Phương trình, bất phương trình mũ logarit chứa tham số m – bài tập có đáp án.
1. Bài toán 1. Tìm tham số m để $f\left( x;m \right)=0$ có nghiệm (hoặc có k nghiệm) trên miền D.
| – Bước 1. Tách m ra khỏi biến số x và đưa về dạng $f\left( x \right)=P\left( m \right)$.
– Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số $f\left( x \right)$ trên D. – Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị tham số $P\left( m \right)$ để đường thẳng $y=P\left( m \right)$ nằm ngang cắt đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$. |
Một số kiến thức quan trọng để giải quyết bài toán 1
Hàm số $y=f\left( x \right)$ có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên D thì giá trị $P\left( m \right)$ cần tìm để phương trình có nghiệm thỏa mãn $\underset{x\in D}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)\le P\left( m \right)\le \underset{x\in D}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)$
Nếu bài toán yêu cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta chỉ cần dựa vào bảng biến thiên để xác định sao cho đường thẳng $y=P\left( m \right)$ nằm ngang cắt đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ tại k điểm phân biệt.
Nếu đổi biến, nói cách khác là đặt ẩn phụ thì ta cần tìm điều kiện cho biến mới và biện luận mối tương quan số nghiệm giữa biến cũ và biến mới.
Nếu đề bài yêu cầu tìm tham số m để phương trình bậc hai theo mũ hoặc lôgarit có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{\text{x}}_{1}}+{{x}_{2}}=a$ hoặc ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=b$, ta có thể sử dụng định lý Vi-ét sau khi lấy mũ hoặc lôgarit hai vế hợp lí.
2. Bài toán 2. Tìm tham số m để $f\left( x;m \right)\ge 0$ hoặc $f\left( x;m \right)\le 0$ có nghiệm trên D.
| – Bước 1. Tách m ra khỏi biến số x và đưa về dạng $f\left( x \right)\ge P\left( m \right)$ hoặc $f\left( x \right)\le P\left( m \right)$
– Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số $f\left( x \right)$ trên D. – Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị của tham số $P\left( m \right)$ để bất phương trình có nghiệm: * $P\left( m \right)\le f\left( x \right)$ có nghiệm trên D $\Leftrightarrow P\left( m \right)\le \underset{x\in D}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)$. * $P\left( m \right)\ge f\left( x \right)$ có nghiệm trên D $\Leftrightarrow P\left( m \right)\ge \underset{x\in D}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)$. |
Một số kiến thức quan trọng để giải quyết bài toán 2
– Bất phương trình $P\left( m \right)\le f\left( x \right)$ nghiệm đúng $\forall x\in D\Leftrightarrow P\left( m \right)\le \underset{x\in D}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)$.
– Bất phương trình $P\left( m \right)\ge f\left( x \right)$ nghiệm đúng $\forall x\in D\Leftrightarrow P\left( m \right)\ge \underset{x\in D}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)$.
– Nếu $f\left( x;m \right)\ge 0;\forall x\in \mathbb{R}$ hoặc $f\left( x;m \right)\le 0;\forall x\in \mathbb{R}$ với $f\left( x;m \right)$ là tam thức bậc hai, ta sẽ sử dụng dấu của tam thức bậc hai.
3. Một số phương pháp áp dụng trong bài toán
| a) Phương pháp đặt ẩn phụ: Đặt $t={{a}^{u\left( x \right)}}$ hoặc $t={{\log }_{a}}u\left( x \right)$, tùy theo điều kiện của x ta sẽ tìm được miền xác định của biến t.
b) Phương pháp hàm số: Đưa phương trình (bất phương trình) về dạng $f\left( u \right)=f\left( v \right)$ với $f\left( t \right)$là hàm số đơn điệu và đại diện cho hai vế của phương trình. Khi đó $f\left( u \right)=f\left( v \right)\Leftrightarrow u=v$. c) Dấu của tam thức bậc hai: Xét hàm số $f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ – Ta có $\Delta ={{b}^{2}}-4\text{a}c$ và định lý Vi-ét: $\left\{ \begin{array} {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a} \\ {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a} \\ \end{array} \right.$. – Phương trình $f\left( x \right)=0$ có hai nghiệm dương phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \Delta >0 \\ {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}>0 \\ {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}>0 \\ \end{array} \right.$. – Phương trình $f\left( x \right)=0$ có hai nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow ac0;\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} a>0 \\ {} \Delta <0 \\ \end{array} \right.$. – Bất phương trình $f\left( x \right)<0;\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} a<0 \\ {} \Delta <0 \\ \end{array} \right.$. |
Bài tập trắc nghiệm tìm m để phương trình, bất phương trình mũ logarit có đáp án
| Ví dụ 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình ${{2}^{{{x}^{2}}-2\text{x}}}={{m}^{2}}-m+1$ có nghiệm thuộc đoạn $\left[ 0;2 \right]$?
