Bài tập Xét Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng có đáp án
Phương pháp giải vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng d có phương trình chính tắc $\frac{x-{{x}_{o}}}{a}=\frac{y-{{y}_{o}}}{b}=\frac{z-{{z}_{o}}}{c},$ phương trình tham số
$\left\{ \begin{array} {} x={{x}_{o}}+at \\ {} y={{y}_{o}}+bt \\ {} z={{z}_{o}}+ct \\ \end{array} \right.({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0)$ với $M({{x}_{o}};{{y}_{o}};{{z}_{o}})\in d$ và mặt phẳng (P) có phương trình
Ax+By+Cz+D=0 (A2+B2+C2>0).
Khi $\overrightarrow{{{u}_{d}}}.\overrightarrow{{{n}_{P}}}=0$ thì d//(P) hoặc d nằm trên (P) ta có:
- $d\subset (P)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{{{u}_{d}}}.\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=0 \\ {} M({{x}_{o}};{{y}_{o}};{{z}_{o}})\in (P) \\ \end{array} \right.$
- $d//(P)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{{{u}_{d}}.}\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=0 \\ {} M({{x}_{o}};{{y}_{o}};{{z}_{o}})\notin (P) \\ \end{array} \right.$
- D cắt (P) $\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}.\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}\ne 0$ và tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array} {} x={{x}_{o}}+at \\ {} y={{y}_{o}}+bt \\ {} z={{z}_{o}}+ct \\ {} Ax+By+Cz+D=0 \\ \end{array} \right.$
Giải hệ phương trình trên ta được $t=-\frac{A{{x}_{o}}+B{{y}_{o}}+C{{z}_{o}}+D}{a.A+b.B+c.C}$
- $d\bot (P)\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}//\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=k.\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}(k\ne 0)$
Chú ý:
– Nếu $d//(P)$ hoặc $d\subset (P)$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{{{u}_{d}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{(P)}}}$
– Nếu $d\bot (P)$ thì vecto chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{d}}}$ của d là vecto pháp tuyến của (P). Ngược lại, vecto pháp tuyến của (P) là vecto chỉ phương của d.
Bài tập vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian có đáp án
| Bài tập 1: Xét vị trí tương đối của đường thẳng d và mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:
a) $d:\frac{x-8}{4}=\frac{y-6}{3}=\frac{z}{1}$ và $(P):3x+5y-z-2=0$ b) $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{4}=\frac{z}{3}$ và $(P):3x-3y+2z-5=0$ |
Lời giải chi tiết
a) Ta có: $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=(4;3;1);\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=(3;5;-1)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}.\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=26\ne 0$ nên d cắt (P)
b) Ta có: $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=(2;4;3);\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=(3;-3;2)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}.\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=0\Rightarrow d$ song song hoặc nằm trên mặt phẳng (P)
Xét điểm $M(-1;3;0)\in d$ và $3.(-1)-3.3+2.0-5=-17\ne 0\Rightarrow M\notin (P)$
| Bài tập 2: Xét vị trí tương đối của đường thẳng d và mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:
a) $d:\frac{x-9}{8}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-3}{3}$ và $(P):x+2y-4z+1=0$ b) $d:\frac{x-7}{5}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-5}{4}$ và $(P):3x-y+2z-5=0$ |
Lời giải chi tiết
a) Ta có: $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=(8;2;3);\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=(1;2;-4)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}.\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=0$ nên song song hoặc nằm trên mặt phẳng (P)
Xét điểm $M(9;1;3)\in d$ và $M(9;1;3)\in (P)\Rightarrow d\subset (P)$
b) Ta có: $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=(5;1;4);\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=(3;-1;2)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}.\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=22\ne 0$ nên d cắt (P).
| Bài tập 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{-2}$ và mặt phẳng $(P):2x-y+15=0.$ Phát biểu nào sau đây là đúng? A. $d//(P).$ B. $d\cap (P)=\left\{ I(1;-1;0 \right\}.$ C. $d\bot (P).$ D. $d\subset (P).$ |
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn A
Vecto chỉ phương của d là $\overrightarrow{u}=(1;2;-2),$ VTPT của (P) là $\overrightarrow{n}=(2;-1;0)$
Ta có: $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}=0\Rightarrow d//(P)$ hoặc $d\subset (P).$ Mà $A(1;-1;0)\in d$ nhưng $A\notin (P)\Rightarrow d//(P).$
| Bài tập 4: Cho đường thẳng $\Delta :\frac{x-10}{5}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+2}{1}.$ Tìm tất cả các giá trị của tham số m để cho mặt phẳng $(P):10x+2y+mz+11=0$ vuông góc với đường thẳng $\Delta $.
A. $m=-2.$ B. $m=2.$ C. $m=-52.$ D. $m=52.$ |
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn B
Để $\Delta \bot (P)\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}//\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=k.\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}\Leftrightarrow \frac{10}{5}=\frac{2}{1}=\frac{m}{1}\Leftrightarrow m=2$.
| Bài tập 5: Cho đường thẳng $d:\frac{x+1}{1}=\frac{y}{-3}=\frac{z-5}{-1}$ và mặt phẳng $(P):3x-3y+2z+6=0$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. d cắt và không vuông góc với (P). B. d vuông góc với (P). C. d song song với (P). D. d nằm trong (P). |
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn A
Ta có $\overrightarrow{{{u}_{d}}}.\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=3+9-2\ne 0$ mà $\overrightarrow{{{u}_{d}}}\ne k.\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}\Rightarrow d$ cắt và không vuông góc với (P).
| Bài tập 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P):2x-3y+z-1=0$ và đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-1}.$ Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. d cắt và không vuông góc với (P). B. d song song với (P). C. d vuông góc với (P). D. d nằm trên (P). |
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn D
Ta có $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=(2;-3;1);\overrightarrow{{{u}_{d}}}=(2;1;-1)$
Để ý rằng $\overrightarrow{{{n}_{P}}}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=4-3-1=0\Rightarrow \left[ \begin{array} {} d//(P) \\ {} d\subset (P) \\ \end{array} \right.$
Hơn nữa d qua $A(1;0;-1)$ mà $A\in (P)\Rightarrow d\subset (P).$
| Bài tập 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng $d:\frac{x}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z-m}{-1}$ song song với mặt phẳng $(P):4x+4y+{{m}^{2}}z-8=0$
A. $m=\pm 2.$ B. $m=2.$ C. $m=-2.$ D. Không tồn tại m. |
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn C
Do $d//(P)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}.\overrightarrow{{{n}_{P}}}=8-4-{{m}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m=2 \\ {} m=-2 \\ \end{array} \right.$
Xét điểm $A(0;0;m)\in d.$ Cho $A\in (P)\Rightarrow {{m}^{3}}=8\Leftrightarrow m=2$ do đó $m=2$ thì d nằm trong (P). Vậy $m=-2$ thì $d//(P).$
