac{1}{2}d\left( B;({B}’AC) \right)=\frac{1}{2}BF=\frac{3a\sqrt{15}}{10}\Rightarrow BF=\frac{3a\sqrt{15}}{5}$

Mặt khác $\frac{1}{B{{F}^{2}}}=\frac{1}{B{{{{B}’}}^{2}}}+\frac{1}{B{{E}^{2}}}\Rightarrow B{B}’=3a\sqrt{3}\Rightarrow {{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}’}}=B{B}’.{{S}_{ABC}}=27{{a}^{3}}$. Chọn D.

Bài tập 10: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}’$ có đáy ABC là tam giác vuông, AB=BC=a. Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng $\left( AC{C}’ \right)$ và $(A{B}'{C}’)$ bằng $60{}^\circ $(tham khảo hình vẽ bên). Thể tích của khối chóp ${B}’.AC{C}'{A}’$ bằng

A. $\frac{{{a}^{3}}}{3}.$ B. $\frac{{{a}^{3}}}{6}.$

C. $\frac{{{a}^{3}}}{2}.$ D. $\frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}.$

Lời giải chi tiết

Dựng ${B}’M\bot {A}'{C}’\Rightarrow {B}’M\bot \left( AC{C}'{A}’ \right)$

Dựng $MN\bot A{C}’\Rightarrow A{C}’\bot (MN{B}’)$

Khi đó $\widehat{\left( (A{B}'{C}’);\left( A{C}'{A}’ \right) \right)}=\widehat{(MN{B}’)}=60{}^\circ $

Ta có: ${B}’M=\frac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow MN=\frac{{B}’M}{\tan \widehat{(MN{B}’)}}=\frac{a\sqrt{6}}{6}$

Mặt khác $\tan \widehat{A{C}'{A}’}=\frac{MN}{{C}’N}=\frac{A{A}’}{{A}'{C}’\,}$

Trong đó $MN=\frac{a\sqrt{6}}{6},M{C}’=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow {C}’N=\sqrt{{C}'{{M}^{2}}-M{{N}^{2}}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow A{A}’=a$

Thể tích lăng trụ $V=\frac{A{{B}^{2}}}{2}.h=\frac{{{a}^{3}}}{2}\Rightarrow {{V}_{{B}’.AC{C}'{A}’}}=V-{{V}_{{B}’.BAC}}=V-\frac{V}{3}=\frac{2}{3}V=\frac{{{a}^{3}}}{3}.$ Chọn A.

Bài tập 11: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}’$ có $AB=AC=a,\widehat{ACB}=30{}^\circ ,$đường thẳng ${A}’C$ tạo với mặt phẳng $\left( AB{B}'{A}’ \right)$ một góc $45{}^\circ $. Thể tích khối lăng trụ đã cho là

A. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$ B. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{8}$ C. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$              D. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}$

Lời giải chi tiết

Ta có tam giác ABC cân tại A do đó $\widehat{B}=\widehat{C}=30{}^\circ $

$\widehat{BAC}=120{}^\circ .$ Dựng $CH\bot AB$, có $CH\bot A{A}’$ suy ra

$CH\bot \left( AB{B}'{A}’ \right)\Rightarrow \widehat{\left( C{A}’;\left( AB{B}'{A}’ \right) \right)}=\widehat{C{A}’H}=45{}^\circ $

Mặt khác $CH=AC\sin \widehat{CAH}=a\sin 60{}^\circ =\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Suy ra $C{A}’\sin 45{}^\circ =CH\Rightarrow {A}’C=\frac{a\sqrt{6}}{2}$

$\Rightarrow A{A}’=\sqrt{{A}'{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}}=\frac{a}{\sqrt{2}}\Rightarrow V=A{A}’.{{S}_{ABC}}$

$=A{A}’.\frac{1}{2}AB.sin120{}^\circ =\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{8}$.Chọn B.

 

Bài tập 12: Cho khối lăng trụ đứng $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$có đáy là hình chữ nhật ABCD có $AB=a,AD=a\sqrt{3}.$ Mặt phẳng $\left( {A}’BD \right)$tạo với đáy một góc $60{}^\circ $. Thể tích khối lăng trụ đã cho là:

A. $\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$ B. $\frac{3{{a}^{3}}}{2}$ C. $\frac{{{a}^{3}}}{3}$              D. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$

Lời giải chi tiết

Dựng $AH\bot BD,$ta có $AH\bot A{A}’\Rightarrow \left( {A}’AH \right)\bot BD$

Do đó $\widehat{\left( \left( {A}’BD \right);\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{{A}’HA}=60{}^\circ $