A. 2 B. 3 C. 0 D. 1 |
Lời giải
Xét $u\left( x \right)={{x}^{2}}-2\text{x}$ trên $\left[ 0;2 \right]$, có ${u}’\left( x \right)=2\text{x}-2;{u}’\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=1$.
Tính $u\left( 0 \right)=0;u\left( 1 \right)=-1;u\left( 2 \right)=0\xrightarrow{{}}-1\le u\left( x \right)\le 0\Leftrightarrow \frac{1}{2}\le {{2}^{{{x}^{2}}-2\text{x}}}\le 1$.
Do đó, phương trình đã cho có nghiệm $\Leftrightarrow \frac{1}{2}\le {{m}^{2}}-m+1\le 1\Leftrightarrow 0\le m\le 1$.
Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}\xrightarrow{{}}$ có 2 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn A.
| Ví dụ 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc $\left[ -10;10 \right]$ để phương trình ${{4}^{x+1}}-{{2}^{x+2}}+m=0$ có nghiệm?
A. 3 B. 12 C. 7 D. 15 |
Lời giải
Ta có ${{4}^{x+1}}-{{2}^{x+2}}+m=0\Leftrightarrow {{\left( {{2}^{x+1}} \right)}^{2}}-{{2.2}^{x+1}}+m=0$ (1)
Đặt $t={{2}^{x+1}}>0$. Phương trình (1) trở thành ${{t}^{2}}-2t+m=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}-2t=-m$ (2)
Để phương trình (1) có nghiệm $\Leftrightarrow $ phương trình (2) có nghiệm $t>0$.
Cách 1. Xét hàm $f\left( t \right)={{t}^{2}}-2t$ với $t>0$.
Đạo hàm và lập bảng biến thiên, ta kết luận được $-m\ge -1\Leftrightarrow m\le 1$. Chọn C.
Cách 2. Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow $ phương trình (2) có hai nghiệm ${{t}_{1}},{{t}_{2}}$ thỏa mãn $\left[ \begin{array} {} 0<{{t}_{1}}\le {{t}_{2}} \\ {} {{t}_{1}}\le 00 \\ {} S>0 \\ \end{array} \right. \\ {} P\le 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} 0<m\le 1 \\ {} m\le 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m\le 1$. Kết hợp $m\in \left[ -10;10 \right]\xrightarrow{m\in \mathbb{Z}}$ có 12 số nguyên m cần tìm.
Chọn B.
| Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình ${{4}^{x}}+{{2}^{x}}+4={{3}^{m}}\left( {{2}^{x}}+1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt.
A. ${{\log }_{4}}3\le m<1$ B. ${{\log }_{4}}3<m<1$ C. $1<m\le {{\log }_{3}}4$ D. $1<m<{{\log }_{3}}4$ |
Lời giải
Đặt $t={{2}^{x}}>0\Leftrightarrow {{4}^{x}}={{\left( {{2}^{x}} \right)}^{2}}={{t}^{2}}$ và $a={{3}^{m}}$ nên phương trình đã cho trở thành:
${{t}^{2}}+t+4=a\left( t+1 \right)\Leftrightarrow {{t}^{2}}-\left( a-1 \right)t+4-a=0$ (*).
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow $ (*) có hai nghiệm dương phân biệt ${{t}_{1}},{{t}_{2}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \Delta >0 \\ {} S={{t}_{1}}+{{t}_{2}}>0 \\ {} P={{t}_{1}}{{t}_{2}}>0 \\ \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {{\left( a-1 \right)}^{2}}-4\left( 4-a \right)>0 \\ {} a-1>0;4-a>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {{a}^{2}}+2\text{a}-15>0 \\ {} 1<a<4 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow 3<a<4\Leftrightarrow 3<{{3}^{m}}<4\Leftrightarrow 1<m<{{\log }_{3}}4$.
