Bài toán min max giá trị lớn nhất nhỏ nhất của Logarit – Công thức và cách giải bài tập

1. Công thức lôgarit

Giả sử $a>0,a\ne 1$ và các số A, B, N,… > 0 ta có các công thức sau đây:${\log _a}\left( {AB} \right) = {\log _a}A + {\log _b}B$

Mở rộng ${{\log }_{a}}\left( {{A}_{1}}{{A}_{2}}…{{A}_{N}} \right)={{\log }_{a}}{{A}_{1}}+{{\log }_{a}}{{A}_{2}}+…+{{\log }_{a}}{{A}_{N}}$.

${{{\log }_a}\frac{A}{B} = {{\log }_a}A – {{\log }_a}B}$ Hệ quả ${{\log }_{a}}\frac{1}{N}=-\log N$.

· ${{{\log }_a}{N^\alpha } = \alpha .{{\log }_a}\left| N \right|}$

· ${{{\log }_a}\sqrt[n]{N} = \frac{1}{n}.{{\log }_a}N}$

Công thức đổi cơ số: Giả sử a, b dương và khác 1; $c,\text{ }x>0$ ta có

· ${{\log }_{a}}b.{{\log }_{b}}c={{\log }_{a}}c$ và ${{\log }_{a}}b=\frac{1}{{{\log }_{b}}a};\text{ }{{\log }_{\frac{1}{a}}}x=-{{\log }_{a}}x$.

· ${{\log }_{{{a}^{\alpha }}}}x=\frac{1}{\alpha }{{\log }_{a}}x$ và ${{\log }_{\sqrt[n]{a}}}x=n.{{\log }_{a}}x$

2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D( f(x) xác định và liên tục trên D)

Phương pháp giải

– Bước 1: Tính ${y}’={f}’\left( x \right)$, tìm tất cả các nghiệm ${{x}_{i}}$ của phương trình ${f}’\left( x \right)=0$ và các điểm ${{\alpha }_{i}}$làm cho ${f}’\left( x \right)$ không xác định.

– Bước 2:

· Trường hợp 1: $D\in \left[ a;b \right]$. Tính các giá trị $f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( {{x}_{i}} \right),f\left( {{\alpha }_{i}} \right)$.

Với ${{x}_{i}},{{\alpha }_{i}}\in \left[ a;b \right]\xrightarrow{{}}\left\{ \begin{array} {} \underset{D}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=\min \left\{ f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( {{x}_{i}} \right),f\left( {{\alpha }_{i}} \right) \right\} \\ {} \underset{D}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=\max \left\{ f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( {{x}_{i}} \right),f\left( {{\alpha }_{i}} \right) \right\} \\ \end{array} \right.$.

· Trường hợp 2:$D\notin \left[ a;b \right]\xrightarrow{{}}$Lập bảng biến thiên suy ra min, max.

Chú ý: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đơn điệu trên đoạn $\left[ a;b \right]$.

Nếu hàm số $y=f\left( x \right)$đồng biến với $\forall x\in \left[ a;b \right]\Rightarrow $${\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} y = f\left( a \right);\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} y = f\left( b \right)}$

Nếu hàm số $y=f\left( x \right)$nghịch biến với $\forall x\in \left[ a;b \right]\Rightarrow $${\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} y = f\left( a \right);\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} y = f\left( b \right)}$

3. Các bất đẳng thức quen thuộc

a) Bất đẳng thức AM – GM cho hai số thực dương: $a+b\ge 2\sqrt{ab}$.

Mở rộng bất đẳng thức AM – GM cho ba số thực dương: $a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}$.

b) Bất đẳng thức Bunhiacopxki: ${{\left( ab+cd \right)}^{2}}\le \left( {{a}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( {{b}^{2}}+{{d}^{2}} \right)$.

c) Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức $\frac{{{x}^{2}}}{a}+\frac{{{y}^{2}}}{b}\ge \frac{{{\left( x+y \right)}^{2}}}{a+b}$.