Bài toán thực tế chương 2 lớp 12 – một số dạng toán khác
Bài tập trắc nghiệm toán lớp 12 siêu hay và có đáp án chi tiết
| Bài tập 1: Theo dự báo với mức tiêu thụ dầu không đổi như hiện nay thì trữ lượng dầu của nước A sẽ hết sau 100 năm nữa. Nhưng do quản lí kém, bị một số kẻ gian lấy trộm để bán lậu nên kể từ năm thứ 2 trở đi mức tiêu thụ tăng lên 4% mỗi năm so với năm liền trước. Hỏi sau bao nhiêu năm số dầu dự trữ của nước A sẽ hết?
A. 39 B. 45 C. 41 D. 42 |
Lời giải chi tiết
Gọi số dầu tiêu thụ mỗi năm theo dự tính là $x$. Suy ra tổng dự trữ dầu là $100x$
Gọi $t$ là số năm thực tế tiêu thụ hết dầu, suy ra $x+x\left( 1,04 \right)+x{{\left( 1,04 \right)}^{2}}+…+x{{\left( 1,04 \right)}^{t}}=100x$
$\Leftrightarrow x\frac{1-{{\left( 1,04 \right)}^{t+1}}}{1-1,04}=100x\Leftrightarrow \frac{1-{{\left( 1,04 \right)}^{t+1}}}{1-1,04}=100\Rightarrow t\approx 42$ năm. Chọn D.
| Bài tập 2: [Đề thi chuyên ĐH Vinh năm 2017] Các khí thải gây hiệu ứng nhà kính là nguyên nhân chủ yếu làm Trái Đất nóng lên. Theo OECD (Tổ chức Hợp tác và Phát triển kinh tế thế giới), khi nhiệt độ Trái Đất tăng lên thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm. Người ta ước tính rằng, khi nhiệt độ Trái đất tăng thêm $2{}^\circ C$ thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm 3%; còn khi nhiệt độ Trái đất tăng thêm $5{}^\circ C$ thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm 10%. Biết rằng, nếu nhiệt độ Trái đất tăng thêm $t{}^\circ C$, tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm $f\left( t \right)\%$ thì $f\left( t \right)=k.{{a}^{t}}$, trong đó $k,\,\,a$ là các hằng số dương.
Khi nhiệt độ Trái đất tăng thêm bao nhiêu ${}^\circ C$ thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm đến 20%? A. $8,4{}^\circ C$ B. $9,3{}^\circ C$ C. $7,6{}^\circ C$ D. $6,7{}^\circ C$ |
Lời giải chi tiết
Theo bài ta có $\left\{ \begin{array} {} k.{{a}^{2}}=3\% \\ {} k.{{a}^{5}}=10\% \\ \end{array} \right.\left( 1 \right)$. Ta cần tìm $t$ sao cho $k.{{a}^{t}}=20\%$
Từ (1) $\Rightarrow k=\frac{3\%}{{{a}^{2}}}$ và ${{a}^{3}}=\frac{10}{3}\Rightarrow a=\sqrt[3]{\frac{10}{3}}$
$\Rightarrow \frac{3\%}{{{a}^{2}}}.{{a}^{t}}=20\%\Rightarrow {{a}^{t-2}}=\frac{20}{3}\Rightarrow t-2={{\log }_{a}}\frac{20}{3}\Rightarrow t=2+{{\log }_{\sqrt[3]{\frac{10}{3}}}}\frac{20}{3}\approx 6,7$. Chọn D.
| Bài tập 3: Khi ánh sáng đi qua một môi trường (chẳng hạn như không khí, nước, sương mù,…) cường độ sẽ giảm dần theo quãng đường truyền $x$, theo công thức $I\left( x \right)={{I}_{0}}{{e}^{-\mu x}}$ trong đó ${{I}_{0}}$ là cường độ của ánh sáng khi bắt đầu truyền vào môi trường và $\mu $ là hệ số hấp thu của môi trường đó. Biết rằng nước biển có hệ số hấp thu $\mu =1,4$ và người ta tính được rằng khi đi từ độ sau 2m xuống đến độ sâu 20m thì cường độ ánh sáng giảm $\ell {{.10}^{10}}$ lần. Số nguyên nào sau đây gần với $\ell $ nhất
A. 8 B. 9 C. 10 D. 90 |
Lời giải chi tiết
Ta có: $x=20-2=18$m.