Chọn D.
| Ví dụ 4: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình
${{25}^{x}}-m{{.5}^{x+1}}+7{{m}^{2}}-7=0$ có hai nghiệm phân biệt. Hỏi S có bao nhiêu phần tử? A. 7 B. 1 C. 2 D. 3 |
Lời giải
Ta có ${{25}^{x}}-m{{.5}^{x+1}}+7{{m}^{2}}-7=0\Leftrightarrow {{\left( {{5}^{x}} \right)}^{2}}-5m{{.5}^{x}}+7{{m}^{2}}-7=0$
Đặt $t={{5}^{x}}>0$ nên phương trình trở thành: ${{t}^{2}}-5mt+7{{m}^{2}}-7=0$ (*).
Với mỗi nghiệm $t>0$ của phương trình (*) sẽ tương ứng với một nghiệm x của phương trình ban đầu. Do đó, yêu cầu bài toán tương đương phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt.
Khi đó $\left\{ \begin{array} {} \Delta >0 \\ {} S>0 \\ {} P>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 25{{m}^{2}}-4\left( 7{{m}^{2}}-7 \right)>0 \\ {} 5m>0;7{{m}^{2}}-7>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 28-3{{m}^{2}}>0 \\ {} m>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow 1<m<\sqrt{\frac{28}{3}}$.
Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}\xrightarrow{{}}m=\left\{ 2;3 \right\}$ là hai giá trị nguyên cần tìm. Chọn C.
| Ví dụ 5: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để phương trình ${{4}^{x}}-2m{{.2}^{x}}+2m=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3$.
A. 2 B. 3 C. 0 D. 1 |
Lời giải
Đặt $t={{2}^{x}}>0$ nên phương trình đã cho trở thành: ${{t}^{2}}-2mt+2m=0$ (*).
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow $ (*) có hai nghiệm dương phân biệt ${{t}_{1}},{{t}_{2}}$.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \Delta >0 \\ {} S={{t}_{1}}+{{t}_{2}}>0 \\ {} P={{t}_{1}}{{t}_{2}}>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 4{{m}^{2}}-8m>0 \\ {} 2m>0 \\ {} 2m>0 \\ \end{array} \right. {} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \left[ \begin{array} {} m>2 \\ {} m2 \\ \end{array} \right. \\ {} m>0 \\ \end{array} \right.$.
Ta có ${{t}_{1}}{{t}_{2}}={{2}^{{{x}_{1}}}}{{.2}^{{{x}_{2}}}}={{2}^{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}}={{2}^{3}}=8=2m$ suy ra $m=4$ (thỏa mãn điều kiện).
Vậy $m=4$ là giá trị duy nhất cần tìm. Chọn D.
| Ví dụ 6: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình ${{6}^{x}}+\left( 3-m \right){{2}^{x}}-m=0$ có nghiệm thuộc khoảng $\left( 0;1 \right)$.
A. $\left[ 3;4 \right]$ B. $\left[ 2;4 \right]$ C. $\left( 2;4 \right)$ D. $\left( 3;4 \right)$ |
Lời giải
Ta có ${{6}^{x}}+\left( 3-m \right){{2}^{x}}-m=0\Leftrightarrow {{6}^{x}}+{{3.2}^{x}}=\left( {{2}^{x}}+1 \right).m\Leftrightarrow m=\frac{{{6}^{x}}+{{3.2}^{x}}}{{{2}^{x}}+1}=\frac{{{3}^{x}}+3}{{{2}^{-x}}+1}$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\frac{{{3}^{x}}+3}{{{2}^{-x}}+1}$ trên $\left( 0;1 \right)$, có ${f}’\left( x \right)=\frac{{{3}^{x}}.\ln 3\left( {{2}^{-x}}+1 \right)+\left( {{3}^{x}}+3 \right){{.2}^{-x}}\ln 2}{{{\left( {{2}^{-x}}+1 \right)}^{2}}}>0$
Suy ra hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên ℝ, do đó $f\left( 0 \right)<f\left( x \right)<f\left( 1 \right)\Leftrightarrow 2<f\left( x \right)<4$.
Vậy để phương trình $m=f\left( x \right)$ có nghiệm khi và chỉ khi $2<m<4$. Chọn C.
| Ví dụ 7: Cho phương trình ${{3}^{2{{\text{x}}^{2}}-3\text{x}+m}}+9={{3}^{{{x}^{2}}-x+2}}+{{3}^{{{x}^{2}}-2\text{x}+m}}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc $\left[ -10;10 \right]$ để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt?
