Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng – bài tập có đáp án
Phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Để chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) ta chứng minh:
– a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (P).
– a song song với đường thẳng b mà b vuông góc với (P).
Bài tập chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng có đáp án chi tiết
| Bài tập 1: Cho tứ diện ABCD có hai mặt và ABC và BCD là hai tam giác cân có chung đáy BC.
Điểm I là trung điểm của cạnh BC. a) Chứng minh $BC\bot (ADI)$ b) Gọi AH là đường cao trong tam giác ADI. Chứng minh rằng $AH\bot (BCD)$ |
Lời giải chi tiết
a) Do các tam giác ABC và BCD là hai tam giác cân nên tại A và D ta có: $\left\{ \begin{array} {} AI\bot BC \\ {} DI\bot BC \\ \end{array} \right.$ (trong tam giác cân đường trung tuyến đồng thời là đường cao)
Do đó $BC\bot (ADI)$.
b) Do AH là đường cao trong tam giác ADI nên $AH\bot DI$
Mặt khác $BC\bot (ADI)\Rightarrow BC\bot AH$
Do đó $AH\bot (BCD)$
| Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. $SA\bot (ABCD)$. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB và SD.
a) Chứng minh rằng $BC\bot (SAB),CD\bot (SAD)$. b) Chứng minh rằng $AM\bot (SBC);AN\bot (SCD)$. c) Chứng minh rằng $SC\bot (AMN)$ và MN//BD d) Gọi K là giao điểm của SC với mặt phẳng (AMN). Chứng minh rằng tứ giác AMKN có hai đường chéo vuông góc. |
Lời giải chi tiết
a) Do $SA\bot (ABCD)\Rightarrow SA\bot BC$
Mặt khác ABCD là hình vuông nên $BC\bot AB$
Khi đó $\left\{ \begin{array} {} BC\bot AB \\ {} BC\bot SA \\ \end{array} \right.\Rightarrow BC\bot (SAB)$
Tương tự chứng minh trên ta có: $CD\bot (SAD)$
b) Do $BC\bot (SAB)\Rightarrow BC\bot AM$
Mặt khác $AM\bot SB\Rightarrow AM\bot (SBC)$
Tương tự ta có: $AN\bot (SCD)$
c) Do $\left\{ \begin{array} {} AM\bot (SBC) \\ {} AN\bot (SCD) \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} AM\bot SC \\ {} AN\bot SC \\ \end{array} \right.\Rightarrow SC\bot (AMN)$
Hai tam giác vuông SAB và SAD bằng nhau có các đường cao tương ứng là AM và AN nên CM = DN. Mặt khác tam giác SBD cân tại đỉnh S nên MN//BD.
d) Do ABCD là hình vuông nên $AC\bot BD$, mặt khác $SA\bot BD\Rightarrow BD\bot (SAC)$
Do $MN//BD\Rightarrow MN\bot (SAC)\Rightarrow MN\bot AK$
| Bài tập 3: Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc.
a) Chứng minh hình chiếu vuông góc của đỉnh A lên mặt phẳng (BCD) trùng với trực tâm của tam giác BCD. b) Chứng minh rằng $\frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{A{{B}^{2}}}+\frac{1}{A{{C}^{2}}}+\frac{1}{A{{D}^{2}}}$ c) Chứng minh rằng tam giác BCD có 3 góc nhọn. |
Lời giải chi tiết
a) Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (BCD) thì $AH\bot (BCD)$
Ta có $\left\{ \begin{array} {} AD\bot AB \\ {} AD\bot AC \\ \end{array} \right.\Rightarrow AD\bot (ABC)\Rightarrow AD\bot BC$
Mặt khác $AH\bot BC\Rightarrow BC\bot (ADH)\Rightarrow BC\bot DH$
Tương tự chứng minh trên ta có: $BH\bot CD$
Do đó H là trực tâm của tam giác BCD.
b) Gọi $E=DH\cap BC$, do $BC\bot (ADH)\Rightarrow BC\bot AE$
Xét ∆ ABC vuông tại A có đường cao AE ta có: $\frac{1}{A{{E}^{2}}}=\frac{1}{A{{B}^{2}}}+\frac{1}{A{{C}^{2}}}$
Lại có: $\frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{A{{D}^{2}}}+\frac{1}{A{{E}^{2}}}=\frac{1}{A{{B}^{2}}}+\frac{1}{A{{C}^{2}}}+\frac{1}{A{{D}^{2}}}$(đpcm).