Theo công thức ta có: $\ell {{.10}^{10}}=\frac{I\left( x \right)}{{{I}_{0}}}={{e}^{\mu x}}={{e}^{1,4.18}}\Rightarrow \ell =\frac{{{e}^{1,4.18}}}{{{10}^{10}}}\approx 8,8$. Chọn B.
| Bài tập 4: Một điện thoại đang nạp pin, dung lượng nạp được tính theo công thức $Q\left( t \right)={{Q}_{0}}\left( 1-{{e}^{\frac{-3t}{2}}} \right)$, với $t$ là khoảng thời gian tính bằng giờ và ${{Q}_{0}}$ là dung lượng nạp tối đa (pin đầy). Nếu điện thoại nạp pin từ lúc cạn pin (tức là dung lượng pin lúc bắt đầu nạp là 0%) thì bao lâu sau sẽ nạp được 90% (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
A. $t\approx 1,54h$ B. $t\approx 1,2h$ C. $t\approx 1h$ D. $t\approx 1,34h$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $\frac{Q\left( t \right)}{{{Q}_{0}}}=1-{{e}^{\frac{-3t}{2}}}\Leftrightarrow \frac{90}{100}=1-{{e}^{\frac{-3t}{2}}}\Leftrightarrow {{e}^{\frac{-3t}{2}}}=\frac{1}{10}\Leftrightarrow t=\frac{-2}{3}\ln \frac{1}{10}\approx 1,54h$. Chọn A.
| Bài tập 5: Ông An bắt đầu đi làm với mức lương khởi điểm là 1 triệu đồng một tháng. Cứ sau ba năm thì ông An được tăng lương 40%. Hỏi sau tròn 20 năm đi làm, tổng tiền lương ông An nhận được là bao nhiêu (làm tròn đến hai chữ số thập phân sau dấu phẩy)?
A. 726,74 triệu đồng. B. 716,74 triệu đồng. C. 858,72 triệu đồng. D. 768,37 triệu đồng. |
Lời giải chi tiết
Số tiền ông An kiếm được trong 3 năm đầu là: $3.12=36$ triệu đồng
Số tiền ông An có được sau 18 năm đi làm là
${{S}_{1}}=36+36.{{\left( 1+40\% \right)}^{1}}+…+36.{{\left( 1+40\% \right)}^{5}}+36.{{\left( 1+4\% \right)}^{6}}$
Số tiền ông An nhận sau 2 năm cuối (năm thứ 19 và 20) là ${{S}_{2}}=2.12.{{\left( 1+4\% \right)}^{6}}$
Do đó tổng số tiền ông An thu được là: $S=36\frac{1-{{\left( 1,4 \right)}^{6}}}{1-1,4}+24{{\left( 1,4 \right)}^{6}}\approx 768,37$ triệu đồng. Chọn D.
