Cách Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách – bài tập có đáp án
Phương pháp tìm phương trình mặt phẳng
– Giả sử mặt phẳng cần lập có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( a;b;c \right)$, ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0$
– Mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa đường thẳng d nên $\left( P \right)$ đi qua $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)\in d$ và vuông góc với vectơ chỉ phương của d
Khi đó ta có $\left\{ \begin{array} {} \left( P \right):a\left( x-{{x}_{0}} \right)+b\left( y-{{y}_{0}} \right)+c\left( z-{{z}_{0}} \right) \\ {} \overrightarrow{{{n}_{Q}}}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Leftrightarrow a=f\left( b;c \right) \\ \end{array} \right.$
– Từ các dữ kiện về góc, khoảng cách ta được một phương trình đẳng cấp bậc hai theo các ẩn a, b, c. Thay $a=f\left( b;c \right)$ vào phương trình này, giải ra được $b=m.c$ hoặc $b=n.c$
Chọn cho $c=1$, từ đó tìm được các giá trị tương ứng của a và b$\Rightarrow $phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$cần lập.
Chú ý: Phương trình đẳng cấp bậc hai là phương trình có dạng
$A{{x}^{2}}+Bxy+C{{y}^{2}}=0\Leftrightarrow A{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{2}}+B\left( \frac{x}{y} \right)+C=0\Rightarrow \frac{x}{y}=t\Leftrightarrow x=t.y$
Bài tập viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách có đáp án chi tiết
| Bài tập 1: Cho hai mặt phẳng $\left( \alpha \right):x+2y-z+5=0$; $\left( \beta \right):4x-2y+3=0$.
Lập $\left( P \right)$vuông góc với cả hai mặt phẳng đã cho đồng thời khoảng cách từ điểm $A\left( 3;1;1 \right)$ đến $\left( P \right)$ bằng $\frac{8}{\sqrt{30}}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $\left\{ \begin{array} {} \left( P \right)\bot \left( \alpha \right) \\ {} \left( P \right)\bot \left( \beta \right) \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha \right)}}} \\ {} \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{\left( \beta \right)}}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha \right)}}};\overrightarrow{{{n}_{\left( \beta \right)}}} \right]$, trong đó $\overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha \right)}}}=\left( 1;2;-1 \right)$; $\overrightarrow{{{n}_{\left( \beta \right)}}}=\left( 4;-2;0 \right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( -2;-4;-10 \right)=-2\left( 1;2;5 \right)$$\Rightarrow $Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ có dạng: $x+2y+5z+D=0$
Lại có: $d\left( A;\left( P \right) \right)=\frac{8}{\sqrt{30}}\Leftrightarrow \frac{\left| 3+2+5+D \right|}{\sqrt{1+4+25}}=\frac{8}{\sqrt{30}}\Leftrightarrow \left| D+10 \right|=8\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} D=-2 \\ {} D=-18 \\ \end{array} \right.$
Do đó $\left( P \right):x+2y+5z-2=0$ hoặc $\left( P \right):x+2y+5z-18=0$
| Bài tập 2: Lập phương trình $\left( P \right)$ đi qua $A\left( 1;-1;0 \right)$, $B\left( 2;-1;-1 \right)$ sao cho khoảng cách từ $M\left( -2;1;3 \right)$ đến $\left( P \right)$ bằng $\frac{2}{3}$ |
Lời giải chi tiết
Giả sử mặt phẳng cần lập có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( a;b;c \right)$, ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0$
Ta có: $\overrightarrow{AB}\left( 1;0;-1 \right)$, do $\left( P \right)$ chứa AB nên $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}.\overrightarrow{AB}=0\Leftrightarrow a-c=0\Leftrightarrow a=c$
Khi đó: $\left( P \right):a\left( x-1 \right)+b\left( y+1 \right)+az=0$
