Cách Chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng cách chứng minh đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng kia.

Phương pháp giải:

– Muốn chứng minh đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b, ta đi tìm mặt phẳng (β) chứa đường thẳng b sao cho việc chứng minh a $\bot $ (β) dễ thực hiện.

– Sử dụng định lý ba đường vuông góc.

Bài tập về chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian có đáp án chi tiết

Bài tập 1: Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh các cặp cạnh đối diện của tứ diện này vuông góc với nhau từng đôi một.

Lời giải chi tiết

Gọi M là trung điểm của AB

Tứ diện ABCD đều nên ∆ABD và ∆ABC là các tam giác đều suy ra $\left\{ \begin{array} {} DM\bot AB \\ {} CM\bot AB \\ \end{array} \right.\Rightarrow AB\bot (MCD)$

Do đó $AB\bot CD$

Chứng minh tương tự ta cũng có $BC\bot AD,AC\bot BD$

Bài tập 2: Hình chóp S.ABCD có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với $AD=CD=\frac{AB}{2}$

a) Gọi I là trung điểm của đoạn AB, chứng minh $CI\bot AB$ và $DI\bot SC$

b) Chứng minh các mặt bên của hình chóp S.ABCD là các tam giác vuông.

Lời giải chi tiết

a) Đặt AB = 2a $\Rightarrow $ AD = CD = a

Do AB = 2CD $\Rightarrow $ AI = AD = CD = CI = a

Khi đó AICD là hình vuông cạnh a.

Do đó $CI\bot AB$

Mặt khác $\left\{ \begin{array} {} AC\bot DI \\ {} DI\bot SA \\ \end{array} \right.\Rightarrow DI\bot (SAC)\Rightarrow DI\bot SC$

b) Do $SA\bot (ABCD)\Rightarrow \Delta SAD,\Delta SAB$ vuông tại S.

Mặt khác $\left\{ \begin{array} {} CD\bot AD \\ {} CD\bot SA \\ \end{array} \right.\Rightarrow CD\bot (SAD)\Rightarrow CD\bot SD$

nên ∆SDC vuông tại D.

Xét ∆ACD có trung tuyến $CI=\frac{AB}{2}\Rightarrow \Delta ACD$vuông tại C$\Rightarrow BC\bot AC$

Mặt khác $BC\bot SA\Rightarrow BC\bot (SAC)\Rightarrow BC\bot SC\Rightarrow \Delta SCB$vuông tại C.

Bài tập 3: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên CC’ vuông góc với đáy và CC’ = a.

a) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh $AI\bot BC’$

b) Gọi M là trung điểm của BB’. Chứng minh $BC’\bot AM$

c) Gọi K là điểm trên đoạn A’B’ sao cho $B’K=\frac{a}{4}$ và J là trung điểm của B’C’. Chứng minh rằng: $AM\bot MK$ và $AM\bot KJ$

Lời giải chi tiết

a) Do ∆ABC là tam giác đều và I là trung điểm của BC nên $AI\bot BC$

Mặt khác $AI\bot CC’\Rightarrow AI\bot (BCC’B’)\Rightarrow AI\bot BC’$

b) Dễ thấy BCC’B’ là hình vuông nên $B’C\bot BC’$

Mặt khác MI là đường trung bình trong tam giác B’BC nên MI//B’C suy ra $MI\bot BC’$

Lại có: $AI\bot BC’\Rightarrow BC’\bot (AIM)\Rightarrow BC’\bot AM$

c) Ta có: $\tan \widehat{KMB’}=\frac{KB’}{MB’}=\frac{1}{2};\tan \widehat{AMB}=\frac{AB}{BM}=2$

Suy ra $\tan \widehat{KMB’}=\cot \widehat{AMB}\Rightarrow \widehat{KMB’}+\widehat{AMB}={{90}^{\circ }}$

Do đó $\widehat{AMK}={{90}^{\circ }}\Rightarrow AM\bot MK$

Mặt khác $\left\{ \begin{array} {} AM\bot BC’ \\ {} MJ//BC’ \\ \end{array} \right.\Rightarrow AM\bot MJ$

Suy ra $AM\bot (MKJ)\Rightarrow AM\bot KJ$

Bài tập 4: Cho hình chóp đều S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và BC. Chứng minh rằng $MN\bot BD$

Lời giải chi tiết

Gọi I, P lần lượt là trung điểm của AB và SA, O là giao điểm của AC và BD.

Ta có: $\left\{ \begin{array} {} IN//AC \\ {} AC\bot BD \\ \end{array} \right.\Rightarrow BD\bot IN$ (1)

Mặt khác $\left\{ \begin{array} {} IM//BE \\ {} BE\bot PO \\ \end{array} \right.\Rightarrow IM\bot PO$ (*)

Mà $PO\bot BD$ (**) (Do ∆BPD là tam giác cân tại P có đường trung tuyến PO).

Từ (*) và (**) ta có: $BD\bot IM$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $BD\bot (IMN)\Rightarrow BD\bot MN$