Mặt khác $AH=\frac{AB.AD}{\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Suy ra ${A}’A=AH\tan 60{}^\circ =\frac{3a}{2},{{S}_{ABCD}}=AB.AD={{a}^{2}}\sqrt{3}$

$\Rightarrow {{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’}}=A{A}’.{{S}_{ABCD}}=\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}.$ Chọn A

Bài tập 13: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$ có đáy là hình chữ nhật ABCD có $AB=3a,AD=4a.$ Đường thẳng ${A}’C$ tạo với mặt phẳng $\left( {A}'{B}’BA \right)$ một góc $30{}^\circ $. Thể tích khối hộp chữ nhật đã cho là:

A. $2{{a}^{3}}\sqrt{39}.$ B. $18{{a}^{3}}\sqrt{39}.$ C. ${{a}^{3}}\sqrt{39}.$              D. $6{{a}^{3}}\sqrt{39}.$

Lời giải chi tiết

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}   BC\bot AB  \\   BC\bot {B}’B  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow BC\bot \left( AB{B}'{A}’ \right)$

$\Rightarrow \widehat{\left( {A}’C;\left( AB{B}'{A}’ \right) \right)}=\widehat{C{A}’B}=30{}^\circ $

Khi đó ${A}’B.\tan 30{}^\circ =BC=4a\Rightarrow {A}’B=4a\sqrt{3}$

Do vậy ${A}’A=\sqrt{{A}'{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a\sqrt{39}$

$\Rightarrow V={A}’A.{{A}_{ABCD}}=6{{a}^{3}}\sqrt{39}.$ Chọn D.

 

 

Bài tập 14: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$ đáy là hình chữ nhật có $AB=2a,AD=6a.$ Gọi M là trung điểm của AD, biết khoảng cách từ C đến mặt phẳng $\left( {A}’BM \right)$ bằng $\frac{12a}{7}$. Thể tích khối hộp $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$ là:

A. $24{{a}^{3}}$ B. $12{{a}^{3}}$ C. $3{{a}^{3}}$ D. $8{{a}^{3}}$

Lời giải chi tiết

Gọi $I=AC\cap BM$ta có $\frac{IA}{IC}=\frac{AM}{BC}=\frac{1}{2}$

Do vậy $d\left( C;\left( {A}’BM \right) \right)=2d\left( A;\left( {A}’BM \right) \right)=\frac{12}{7}a.$

Dựng $AE\bot BM,AF\bot {A}’E$ khi đó

$d\left( A;\left( {A}’BM \right) \right)=\frac{6a}{7}=AF$. Mặt khác

$\frac{1}{A{{E}^{2}}}+\frac{1}{A{{{{A}’}}^{2}}}=\frac{1}{A{{F}^{2}}}\Leftrightarrow \frac{1}{A{{F}^{2}}}=\frac{1}{A{{M}^{2}}}+\frac{1}{A{{B}^{2}}}+\frac{1}{A{{{{A}’}}^{2}}}$

$\Rightarrow A{A}’=a\Rightarrow V=A{A}’.{{S}_{ABCD}}=12{{a}^{3}}$. Chọn B.

 

Thuộc chủ đề:Tổng ôn Toán 12 Tag với:THE TICH DA DIEN - TOAN 12

Bài liên quan:
  1. Tổng hợp lý thuyết bài tập trắc nghiệm tỉ số thể tích khối lăng trụ có đáp án chi tiết toán lớp 12
  2. Tổng hợp lý thuyết bài tập trắc nghiệm tỉ số thể tích của khối chóp có đáp án chi tiết toán lớp 12
  3. Tổng hợp lý thuyết công thức tỷ số thể tích, định lý simson đầy đủ các kỹ thuật giải nhanh toán lớp 12
  4. Tổng hợp lý thuyết bài tập tính thể tích khối lăng trụ xiên có đáp án chi tiết toán lớp 12
  5. Tổng hợp lý thuyết cách giải bài toán tính thể tích một số khối chóp đặc biệt toán lớp 12
  6. Tổng hợp lý thuyết cách giải tính thể tích khối chóp đều – bài tập đáp án chi tiết toán lớp 12
  7. Tổng hợp lý thuyết bài tập tính thể tích khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy có đáp án chi tiết toán lớp 12
  8. Tổng hợp lý thuyết bài tập thể tích khối chóp có đường cao sẵn có – có đáp án chi tiết toán lớp 12

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

Trắc nghiệm online Lớp 12 - Bài học - Ôn thi THPT 2022.
Bản quyền - Chính sách bảo mật - Giới thiệu - Liên hệ - Sitemap.