Ta có: $d\left( M;\left( P \right) \right)=\frac{\left| -3a+2b+3a \right|}{\sqrt{2{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow \frac{\left| b \right|}{\sqrt{2{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow 9{{b}^{2}}=2{{a}^{2}}+{{b}^{2}}\Leftrightarrow 4{{b}^{2}}={{a}^{2}}\Leftrightarrow a=\pm 2b$
- Với $a=2b$ chọn $b=1\Rightarrow a=2=c\Rightarrow \left( P \right):2x+y+2z-1=0$
- Với $a=-2b$ chọn $b=-1\Rightarrow a=2=c\Rightarrow \left( P \right):2x+y+2z-3=0$
| Bài tập 3: Lập phương trình $\left( P \right)$ chứa $d:\frac{x+1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{-2}$ sao cho khoảng cách từ $A\left( -3;1;1 \right)$đến $\left( P \right)$ bằng $\frac{2}{\sqrt{3}}$ |
Lời giải chi tiết
Giả sử mặt phẳng cần lập có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( a;b;c \right)$, ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0$
Mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $d$ nên $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Leftrightarrow a+b-2c=0\Rightarrow b=2c-a$
$\left( P \right)$ đi qua điểm $\left( -1;0;2 \right)\Rightarrow \left( P \right):a\left( x+1 \right)+by+c\left( z+2 \right)=0$
$d\left( A;\left( P \right) \right)=\frac{\left| -2a+b+3c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\frac{\left| -2a+2c-a+3c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( 2c-a \right)}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\frac{\left| -3a+5c \right|}{\sqrt{2{{a}^{2}}-4ac+5{{c}^{2}}}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$
$\Leftrightarrow 4\left( 2{{a}^{2}}-4ac+5{{c}^{2}} \right)=3{{\left( 3a-5c \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow 19{{a}^{2}}-74ac+55{{c}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} a=c \\ {} 19a=55c \\ \end{array} \right.$
- Với $a=c$ chọn $a=c=1\Rightarrow b=1\Rightarrow \left( P \right):x+y+z+3=0$
- Với $19a=55c$ chọn $a=55;c=19\Rightarrow b=-17\Rightarrow \left( P \right):55x-17y+19z+93=0$
| Bài tập 4: Cho $\Delta :\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{3}=\frac{z}{-1}$; $\left( P \right):2x+y-z+3=0$
Lập $\left( Q \right)//\Delta $; $\left( Q \right)\bot \left( P \right)$ đồng thời khoảng cách từ $A\left( 1;2;0 \right)$ đến $\left( P \right)$ bằng $\frac{7}{\sqrt{30}}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 2;1;-1 \right)$; $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 1;3;-1 \right)$
Do $\left( Q \right)//\Delta $ và $\left( Q \right)\bot \left( P \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right]=\left( 2;1;5 \right)$
Phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ có dạng: $2x+y+5z+D=0$
Lại có: $d\left( A;\left( P \right) \right)=\frac{7}{\sqrt{30}}\Leftrightarrow \frac{\left| 4+D \right|}{\sqrt{4+1+25}}=\frac{7}{\sqrt{30}}\Leftrightarrow \left| D+4 \right|=7\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} D=3 \\ {} D=-11 \\ \end{array} \right.$
Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ là: $\left( Q \right):2x+y+5z+3=0$ hoặc $\left( Q \right):2x+y+5z-11=0$
| Bài tập 5: Lập phương trình $\left( P \right)$ đi qua $A\left( -1;2;1 \right)$, vuông góc với mặt phẳng $\left( xOy \right)$ đồng thời khoảng cách từ điểm $B\left( 1;1;-3 \right)$ đến $\left( P \right)$ bằng $\frac{3}{\sqrt{5}}$ |
Lời giải chi tiết
Giả sự mặt phẳng cần lập có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( a;b;c \right)$, ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0$
Mặt phẳng $\left( P \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( xOy \right):z=0$ nên $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}.\overrightarrow{{{n}_{\left( xOy \right)}}}=0\Leftrightarrow c=0$