A. 12 B. 8 C. 3 D. 17 |
Lời giải
Ta có ${{3}^{2{{\text{x}}^{2}}-3\text{x}+m}}+9={{3}^{{{x}^{2}}-x+2}}+{{3}^{{{x}^{2}}-2\text{x}+m}}\Leftrightarrow \left( {{3}^{2{{\text{x}}^{2}}-3\text{x}+m}}-{{3}^{{{x}^{2}}-2\text{x}+m}} \right)+\left( 9-{{3}^{{{x}^{2}}-2\text{x}+m}} \right)=0$
$\Leftrightarrow {{3}^{{{x}^{2}}-x}}.\left( {{3}^{{{x}^{2}}-2\text{x}+m}}-9 \right)-\left( {{3}^{{{x}^{2}}-2\text{x}+m}}-9 \right)=0\Leftrightarrow \left( {{3}^{{{x}^{2}}-x}}-1 \right)\left( {{3}^{{{x}^{2}}-2\text{x}+m}}-9 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} {{3}^{{{x}^{2}}-x}}=1 \\ {} {{3}^{{{x}^{2}}-2\text{x}+m}}=9 \\ \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} {{x}^{2}}-x=0 \\ {} {{x}^{2}}-2\text{x}+m=2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=0;x=1 \\ {} g\left( x \right)={{x}^{2}}-2\text{x}+m-2=0 \\ \end{array} \right.$
Để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow g\left( x \right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0, 1.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {\Delta }’>0 \\ {} g\left( 0 \right)\ne 0 \\ {} g\left( 1 \right)\ne 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {{\left( -1 \right)}^{2}}-\left( m-2 \right)>0 \\ {} m-2\ne 0 \\ {} m-3\ne 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m<3 \\ {} m\ne 2 \\ \end{array} \right.$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in \left[ -10;10 \right]\xrightarrow{{}}$ có 12 giá trị nguyên của m cần tìm. Chọn A.
| Ví dụ 8: Có bao nhiêu giá của tham số thực m để phương trình ${{9}^{{{x}^{2}}}}-{{2.3}^{{{x}^{2}}+1}}+3m-1=0$ có đúng 3 nghiệm phân biệt?
A. 3 B. 1 C. 0 D. 2 |
Lời giải
Ta có ${{9}^{{{x}^{2}}}}-{{2.3}^{{{x}^{2}}+1}}+3m-1=0\Leftrightarrow {{\left( {{3}^{{{x}^{2}}}} \right)}^{2}}-{{6.3}^{{{x}^{2}}}}+3m-1=0$ (*)
Vì ${{x}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow {{3}^{{{x}^{2}}}}\ge {{3}^{0}}=1$. Đặt $t={{3}^{{{x}^{2}}}}\ge 1$ nên phương trình (*) $\Leftrightarrow f\left( t \right)={{t}^{2}}-6t+3m-1=0$
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow f\left( t \right)=0$ có nghiệm bằng 1; nghiệm còn lại khác 1.
$\Leftrightarrow f\left( 1 \right)=0\Leftrightarrow {{1}^{2}}-6.1+3m-1=0\Leftrightarrow 3m-6=0\Leftrightarrow m=2$. Chọn B.
| Ví dụ 9: Cho phương trình ${{25}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}-\left( m+2 \right){{5}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}+2m+1=0$ với m là tham số thực. Số nguyên dương m bé nhất để phương trình có nghiệm là
A. $m=2$ B. $m=8$ C. $m=4$ D. $m=6$ |
Lời giải
Điều kiện: $-1\le x\le 1$.
Xét $u\left( x \right)=1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}$, có ${u}’\left( x \right)=-\frac{x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}};{u}’\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=0\xrightarrow{{}}\left\{ \begin{array} {} \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }}\,u\left( x \right)=2 \\ {} \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }}\,u\left( x \right)=1 \\ \end{array} \right.$.
Đặt $t={{5}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}\Rightarrow t\in \left[ 5;25 \right]$ nên phương trình $\Leftrightarrow {{t}^{2}}-\left( m+2 \right)t+2m+1=0\Leftrightarrow m=\frac{{{t}^{2}}-2t+1}{t-2}$.