c) Đặt AB = x; AC = y; AD = z. Ta có: $\left\{ \begin{array} {} BC=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \\ {} BD=\sqrt{{{x}^{2}}+{{z}^{2}}} \\ {} CD=\sqrt{{{y}^{2}}+{{z}^{2}}} \\ \end{array} \right.$
Khi đó $\text{cosB=}\frac{B{{C}^{2}}+B{{D}^{2}}-C{{D}^{2}}}{2.BC.BD}=\frac{{{x}^{2}}}{BC.BD}>0\Rightarrow \widehat{CBD}<{{90}^{\circ }}$
Tương tự chứng minh trên ta cũng có $\left\{ \begin{array} {} \widehat{BDC}<{{90}^{\circ }} \\ {} \widehat{BCD}<{{90}^{\circ }} \\ \end{array} \right.\Rightarrow $ tam giác BCD có 3 góc nhọn.
| Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABC có $SA\bot (ABC)$, các tam giác ABC và SBC là các tam giác nhọn. Gọi H và K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng:
a) AH, SK, BC đồng quy. b) $SC\bot (BHK)$. c) $HK\bot (SBC).$ |
Lời giải chi tiết
a) Giả sử $AH\bot BC$ tại M.
Ta có: $\left\{ \begin{array} {} BC\bot AM \\ {} BC\bot SA \\ \end{array} \right.\Rightarrow BC\bot (SAM)\Rightarrow BC\bot SM$
Mặt khác $SK\bot BC\Rightarrow $ S, K, M thẳng hàng do đó AH, SK, BC đồng quy tại điểm M.
b) Do H là trực tâm của tam giác ABC nên $BH\bot AC$
Mặt khác $BH\bot SA\Rightarrow BH\bot (SAC)\Rightarrow BH\bot SC$
Lại có: $BK\bot SC\Rightarrow SC\bot (BHK)$
c) Do $SC\bot (BHK)\Rightarrow SC\bot HK$, mặt khác $BC\bot (SAM)\Rightarrow BC\bot HK$
Do đó $HK\bot (SBC)$
| Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và có SA = SC, SB = SD.
a) Chứng minh rằng $SO\bot (ABCD)$ b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BA và BC. Chứng minh rằng $IK\bot (SBD)$ và $IK\bot SD$ |
Lời giải chi tiết
a) Do SA = SC $\Rightarrow $ ∆ SAC cân tại S có trung tuyến SO đồng thời là đường cao suy ra $SO\bot AC$
Tương tự ta có: $SO\bot BD\Rightarrow SO\bot (ABCD)$
b) Do ABCD là hình thoi nên $AC\bot BD$
Mặt khác $SO\bot (ABCD)\Rightarrow AC\bot SO$
Do vậy $AC\bot (SBD)$
IK là đường trung bình trong tam giác BAC nên $IK//AC$ mà $AC\bot (SBD)\Rightarrow IK\bot (SBD)$
| Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều, SCD là tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Tính các cạnh của tam giác SIJ, suy ra tam giác SIJ vuông. b) Chứng minh rằng $SI\bot (SCD);SJ\bot (SAB).$ c) Gọi H là hình chiếu của S lên IJ, chứng minh rằng $SH\bot (ABCD).$ |
Lời giải chi tiết
a) Ta có: ∆SAB đều cạnh a nên $SI=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
Tứ giác IBCJ là hình chữ nhật nên IJ = BC = a
∆SCD là tam giác vuông cân đỉnh S $\Rightarrow SJ=\frac{CD}{2}=\frac{a}{2}$
Do đó $S{{J}^{2}}+S{{I}^{2}}=I{{J}^{2}}={{a}^{2}}\Rightarrow \vartriangle SIJ$ vuông tại S.
b) Do ∆SCD cân tại S nên $SJ\bot CD$
Do $AB//CD\Rightarrow SJ\bot AB$
Mặt khác $SJ\bot SI\Rightarrow SJ\bot (SAB)$
Chứng minh tương tự ta có: $SI\bot (SCD).$
c) Do $SI\bot (SCD)\Rightarrow SI\bot CD$
Mặt khác $CD\bot IJ\Rightarrow CD\bot (SIJ)\Rightarrow CD\bot SH$
Do $SH\bot IJ\Rightarrow SH\bot (ABCD)$
| Bài tập 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, điểm I và H lần lượt là trung điểm của AB và BC. Trên đoạn CI và SA lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho MC = 2MI, NA = 2NS. Biết $SH\bot (ABC)$, chứng minh $MN\bot (ABC)$ |
Lời giải chi tiết
Do điểm M thuộc đường trung tuyến CI và MC = 2MI
$\Rightarrow $ M là trọng tâm tam giác ABC $\Rightarrow M=AH\cap CI$
Ta có : $\frac{NA}{NS}=\frac{MA}{MH}=2\Rightarrow MN//SH$
Mặt khác $SH\bot (ABC)\Rightarrow MN\bot (ABC)$