$\left( P \right)$ đi qua điểm $A\left( -1;2;1 \right)$$\Rightarrow \left( P \right):a\left( x+1 \right)+b\left( y-2 \right)=0$
$d\left( B;\left( P \right) \right)=\frac{\left| 2a-b \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}=\frac{3}{\sqrt{5}}\Leftrightarrow 5{{\left( 2a-b \right)}^{2}}=9\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\Leftrightarrow 11{{a}^{2}}-20a-4{{b}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} a=2b \\ {} 11a=-2b \\ \end{array} \right.$
- Với $a=2b$ chọn $b=1\Rightarrow a=2\Rightarrow \left( P \right):2x+y=0$
- Với $11a=-2b$ chọn $a=2\Rightarrow b=-11\Rightarrow \left( P \right):2x-11y+24=0$
| Bài tập 6: Cho $d:\left\{ \begin{array} {} x=2+t \\ {} y=1-2t \\ {} z=-t \\ \end{array} \right.$ và các điểm $A\left( 1;1;2 \right)$, $B\left( 3;1;-1 \right)$
Lập $\left( P \right)$ chứa d sao cho khoảng cách từ A đến $\left( P \right)$ bằng hai lần khoảng cách từ B tới $\left( P \right)$ |
Lời giải chi tiết
Giả sử mặt phẳng cần lập có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( a;b;c \right)$, ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0$
Mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa d nên $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Leftrightarrow a-2b-c=0\Rightarrow c=a-2b$
$\left( P \right)$ đi qua điểm $M\left( 2;1;0 \right)$$\Rightarrow \left( P \right):a\left( x-2 \right)+b\left( y-1 \right)+cz=0$
Lại có: $d\left( A;\left( P \right) \right)=2d\left( B;\left( P \right) \right)\Rightarrow \frac{\left| -a+2c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=2\frac{\left| a-c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}\Leftrightarrow \left| a-2c \right|=\left| 2a-2c \right|$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} a-2c=2a-2c \\ {} a-2c=-2a+2c \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} a=0 \\ {} 3a=4c \\ \end{array} \right.$
- Với $a=0$ chọn $b=1\Rightarrow c=-2\Rightarrow \left( P \right):y-2z=0$
- Với $3a=4c$ chọn $a=4\Rightarrow c=3\Rightarrow b=\frac{1}{2}\Rightarrow \left( P \right):4x+\frac{y}{2}+3z-\frac{17}{2}=0$
hay $\left( P \right):8x+y-6z-17=0$
| Bài tập 7: Cho $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{-2}$ và các điểm $A\left( 1;2;2 \right)$, $B\left( 4;3;0 \right)$
Lập $\left( P \right)$ chứa d sao cho khoảng cách từ A tới $\left( P \right)$ bằng khoảng cách từ B tới $\left( P \right)$ |
Lời giải chi tiết
Giả sử mặt phẳng cần lập có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( a;b;c \right)$, ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0$
Mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa d nên $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Leftrightarrow 2a-b-2c=0\Rightarrow 2c=2a-b$
$\left( P \right)$ đi qua điểm $M\left( 1;-1;0 \right)$$\Rightarrow \left( P \right):a\left( x-1 \right)+b\left( y+1 \right)+cz=0$
Lại có: $d\left( A;\left( P \right) \right)=d\left( B;\left( P \right) \right)\Rightarrow \frac{\left| 3b+2c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\frac{\left| 3a+4b \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}\Leftrightarrow \left| 3b+2c \right|=\left| 3a+4b \right|$
$\Leftrightarrow \left| 3b+2a-b \right|=\left| 3a+4b \right|\Leftrightarrow \left| 2a+2b \right|=\left| 3a+4b \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} 2a+2b=3a+4b \\ {} 2a+2b=-3a-4b \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array} {} a=-2b \\ {} 5a=-6b \\ \end{array} \right.$