| Bài tập 6: Một nguồn âm đẳng hướng đặt tại điểm $O$ có công suất truyền âm không đổi. Mức cường độ âm tại điểm $M$ cách $O$ một khoảng $R$ được tính bởi công thức ${{L}_{M}}=\log \frac{k}{{{R}^{2}}}$ (Ben) với $k$ là hằng số. Biết điểm $O$ thuộc đoạn thẳng $AB$ và mức cường độ âm tại $A$ và $B$ là ${{L}_{A}}=3Ben$ và ${{L}_{B}}=5Ben$. Tính mức cường độ âm tại trung điểm $AB$ (làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy). A. 3,59 Ben B. 3,06 Ben C. 3,69 Ben D. 4 Ben |
Lời giải chi tiết
Ta có $\left\{ \begin{array} {} {{L}_{A}}=\log \frac{k}{O{{A}^{2}}}=3 \\ {} {{L}_{A}}=\log \frac{k}{O{{B}^{2}}}=5 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} OA=\frac{\sqrt{10k}}{100} \\ {} OB=\frac{\sqrt{10k}}{1000} \\ \end{array} \right.\Rightarrow AB=\frac{\sqrt{10k}}{100}+\frac{\sqrt{10k}}{1000}=\frac{11\sqrt{10k}}{1000}$
Gọi $N$ là trung điểm $AB$ $\Rightarrow ON=\frac{AB}{2}-OB=\frac{11\sqrt{10k}}{2000}-\frac{\sqrt{10k}}{1000}=\frac{9\sqrt{10k}}{2000}$
Suy ra mức cường độ âm tại $N$ bằng ${{L}_{N}}=\log \frac{k}{O{{N}^{2}}}=\log \frac{{{2000}^{2}}k}{81.10k}\approx 3,69Ben$. Chọn C.
| Bài tập 7: Một bể nước có dung tích 1000 lít. Người ta mở vòi cho nước chảy vào bể, ban đầu bể cạn nước. Trong giờ đầu vận tốc nước chảy vào bể là 1 lít/1 phút. Trong các giờ tiếp theo vận tốc nước chảy giờ sau gấp đôi giờ liền trước. Hỏi sau khoảng thời gian bao lâu thì bể đầy nước (kết quả gần đúng nhất)
A. 3,14 giờ B. 4,64 giờ C. 4,14 giờ D. 3,64 giờ |
Lời giải chi tiết
Gọi $x+1$ là khoảng thời gian cần để nước chảy đầy bể, ta có
${{60.2}^{0}}+{{60.2}^{1}}+{{60.2}^{2}}+…+{{60.2}^{x}}=1000\Leftrightarrow 60.\frac{1-{{2}^{x+1}}}{1-2}=1000\Leftrightarrow {{2}^{x+1}}=\frac{53}{3}\Leftrightarrow x+1\approx 4,14$ giờ. Chọn C.
| Bài tập 8: Cho biết chu kì bán rã của chất phóng xạ radi $R{{a}^{226}}$ là 1602 năm (tức là một lượng $R{{a}^{226}}$ sau 1602 năm phân hủy thì chỉ còn lại một nửa). Sự phân hủy được tính theo công thức $S=A.{{e}^{rt}}$ trong đó $A$ là lượng chất phóng xạ ban đầu, $r$ là tỉ lệ phân hủy hàng năm $\left( r<0 \right)$, $t$ là thờ gian phân hủy, $S$ là lượng còn lại sau thời gian phân hủy. Hỏi $5gamR{{a}^{226}}$ sau 4000 năm phân hủy sẽ còn lại bao nhiêu gam (làm tròn đến 3 chữ số thập phân)?
A. 0,886 (gam) B. 1,023 (gam) C. 0,795 (gam) D. 0,923 (gam) |
Lời giải chi tiết
Đầu tiên ta sẽ tính $r:\frac{A}{2}=A.{{e}^{1602r}}\Leftrightarrow r=-\frac{\ln 2}{1602}$
Thay $A=5$ (gam), $t=4000,\,\,r=-\frac{\ln 2}{1602}$ vào công thức $S=A.{{e}^{rt}}$, tìm được $S\approx 0,886$ (gam). Chọn A.
| Bài tập 9: Với mức tiêu thụ thức ăn của trang trại X không đổi như dự định thì lượng thức ăn dự trữ đủ cho 100 ngày. Nhưng thực tế, kể từ ngày thứ hai trở đi lượng tiêu thụ thức ăn của trang trại tăng thêm 4% so với ngày trước đó. Hỏi lượng thức ăn dự trữ của trang trại X thực tế chỉ đủ cho bao nhiêu ngày?