Do đó phương trình đã có nghiệm $\Leftrightarrow \underset{\left[ 5;25 \right]}{\mathop{\min f\left( t \right)}}\,\le m\le \underset{\left[ 5;25 \right]}{\mathop{\max f\left( t \right)}}\,\overset{{}}{\longleftrightarrow}\frac{16}{3}\le m\le \frac{576}{23}$.
Suy ra số nguyên dương m lớn nhất là $m=6$. Chọn D.
Cách CASIO. Cô lập m ta được $m=\frac{{{25}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}-{{2.5}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}+1}{{{5}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}-2}$.
Đặt $f\left( x \right)=\frac{{{25}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}-{{2.5}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}+1}{{{5}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}-2}$. Khi đó phương trình $\Leftrightarrow f\left( x \right)=m$.
Sử dụng MODE7 khảo sát hàm $f\left( x \right)$ với thiết lập Start $-1$, End 1, Step 0, 2.
Quan sát bảng giá trị ta thấy $f\left( x \right)\ge f\left( 5 \right)=\frac{16}{3}$ hay $m\ge f\left( 5 \right)=\frac{16}{3}$.
Vậy m nguyên dương bé nhất là 6.
| Ví dụ 10: Cho phương trình $\left( m+1 \right){{16}^{x}}-2\left( 2m-3 \right){{4}^{x}}+6m+5=0$ với m là tham số thực. Tập tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu có dạng $\left( a;b \right)$. Tính $P=ab$.
A. $P=4$ B. $P=-4$ C. $P=-\frac{3}{2}$ D. $P=\frac{5}{6}$ |
Lời giải
Đặt $t={{4}^{x}}>0$. Phương trình trở thành $\underbrace{\left( m+1 \right){{t}^{2}}-2\left( 2m-3 \right)t+6m+5}_{f\left( t \right)}=0$ (*).
Phương trình đã cho có hai nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}<0<{{x}_{2}}{{4}^{{{x}_{1}}}}<{{4}^{0}}<{{4}^{{{x}_{2}}}}\xrightarrow{{}}{{t}_{1}}<1<{{t}_{2}}$.
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow $ (*) có hai nghiệm ${{t}_{1}},{{t}_{2}}$ thỏa $0<{{t}_{1}}<1<{{t}_{2}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m+1\ne 0 \\ {} \left( m+1 \right)f\left( 1 \right)0 \\ \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m+1\ne 0 \\ {} \left( m+1 \right)\left( 3m+12 \right)0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow -4<m<-1\xrightarrow{{}}\left\{ \begin{array} {} a=-4 \\ {} b=-1 \\ \end{array} \right.\to P=4$. Chọn A.
| Ví dụ 11: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -10;10 \right]$ để phương trình
${{2}^{{{x}^{2}}+m\text{x}}}-{{2}^{2{{\text{x}}^{2}}+2m\text{x}+m}}={{x}^{2}}+m\text{x}+m$ có hai nghiệm thực phân biệt? A. 9 B. 6 C. 16 D. 13 |
Lời giải
Ta có ${{2}^{{{x}^{2}}+m\text{x}}}-{{2}^{2{{\text{x}}^{2}}+2m\text{x}+m}}={{x}^{2}}+m\text{x}+m\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}+m\text{x}}}-{{2}^{2{{\text{x}}^{2}}+2m\text{x}+m}}=2{{\text{x}}^{2}}+2m\text{x}+m-\left( {{x}^{2}}+m\text{x} \right)$
$\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}+m\text{x}}}+{{x}^{2}}+m\text{x}={{2}^{2{{\text{x}}^{2}}+2m\text{x}+m}}+2{{\text{x}}^{2}}+2m\text{x}+m\Leftrightarrow f\left( {{x}^{2}}+m\text{x} \right)=f\left( 2{{\text{x}}^{2}}+2m\text{x}+m \right)$ (*).
Xét hàm số $f\left( t \right)={{2}^{t}}+t$ trên $\left( -\infty ;+\infty \right)$, có ${f}’\left( t \right)={{2}^{t}}.\ln 2+1>0;\forall x\in \mathbb{R}$.
Suy ra $f\left( t \right)$ là hàm số đồng biến trên $\left( -\infty ;+\infty \right)$ nên (*) $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+m\text{x}=2{{\text{x}}^{2}}+2m\text{x}+m$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+m\text{x}+m=0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta ={{m}^{2}}-4m>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m>4 \\ {} m<0 \\ \end{array} \right.$.
Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in \left[ -10;10 \right]\xrightarrow{{}}$ có 16 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn C.
| Ví dụ 12: Cho phương trình ${{e}^{m.\sin x-\cos x}}-{{e}^{2\left( 1-\cos x \right)}}=2-\cos x-m.\sin x$với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -10;10 \right]$ để phương trình đã cho có nghiệm?
A. 9 B. 18 C. 11 D. 15 |
Lời giải
PT $\Leftrightarrow {{e}^{m.\sin x-\cos x}}+m.\sin x-\cos x={{e}^{2-2\cos x}}+2-2\cos x\Leftrightarrow f\left( m.\sin x-\cos x \right)=f\left( 2-2\cos x \right)$
Với $f\left( t \right)={{e}^{t}}+t$ là hàm số đồng biến trên $\left( -\infty ;+\infty \right)$ nên ta được $m.\sin x-\cos x=2-2\cos x$
$\Leftrightarrow m.\sin x+\cos x=2$ có nghiệm khi ${{m}^{2}}+{{1}^{2}}\ge {{2}^{2}}\Leftrightarrow {{m}^{2}}\ge 3\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m\ge \sqrt{3} \\ {} m\le -\sqrt{3} \\ \end{array} \right.$.
Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in \left[ -10;10 \right]\xrightarrow{{}}$ có 9 + 9 = 18 giá trị nguyên cần tìm. Chọn B.
| Ví dụ 13: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m nhỏ hơn 10 sao cho phương trình $\sqrt{m+\sqrt{m+{{e}^{x}}}}={{e}^{x}}$ có nghiệm thực?
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 |
Lời giải
Ta có $\sqrt{m+\sqrt{m+{{e}^{x}}}}={{e}^{x}}\Leftrightarrow m+\sqrt{m+{{e}^{x}}}={{\left( {{e}^{x}} \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{m+{{e}^{x}}} \right)}^{2}}+\sqrt{m+{{e}^{x}}}={{\left( {{e}^{x}} \right)}^{2}}+{{e}^{x}}$ (*).
Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{2}}+t$ trên $\left( 0;+\infty \right)$, có ${f}’\left( t \right)=2t+1>0;\forall t>0$
Suy ra $f\left( t \right)$ là hàm số đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$ nên (*) $\Leftrightarrow f\left( \sqrt{m+{{e}^{x}}} \right)=f\left( {{e}^{x}} \right)$
$\Leftrightarrow \sqrt{m+{{e}^{x}}}={{e}^{x}}\Leftrightarrow m+{{e}^{x}}={{\left( {{e}^{x}} \right)}^{2}}\Leftrightarrow m={{\left( {{e}^{x}} \right)}^{2}}-{{e}^{x}}\xrightarrow{a={{e}^{x}}>0}m=g\left( a \right)={{a}^{2}}-a$.
Xét hàm số $g\left( a \right)={{a}^{2}}-a$ trên $\left( 0;+\infty \right)$, có ${g}’\left( a \right)=2\text{a}-1;{g}’\left( a \right)=0\Leftrightarrow a=\frac{1}{2}$.
Dựa vào BBT, ta thấy $m=g\left( a \right)$ có nghiệm thực dương $\Leftrightarrow m\ge g\left( \frac{1}{2} \right)=-\frac{1}{4}$.
Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}$ và $m<10\xrightarrow{{}}$ có 10 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn D.
| Ví dụ 14: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $m+{{e}^{\frac{x}{2}}}=\sqrt[4]{{{e}^{2\text{x}}}+1}$ có nghiệm?
A. $0<m<1$ B. $0<m\le \frac{2}{e}$ C. $\frac{1}{e}\le m<1$ D. $-1<m<0$ |
Lời giải
Đặt $t=\sqrt[4]{{{e}^{2\text{x}}}+1}$, vì ${{e}^{2\text{x}}}>0\xrightarrow{{}}t>1$. Suy ra ${{t}^{4}}={{e}^{2\text{x}}}+1\Leftrightarrow {{\left( {{e}^{\frac{x}{2}}} \right)}^{4}}={{t}^{4}}-1\Leftrightarrow {{e}^{\frac{x}{2}}}=\sqrt[4]{{{t}^{4}}-1}$.