- Với $a=-2b$ chọn $b=-1\Rightarrow a=2;c=\frac{5}{2}\Rightarrow \left( P \right):4x-2y+5z-10=0$
- Với $5a=-6b$ chọn $a=6\Rightarrow b=-5;c=\frac{17}{2}\Rightarrow \left( P \right):12x-10y+17z-22=0$
| Bài tập 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho điểm $M\left( 1;1;0 \right)$ và hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x-1}{1}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-1}{1}$; ${{d}_{2}}:\frac{x-1}{-1}=\frac{y+3}{2}=\frac{z-2}{3}$. Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ song song với ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ đồng thời cách M một khoảng bằng $\sqrt{6}$ |
Lời giải chi tiết
Vì $\left( P \right)//{{d}_{1}};{{d}_{2}}$ nên $\left( P \right)$ có cặp VTCP là: $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 1;-1;1 \right) \\ {} \overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( -1;2;-3 \right) \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=\left( 1;2;1 \right)$
Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ có dạng: $x+2y+z+D=0$
Lại có: $d\left( M;\left( P \right) \right)=\sqrt{6}\Leftrightarrow \frac{\left| 3+D \right|}{\sqrt{6}}=\sqrt{6}\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} D=3 \\ {} D=-9 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array} {} \left( {{P}_{1}} \right):x+2y+z+3=0 \\ {} \left( {{P}_{2}} \right):x+2y+z-9=0 \\ \end{array} \right.$
Lấy $K\left( 1;3;1 \right)\in {{d}_{1}}$ và $N\left( 1;-3;2 \right)\in {{d}_{2}}$ thử vào các phương trình $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có $N\in \left( {{P}_{1}} \right)$ nên ${{d}_{2}}\subset \left( {{P}_{1}} \right)$
Suy ra phương trình mặt phẳng cần tìm là: $\left( {{P}_{2}} \right):x+2y+z-9=0$
| Bài tập 9: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=2$ và hai đường thẳng $d:\frac{x-2}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{-1}$, $\Delta :\frac{x}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{-1}$. Phương trình nào dưới đây là phương trình của một mặt phẳng tiếp xúc với $\left( S \right)$, song song với d và $\Delta $?
A. $y+z+3=0$ B. $x+z+1=0$ C. $x+y+z=0$ D. $x+z-1=0$ |
Lời giải chi tiết
Các VTCP của d và $\Delta $ là: $\overrightarrow{{{u}_{1}}}\left( 1;2;-1 \right)$, $\overrightarrow{{{u}_{2}}}\left( 1;1;-1 \right)$ $\Rightarrow $VTPT của mặt phẳng cần tìm là:
$\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=\left( -1;0;-1 \right)=-1\left( 1;0;1 \right)$
Gọi phương trình mặt phẳng cần tìm là: $x+z+m=0$. Ta có: $\frac{\left| -1-2+m \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\sqrt{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m=5 \\
{} m=1 \\ \end{array} \right.$. Chọn B
| Bài tập 10: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right)$ nhận $\overrightarrow{n}=\left( 3;-4;-5 \right)$ là vectơ pháp tuyến và $\left( P \right)$ tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=8$. Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là:
A. $3x-4y-5z-15=0$ hoặc $3x-4y-5z-25=0$ B. $3x-4y-5z+15=0$ hoặc $3x-4y-5z-25=0$ C. $3x-4y-5z-15=0$ hoặc $3x-4y-5z+25=0$ D. $3x-4y-5z+15=0$ hoặc $3x-4y-5z+25=0$ |
Lời giải chi tiết
Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ có dạng $3x-4y-5z+m=0$
Xét mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=8\Rightarrow I\left( 2;-1;1 \right)$ và bán kính $R=2\sqrt{2}$
Khoảng cách từ tâm I đến $\left( P \right)$ là $d=\frac{\left| m+5 \right|}{5\sqrt{2}}$ mà $d=R\Rightarrow \frac{\left| m+5 \right|}{5\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\Leftrightarrow \left| m+5 \right|=20\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m=15 \\ {} m=-25 \\ \end{array} \right.$