A. 42 ngày B. 41 ngày C. 39 ngày D. 40 ngày |
Lời giải chi tiết
Gọi $x$ là lượng thức ăn tiêu thụ trong một ngày theo dự định, suy ra số thức ăn có là $100x$
Ngày thứ 2 lượng tiêu thụ thức ăn là $x.{{\left( 1+0,04 \right)}^{1}}$………. Ngày thứ $t$ là $x{{\left( 1+0,04 \right)}^{t-1}}$
Khi đó ta có $x+1,{{04}^{1}}x+1,{{04}^{2}}x+…+1,{{04}^{t-1}}x=100x$ với $t$ là số ngày thực tế tiêu thụ hết lương thực.
Suy ra $\frac{1-1,{{04}^{t}}}{1-1,04}=100x\Leftrightarrow t\approx 41$ ngày. Chọn B.
| Bài tập 10: Áp suất không khí $P$ (đo bằng milimet thủy ngân, kí hiệu mmHg) theo công thức $P={{P}_{0}}{{e}^{kx}}$ (mmHg), trong đó $x$ là độ cao (đo bằng mét), ${{P}_{0}}=760$ (mmHg) là áp suất không khí ở mức nước biển $\left( x=0 \right)$, $k$ là hệ số suy giảm. Biết rằng ở độ cao 1000 m thì áp suất không khí là 672,71 (mmHg). Tính áp suất của không khí ở độ cao 3000 m.
A. 527,06 (mmHg) B. 530,23 (mmHg) C. 530,73 (mmHg) D. 545,01 (mmHg) |
Lời giải chi tiết
Ở độ cao 1000 m ta có: $672,71=760.{{e}^{1000k}}\Rightarrow {{e}^{1000k}}=\frac{672,71}{760}$
Áp suất không khí ở độ cao 3000 m là:
$P=760.{{e}^{3000k}}=760.{{\left( {{e}^{1000k}} \right)}^{3}}=760.{{\left( \frac{672,71}{760} \right)}^{3}}=527,06$ (mmHg). Chọn A.
| Bài tập 11: Một vi sinh đặc biệt $X$ có cách sinh sản vô tính kì lạ. Tại thời điểm $0h$ có đúng 2 con $X$, với mỗi con $X$, sống được tới giờ thứ $n$ (với $n$ là số nguyên dương) thì ngay lập tức tại thời điểm đó nó đẻ một lần ra ${{2}^{n}}$ con $X$ khác. Tuy nhiên do chu kì của con $X$ ngắn nên ngay sau khi đẻ xong lần thứ 4 nó lập tức chết. Hỏi lúc $6h01$ phút có bao nhiêu con sinh vật $X$ đang sống?
A. 4992 B. 3712 C. 19264 D. 5008 |
Lời giải chi tiết
Gọi ${{s}_{n}}$ là số sinh vật được sinh ra ở giờ thứ $n$ ta có: ${{s}_{0}}=2;\,\,{{s}_{1}}={{s}_{0}}.2=4;\,{{s}_{2}}={{s}_{1}}{{.2}^{1}}+{{s}_{0}}{{.2}^{2}}=16$
${{s}_{3}}={{s}_{2}}.2+{{s}_{1}}{{.2}^{2}}+{{s}_{0}}{{.2}^{3}}=64;\,\,{{s}_{4}}={{s}_{3}}.2+{{s}_{2}}{{.2}^{2}}+{{s}_{1}}{{.2}^{3}}+{{s}_{0}}{{.2}^{4}}=256$
${{s}_{5}}={{s}_{4}}.2+{{s}_{3}}{{.2}^{2}}+{{s}_{2}}{{.2}^{3}}+{{s}_{1}}{{.2}^{4}}=960;\,\,{{s}_{6}}={{s}_{5}}.2+{{s}_{4}}{{.2}^{2}}+{{s}_{3}}{{.2}^{3}}+{{s}_{2}}{{.2}^{4}}=3712$
Khi đó số sinh vật đang sống ở giờ thứ 6 là: $T={{s}_{3}}+{{s}_{4}}+{{s}_{5}}+{{s}_{6}}=4992$ con. Chọn A.
.
