Bài tập viết Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn có đáp án chi tiết
Dưới đây là một số bài tập viết phương trình mặt phăng theo đoạn chắn có đáp án
| Bài tập 1: Cho điểm $A\left( 3;0;0 \right)$ và điểm $M\left( 0;2;-1 \right).$Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$đi qua A, M sao cho $\left( \alpha \right)$cắt các trục $Oy$, $Oz$ lần lượt tại các điểm B, C sao cho ${{V}_{OABC}}=\frac{1}{2},$ với O là gốc tọa độ. |
Lời giải chi tiết
Giả sử mặt phẳng $\left( \alpha \right)$cắt các trục $Oy$; $Oz$ lần lượt tại $B\left( 0;b;0 \right)$ và $C\left( 0;0;c \right)$
Phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là: $\frac{x}{3}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ $\left( bc\ne 0 \right)$
Do $\left( \alpha \right)$đi qua điểm$M\left( 0;2;-1 \right)$ nên $\frac{2}{b}-\frac{1}{c}=1\Rightarrow \frac{1}{c}=\frac{2}{b}-1=\frac{2-b}{b}\Rightarrow c=\frac{b}{2-b}$
Lại có: ${{V}_{OABC}}=\frac{1}{6}OA.OB.OC=\frac{1}{6}.3\left| bc \right|=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \left| bc \right|=1$
Khi đó: $\left| b.\frac{b}{2-b} \right|=1\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} {{b}^{2}}=2-b \\ {} {{b}^{2}}=b-2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} b=1 \\ {} b=-2 \\ \end{array} \right.$
Với $b=1\Rightarrow c=1\Rightarrow \left( \alpha \right):\frac{x}{3}+\frac{y}{1}+\frac{z}{1}=1$
Với $b=-2\Rightarrow c=\frac{-1}{2}\Rightarrow \left( \alpha \right):\frac{x}{3}-\frac{y}{2}-2z=1$
| Bài tập 2: Cho điểm $A\left( -1;0;0 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+2y+2=0$. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, vuông góc với $\left( P \right)$ và cắt các trục $Oy$, $Oz$ lần lượt tại các điểm B, C sao cho ${{S}_{ABC}}=\frac{3}{2}$ |
Lời giải chi tiết
Giả sử mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cắt các trục $Oy$, $Oz$ lần lượt tại $B\left( 0;b;0 \right)$ và $C\left( 0;0;c \right)$
Phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là: $\frac{x}{-1}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ $\left( bc\ne 0 \right)$
Do $\left( ABC \right)\bot \left( P \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{ABC}}}.\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=0\Rightarrow -1+\frac{2}{b}=0\Rightarrow b=2$
Khi đó: $\overrightarrow{AB}\left( 1;2;0 \right);\overrightarrow{AC}\left( 1;0;c \right)\Rightarrow {{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right] \right|=\frac{\sqrt{5{{c}^{2}}+4}}{2}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow {{c}^{2}}=1\Leftrightarrow c=\pm 1$
Suy ra $\left( ABC \right):-x+\frac{y}{2}\pm \frac{z}{1}=1$
| Bài tập 3: Cho mặt phẳng $\left( P \right):2x-y+z-5=0$. Viết phương trình $\left( Q \right)$ chứa đường $\Delta =\left( P \right)\cap \left( xOy \right)$ và cắt các trục tọa độ tại A, B, C sao cho ${{V}_{OABC}}=\frac{125}{36}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $\left( xOy \right):z=0\Rightarrow \Delta :\left\{ \begin{array} {} x=t \\ {} y=-5+2t \\ {} z=0 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 1;2;0 \right)$
Do $\left( Q \right)$ chứa đường thẳng $\Delta \Rightarrow \left( Q \right)$ qua điểm $\left( 0;-5;0 \right)$
Giả sử $\left( Q \right):\frac{x}{a}+\frac{y}{-5}+\frac{z}{c}=1$$\left( a;c\ne 0 \right)$$\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left( \frac{1}{a};-\frac{1}{5};\frac{1}{c} \right)$