Khi đó phương trình đã cho trở thành $m+\sqrt[4]{{{t}^{4}}-1}=t\Leftrightarrow m=t-\sqrt[4]{{{t}^{4}}-1}$ (*)
Xét hàm số $f\left( t \right)=t-\sqrt[4]{{{t}^{4}}-1}$ trên $\left( 1;+\infty \right)$, có ${f}’\left( t \right)=1-\frac{{{t}^{3}}}{\sqrt[4]{{{\left( {{t}^{4}}-1 \right)}^{3}}}}1$
Suy ra hàm số $f\left( t \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( 1;+\infty \right)$.
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm $0<m<1$. Chọn A.
| Ví dụ 15: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình ${{\left( \frac{2}{e} \right)}^{{{x}^{2}}+2m\text{x}+1}}\le {{\left( \frac{e}{2} \right)}^{2\text{x}-3m}}$ nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$?
A. 8 B. 5 C. 6 D. 7 |
Lời giải
Ta có ${{\left( \frac{2}{e} \right)}^{{{x}^{2}}+2m\text{x}+1}}\le {{\left( \frac{e}{2} \right)}^{2\text{x}-3m}}\Leftrightarrow {{\left( \frac{2}{e} \right)}^{{{x}^{2}}+2m\text{x}+1}}\le {{\left( \frac{2}{e} \right)}^{3m-2\text{x}}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2m\text{x}+1\ge 3m-2\text{x}$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2\left( m+1 \right)x-3m+1\ge 0;\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} a=1>0 \\ {} {\Delta }’={{\left( m+1 \right)}^{2}}-\left( 1-3m \right)\le 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow -5\le m\le 0$.
Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}\xrightarrow{{}}$ có 6 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn C.
| Ví dụ 16: Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m\in \left[ -10;10 \right]$ để bất phương trình ${{9}^{x}}-m{{.3}^{x}}-m+3>0$ nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$?
A. 12 B. 20 C. 8 D. 4 |
Lời giải
Đặt $t={{3}^{x}}>0$ thì bất phương trình trở thành: ${{t}^{2}}-mt-m+3>0,\forall t>0$
$\Leftrightarrow m\left( t+1 \right)<{{t}^{2}}+3\Leftrightarrow m<\frac{{{t}^{2}}+3}{t+1}=f\left( t \right),\forall t\in \left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow m0 \\ {} {{t}^{2}}+2t-3=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow t=1$.
Từ BBT, suy ra $m<\underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( t \right)=2$. Kết hợp $\left\{ \begin{array} {} m\in \mathbb{Z} \\ {} m\in \left[ -10;10 \right] \\ \end{array} \right.\Rightarrow $ có 12 giá trị nguyên m. Chọn A.
| Ví dụ 17: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -10;10 \right]$ để bất phương trình
${{3}^{2\text{x}+1}}-\left( m+3 \right){{.3}^{x}}-2\left( m+3 \right)>0$ có nghiệm? A. 10 B. 5 C. 19 D. 13 |
Lời giải
Đặt $t={{3}^{x}}>0$ thì bất phương trình trở thành: $3{{t}^{2}}-\left( m+3 \right)t-2m-6<0$
$\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}-3t-6\frac{3{{t}^{2}}-3t-6}{t+2}=f\left( t \right)$.
Xét hàm số $f\left( t \right)=\frac{3{{t}^{2}}-3t-6}{t+2}$ trên $\left( 0;+\infty \right)$, có ${f}’\left( t \right)=\frac{3{{t}^{2}}+12t}{{{\left( t+2 \right)}^{2}}}>0;\forall t>0$.
Suy ra $f\left( t \right)$ là hàm số đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow \min f\left( t \right)=-3$.
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow m>\underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( t \right)=-3$.
Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in \left[ -10;10 \right]\xrightarrow{{}}$ có 13 giá trị nguyên cần tìm. Chọn D.
| Ví dụ 18: Cho bất phương trình $m{{.3}^{x+1}}+\left( 3m+2 \right){{\left( 4-\sqrt{7} \right)}^{x}}+{{\left( 4+\sqrt{7} \right)}^{x}}>0$, với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi $x<0$? A. $m>\frac{2+2\sqrt{3}}{3}$ B. $m>\frac{2-2\sqrt{3}}{3}$ C. $m\ge \frac{2-2\sqrt{3}}{3}$ D. $m>-\frac{2-2\sqrt{3}}{3}$ |
Lời giải
Bất phương trình $\Leftrightarrow 3m+\left( 3m+2 \right).{{\left( \frac{4-\sqrt{7}}{3} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{4+\sqrt{7}}{3} \right)}^{x}}>0$ (*).