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là $3x-4y-5z+15=0$ hoặc $3x-4y-5z-25=0$. Chọn B
| Bài tập 11: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z}{1}$ và mặt cầu có phương trình $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y-2z-3=0$. Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ vuông góc với d, $\left( P \right)$ tiếp xúc với $\left( S \right)$ đồng thời $\left( P \right)$ cắt trục $Oz$ tại điểm có cao độ dương
A. $2x-2y+z+2=0$ B. $2x-2y+z-16=0$ C. $2x-2y+z-10=0$ D. $2x-2y+z-5=0$ |
Lời giải chi tiết
VTCP của d là $\overrightarrow{u}\left( 2;-2;1 \right)$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ nhận $\overrightarrow{u}$ làm VTPT. Phương trình $\left( P \right)$ là:
$\left( P \right):2x-2y+z+m=0\Rightarrow \left( P \right)\cap Oz=\left( 0;0;-m \right)\Rightarrow m<0$
Ta có: $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=9\Rightarrow \left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;-2;1 \right)$ và bán kính $R=3$
Vì $\left( P \right)$ tiếp xúc với $\left( S \right)$ nên $d\left( I;\left( P \right) \right)=R\Leftrightarrow \frac{\left| 2.1-2.\left( -2 \right)+1+m \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}}=3\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m=2 \\ {} m=-16 \\ \end{array} \right.$
Vì $\left( P \right)$ cắt trục $Oz$ tại điểm có cao độ dương nên $m=-16\Rightarrow \left( P \right):2x-2y+z-16=0$. Chọn B
| Bài tập 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho 4 điểm $A\left( 1;2;1 \right)$, $B\left( -2;1;3 \right)$, $C\left( 2;-1;1 \right)$ và $D\left( 0;3;1 \right)$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua A, B và khoảng cách từ C đến $\left( P \right)$ bằng khoảng cách từ D đến mặt phẳng $\left( P \right)$ và C và D nằm ở 2 phía đối với mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình là
A. $2x+3z-5=0$ B. $2y+3z-5=0$ C. $2x-y+3z-5=0$ D. $2x+3y-5=0$ |
Lời giải chi tiết
Trung điểm của CD là $I\left( 1;1;1 \right)$ do $d\left( C;\left( P \right) \right)=d\left( D;\left( P \right) \right)$ mà C, D nằm ở 2 phía đối với mặt phẳng $\left( P \right)$ nên $I\in \left( P \right)$. Khi đó mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng $\left( ABI \right)$
Ta có $\overrightarrow{AI}\left( 0;-1;0 \right);\overrightarrow{AB}\left( -3;-1;2 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AI} \right]=\left( -2;0;-3 \right)\Rightarrow \left( ABI \right):2x+3z-5=0$. Chọn A
| Bài tập 13: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x+y-2z+3=0$. Viết phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ song song với $Oz$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$ sao cho khoảng cách giữa trục $Oz$ và mặt phẳng $\left( Q \right)$ bằng $2\sqrt{2}$
A. $\left( Q \right):x-y+4=0$ B. $\left( Q \right):x-y-4=0$ C. $\left( Q \right):x-y-2=0$ D. Cả A và B |
Lời giải chi tiết
Ta có: $\overrightarrow{{{n}_{P}}}\left( 1;1;-2 \right),\overrightarrow{{{u}_{Oz}}}=\left( 0;0;1 \right)$. Do mặt $\left( Q \right)$ song song với $Oz$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$ nên ta có: $\overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}};\overrightarrow{{{u}_{Oz}}} \right]=\left( 1;-1;0 \right)$$\Rightarrow $PT mặt phẳng $\left( Q \right)$ có dạng: $x-y+d=0$
Do $Oz//\left( Q \right)\Rightarrow d\left( Oz;\left( Q \right) \right)=d\left( O;\left( Q \right) \right)=\frac{\left| d \right|}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\Leftrightarrow d=\pm 4$