Ta có: $\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}.\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=0\Rightarrow \frac{1}{a}-\frac{2}{5}=0\Rightarrow a=\frac{5}{2}$
Lại có: ${{V}_{OABC}}=\frac{1}{6}\left| abc \right|=\frac{125}{36}\Rightarrow \frac{1}{6}\left| \frac{5}{2}.5.c \right|=\frac{125}{36}\Rightarrow c=\pm \frac{5}{3}\Rightarrow \left( ABC \right):\frac{2}{5}x-\frac{y}{5}\pm \frac{3}{5}z=1$
Hay $2x-y\pm 3z-5=0$
| Bài tập 4: Cho hai điểm $M\left( 1;2;1 \right)$, $N\left( -1;0;-1 \right)$. Viết $\left( P \right)$ đi qua M, N và cắt các trục $Ox$, $Oy$ theo tứ tự tại A, B (khác O) sao cho $AM=\sqrt{3}BN$ |
Lời giải chi tiết
Gọi $A\left( a;0;0 \right)$, $B\left( 0;b;0 \right)$ và $C\left( 0;0;c \right)$ là giao điểm của $\left( P \right)$ với các trục tọa độ
Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$$\left( abc\ne 0 \right)$
Do $\left( P \right)$ đi qua các điểm $M\left( 1;2;1 \right)$, $N\left( -1;0;-1 \right)$$\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}=1 \\ {} \frac{-1}{a}-\frac{1}{c}=1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} \frac{1}{a}+\frac{1}{c}=-1 \\ {} \frac{2}{b}=2 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} \frac{1}{a}+\frac{1}{c}=-1 \\ {} b=1 \\ \end{array} \right.$
Lại có: $AM=\sqrt{3}BN\Leftrightarrow A{{M}^{2}}=3B{{N}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}+4+1=3\left[ \left( 1+{{b}^{2}}+1 \right) \right]=9$
$\Leftrightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} a=3\Rightarrow c=\frac{-3}{4} \\ {} a=-1\Rightarrow \frac{1}{c}=0\left( loai \right) \\ \end{array} \right.$
Khi đó $\left( P \right):\frac{x}{3}+\frac{y}{1}-\frac{4z}{3}=1$ hay $\left( P \right):x+3y-4z-3=0$
| Bài tập 5: Cho hai điểm $M\left( 1;9;4 \right)$. Viết $\left( P \right)$ đi qua M và cắt các trục tọa độ theo thứ thự tại A, B, C (khác O) sao cho $8.OA=12.OB+16=37.OC$, với ${{x}_{A}}>0;{{y}_{B}}>0;{{z}_{C}}<0$ |
Lời giải chi tiết
Gọi $A\left( a;0;0 \right)$, $B\left( 0;b;0 \right)$ và $C\left( 0;0;c \right)$ với $a>0;b>0;c0;b>0;c<0$
Do $8.OA=12.OB+16=37.OC\Rightarrow 8a=12b+16=-37c$
Ta có: $8a=12b+16=-37c\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{9}{\frac{8a-16}{12}}+\frac{4}{-\frac{8}{37}a}=1\Leftrightarrow \frac{35-4a}{{{a}^{2}}-2a}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} a=5 \\ {} a=-7\left( loai \right) \\ \end{array} \right.$
Với $a=5\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} b=2 \\ {} c=\frac{-40}{37} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left( P \right):\frac{x}{5}+\frac{y}{2}-\frac{37}{40}z=1$hay $\left( P \right):8x+20y-37z-40=0$
| Bài tập 6: Phương trình mặt phẳng đi qua 2 điểm $A\left( 3;0;0 \right)$ và $B\left( 0;6;0 \right)$ cắt trục $Oz$ tai C sao cho thể tích tứ diện $O.ABC$ bằng 12 là:
A. $\frac{x}{3}+\frac{y}{6}+\frac{z}{4}=1$ B. $\frac{x}{3}+\frac{y}{6}-\frac{z}{4}=1$ C. $\frac{x}{3}+\frac{y}{6}+\frac{z}{2}=1$ D. Cả A và B đều đúng |
Lời giải chi tiết
Giả sử $C\left( 0;0;c \right)$ ta có phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là: $\frac{x}{3}+\frac{y}{6}+\frac{z}{c}=1$
Ta có $OA,OB,OC$đôi một vuông góc nên ${{V}_{OABC}}=\frac{1}{6}OA.OB.OC=\frac{1}{6}.3.6.\left| c \right|=12\Leftrightarrow c=\pm 4$.
Chọn D
| Bài tập 7: Gọi A, B, C là giao điểm của mặt phẳng $\left( P \right):x+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$$\left( bc\ne 0 \right)$ với các trục tọa độ. Diện tích tam giác $ABC$ bằng:
A. $\frac{\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+bc}}{2}$ B. $\frac{bc}{2}$ C. $\frac{\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}}}{2}$ D. $\frac{bc}{6}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $A\left( 1;0;0 \right);B\left( 0;b;0 \right);C\left( 0;0;c \right)$. $\overrightarrow{AB}=\left( -1;b;0 \right);\overrightarrow{AC}=\left( -1;0;c \right)$
Khi đó: ${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right] \right|=\frac{1}{2}\left| \left( bc;c;b \right) \right|=\frac{\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}}}{2}$. Chọn C
| Bài tập 8: Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A\left( 2;0;0 \right)$ và $H\left( 1;1;1 \right)$. Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua A, H sao cho $\left( P \right)$ cắt các tia $Oy$, $Oz$ lần lượt tại B, C sao cho diện tích tam giác ABC bằng $4\sqrt{6}$
A. $\left( P \right):x+2y+2z-2=0$ B. $\left( P \right):2x+2y+z-4=0$ C. $\left( P \right):2x+y+2z-4=0$ D. $\left( P \right):2x+y+z-4=0$ |
Lời giải chi tiết
Gọi $B\left( 0;b;0 \right)$ và $C\left( 0;0;c \right)$(điều kiện $b,c>0$) suy ra $\left( P \right):\frac{x}{2}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$
Vì $H\in \left( P \right)$ nên $\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}$
${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right] \right|=\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( bc \right)}^{2}}+{{\left( 2c \right)}^{2}}+{{\left( 2b \right)}^{2}}}=4\sqrt{6}\Leftrightarrow {{b}^{2}}{{c}^{2}}+4{{b}^{2}}+4{{c}^{2}}=384$
Đặt $\left\{ \begin{array} {} u=b+c \\ {} v=bc \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} v=2u \\ {} {{v}^{2}}+4\left( {{u}^{2}}-2v \right)=384 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} u=8;v=16 \\ {} u=-6;v=-12\left( loai \right) \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} b+c=8 \\ {} bc=16 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow b=c=4$
Vậy phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\frac{x}{2}+\frac{y}{4}+\frac{z}{4}=1$ hay $2x+y+z-4=0$. Chọn D
| Bài tập 9: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( a;0;0 \right)$, $B\left( 0;b;0 \right)$ và $C\left( 0;0;c \right)$ với $a,b,c>0$. Biết rằng $\left( ABC \right)$ đi qua điểm $M\left( \frac{1}{7};\frac{2}{7};\frac{3}{7} \right)$ và tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=\frac{72}{7}$. Tính giá trị $\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}$
A. 14 B. $\frac{1}{7}$ C. 7 D. $\frac{7}{2}$ |
Lời giải chi tiết
Phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$. Vì $M\in \left( ABC \right)\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=7$
Xét mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=\frac{72}{7}$ có tâm $I\left( 1;2;3 \right)$, bán kính $R=\frac{6\sqrt{14}}{7}$
Khoảng cách từ $I\xrightarrow{{}}mp\left( ABC \right)$ là $d\left( I;\left( ABC \right) \right)=\frac{\left| \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}-1 \right|}{\sqrt{\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}}}=\frac{6}{\sqrt{\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}}}$
Vì mặt cầu $\left( S \right)$ tiếp xúc với $mp\left( ABC \right)$$mp\left( ABC \right)\Rightarrow d\left( I;\left( ABC \right) \right)=R\Rightarrow \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}=\frac{7}{2}$. Chọn D