- Với $d=4\Rightarrow \left( Q \right):x-y+4=0$
- Với $d=-4\Rightarrow \left( Q \right):x-y-4=0$
Vậy $\left( Q \right):x-y+4=0$ hoặc $\left( Q \right):x-y-4=0$ là các mặt phẳng cần tìm. CHọn D
| Bài tập 14: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+6y-4z-2=0$. Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ song song với đường thẳng $d:\frac{x}{1}=\frac{y-3}{6}=\frac{z}{2}$, vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha \right):x+4y+z-5=0$ và tiếp xúc với $\left( S \right)$
A. $2x-y+2z+3=0$ B. $2x-y+2z-21=0$ C. $2x-y+2z-21=0$ D. Cả A và B |
Lời giải chi tiết
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;-3;2 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{1+9+4+2}=4$
VTPT của mặt phẳng $\left( P \right)$ là: $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha \right)}}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=\left( 2;-1;2 \right)$
Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ có dạng: $2x-y+2z+D=0$
Do $\left( P \right)$ tiếp xúc với $\left( S \right)$ nên $d\left( I;\left( P \right) \right)=R\Leftrightarrow \frac{\left| 9+D \right|}{\sqrt{4+1+4}}=4\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} D=3 \\ {} D=-21 \\ \end{array} \right.$
Do đó $\left( P \right):2x-y+2z+3=0$ hoặc $\left( P \right):2x-y+2z-21=0$ tuy nhiên mặt phẳng $2x-y+2z+3=0$ chứa đường thẳng d nên bị loại. Chọn B
| Bài tập 15: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A\left( 1;2;0 \right)$, $A\left( 2;0;1 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x-y+2z-3=0$. Viết phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua 2 điểm A và B và tạo với mặt phẳng $\left( P \right)$ một góc $\varphi $ sao cho $\cos \varphi =\frac{1}{\sqrt{5}}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( 1;-2;1 \right)$. Gọi VTPT của mặt phẳng $\left( Q \right)$ là: $\overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left( a;b;c \right)$$\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0 \right)$
Khi đó: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{n}_{Q}}}=0\Leftrightarrow a-2b+c=0\Leftrightarrow a=2b-c\left( 1 \right)$
Phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ là: $a\left( x-1 \right)+b\left( y-2 \right)+z=0$
Ta có: $\cos \left( \left( P \right);\left( Q \right) \right)=\frac{\left| 2a-b+2c \right|}{\sqrt{9}.\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$$\left( 2 \right)$
Thế $\left( 1 \right)$ vào $\left( 2 \right)$ ta có: $\frac{\left| b \right|}{\sqrt{{{\left( 2b-c \right)}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\Leftrightarrow 5{{b}^{2}}=5{{b}^{2}}-4bc+2{{c}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} c=0 \\ {} c=2b \\ \end{array} \right.$
- Với $c=0$ chọn $b=1\Rightarrow a=2\Rightarrow \left( Q \right):2x+y-4=0$
- Với $c=2b$ chọn $b=1\Rightarrow c=2\Rightarrow a=0\Rightarrow \left( Q \right):y+2z-2=0$
Vậy $\left( Q \right):2x+y-4=0$; $\left( Q \right):y+2z-2=0$ là các mặt phẳng cần tìm
| Ví dụ 16: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( -1;-4;-3 \right)$; $B\left( 2;-1;-6 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+2y+z-3=0$. Gọi $\left( Q \right)$ là mặt phẳng chứa AB và tạo với mặt phẳng $\left( P \right)$ một góc $\alpha $ thỏa mãn $\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{6}$. Khoảng cách từ O đến $\left( Q \right)$ có thể bằng
A. $\frac{3}{\sqrt{2}}$ B. $\frac{5}{3}$ C. $\sqrt{2}$ D. $2\sqrt{2}$ |
Lời giải
Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( 3;3;-3 \right)=3\left( 1;1;-1 \right)$; $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 1;2;1 \right)$
Gọi $\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}\left( a;b;c \right)$$\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0 \right)$ là VTPT của $\left( Q \right)$
Do $\left( Q \right)$ chứa AB nên $\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}.\overrightarrow{AB}=0\Rightarrow a+b-c=0\Leftrightarrow a+b=c$
Lại có: $\cos \left( \left( P \right);\left( Q \right) \right)=\left| \cos \left( \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}} \right) \right|\frac{\left| a+2b+c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}.\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$
$\Leftrightarrow 2{{\left( a+2b+c \right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\Leftrightarrow 2{{\left( a+2b+a+b \right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{\left( a+b \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow 2{{\left( 2a+3b \right)}^{2}}=2{{a}^{2}}+2ab+2{{b}^{2}}\Leftrightarrow 6{{a}^{2}}+22ab+16{{b}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & a=-b \\ & 3a=-8b \\ \end{align} \right.$
- Với $a=-b$ chọn $a=1;b=-1\Rightarrow c=0\Rightarrow \left( Q \right):x-y-3=0\Rightarrow d\left( O;\left( Q \right) \right)=\frac{3}{\sqrt{2}}$
- Với $3a=-8b$ chọn $a=8;b=-3\Rightarrow c=5\Rightarrow \left( Q \right):8x-3y+5z+11=0\Rightarrow d\left( O;\left( Q \right) \right)=\frac{11}{7\sqrt{2}}$.
Chọn A
| Ví dụ 17: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho 2 đường thẳng có phương trình ${{d}_{1}}:\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-1}{3}$ và ${{d}_{2}}:\frac{x}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{1}$. Gọi $\left( Q \right)$ là mặt phẳng chứa ${{d}_{1}}$ và tạo với ${{d}_{2}}$ góc $\alpha ={{30}^{0}}$. Khoảng cách từ O đến $\left( Q \right)$ có thể bằng
A. $d=\frac{\sqrt{6}}{2}$ B. $d=\frac{\sqrt{6}}{3}$ C. $d=\frac{\sqrt{6}}{6}$ D. $d=\frac{\sqrt{6}}{4}$ |
Lời giải
Ta có: $\overrightarrow{{{u}_{\left( {{d}_{1}} \right)}}}=\overrightarrow{{{u}_{1}}}\left( 1;-1;3 \right)$; $\overrightarrow{{{u}_{2}}}\left( 1;-2;1 \right)$; ${{d}_{1}}$ đi qua điểm $M\left( 1;-1;1 \right)$
Gọi $\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}\left( a;b;c \right)$ $\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0 \right)$ là VTPT của $\left( Q \right)$
Do $\left( Q \right)$ chứa ${{d}_{1}}$ nên $\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}.}\overrightarrow{{{u}_{1}}}=0\Rightarrow a-b+3c=0\Leftrightarrow b=a+3c$
Lại có: $\sin \alpha =\sin {{30}^{0}}=\left| \cos \left( \overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right) \right|=\frac{\left| a-2b+c \right|}{\sqrt{6}.\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}$
$\Leftrightarrow \frac{\left| a-2a-6c+c \right|}{\sqrt{6}.\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( a+3c \right)}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow 4{{\left( a+5c \right)}^{2}}=6\left( 2{{a}^{2}}+6ac+10{{c}^{2}} \right)$
$\Leftrightarrow 8{{a}^{2}}-4ac-40{{c}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & a=-2c \\ & 2a=5c \\ \end{align} \right.$
- Với $a=-2c$ chọn $a=2\Rightarrow c=-1\Rightarrow b=-1\Rightarrow \left( Q \right):2x-y-z-2=0\Rightarrow {{d}_{0}}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$
- Với $2a=5c$ chọn $a=5\Rightarrow c=2\Rightarrow b=11\Rightarrow \left( Q \right):2x+11y+2z+4=0\Rightarrow {{d}_{0}}=\frac{2\sqrt{6}}{15}$. Chọn B.