Ta có $\frac{4-\sqrt{7}}{3}.\frac{4+\sqrt{7}}{3}=1\Leftrightarrow {{\left( \frac{4-\sqrt{7}}{3} \right)}^{x}}={{\left( \frac{4+\sqrt{7}}{3} \right)}^{-x}}$ nên đặt $t={{\left( \frac{4+\sqrt{7}}{3} \right)}^{x}}\Rightarrow {{\left( \frac{4-\sqrt{7}}{3} \right)}^{x}}=\frac{1}{t}$.
Khi đó (*) $\Leftrightarrow 3m+\frac{3m+2}{t}+t>0,\forall t\in \left( 0;1 \right)\Leftrightarrow 3m>-\frac{{{t}^{2}}+2}{t+1},\forall t\in \left( 0;1 \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)=-\frac{{{t}^{2}}+2}{t+1}$ trên $\left( 0;1 \right)$, suy ra $\underset{\left( 0;1 \right)}{\mathop{\max }}\,f\left( t \right)=f\left( \sqrt{3}-1 \right)=2-2\sqrt{3}$.
Do đó $3m>f\left( t \right);\forall t\in \left( 0;1 \right)\Leftrightarrow 3m>2-2\sqrt{3}\Leftrightarrow m>\frac{2-2\sqrt{3}}{3}$. Chọn B.
| Ví dụ 19: Gọi m là số thực sao cho phương trình $\log _{3}^{2}x-\left( m+2 \right){{\log }_{3}}x+3m-2=0$ có hai nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=9$. Khẳng định nào dưới đaya đúng?
A. $1<m<3$ B. $-3<m<-1$ C. $-1<m<1$ D. $2<m<4$ |
Lời giải
Đặt $t={{\log }_{3}}x$ thì phương trình trở thành: ${{t}^{2}}-\left( m+2 \right)t+3m-2=0$ (*)
Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì (*) có hai nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} a=1\ne 0 \\ {} \Delta ={{\left( m+2 \right)}^{2}}-4\left( 3m-2 \right)>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow {{m}^{2}}-8m+12>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m>6 \\ {} m<2 \\ \end{array} \right.$.
Ta có ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=9\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)=2\Leftrightarrow {{\log }_{3}}{{x}_{1}}+{{\log }_{3}}{{x}_{2}}=2\Leftrightarrow {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=2\Leftrightarrow m=0$ (thỏa mãn).
Vậy $-1<m<1$. Chọn C.
| Ví dụ 20: Cho phương trình ${{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( m+6\text{x} \right)+{{\log }_{2}}\left( 3-2\text{x}-{{x}^{2}} \right)=0$. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm?
A. 17 B. 23 C. 9 D. 15 |
Lời giải
Ta có ${{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( m+6\text{x} \right)+{{\log }_{2}}\left( 3-2\text{x}-{{x}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 3-2\text{x}-{{x}^{2}} \right)={{\log }_{2}}\left( m+6\text{x} \right)$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 3-2\text{x}-{{x}^{2}}>0 \\ {} 3-2\text{x}-{{x}^{2}}=m+6\text{x} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} -3<x<1 \\ {} m=-{{x}^{2}}-8\text{x}+3\xrightarrow{{}}f\left( x \right)=-{{x}^{2}}-8\text{x}+3 \\ \end{array} \right.$.
Xét hàm số $f\left( x \right)=-{{x}^{2}}-8\text{x}+3$ trên $\left( -3;1 \right)$, có ${f}’\left( x \right)=-2\text{x}-8<0;\forall x\in \left( -3;1 \right)$
Dựa vào BBT, để $m=f\left( x \right)$ có nghiệm thuộc $\left( -3;1 \right)\Leftrightarrow f\left( -3 \right)<m<f\left( 1 \right)\Leftrightarrow -6<m<18$.
Kết hợp với m nguyên dương $\xrightarrow{{}}$ có 17 giá trị cần tìm. Chọn A.
| Ví dụ 21: Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m\in \left[ -10;10 \right]$ để phương trình $\log \left( m\text{x} \right)=2\log \left( x+1 \right)$ có nghiệm duy nhất?
A. 11 B. 7 C. 16 D. 3 |
Lời giải
Điều kiện: $x>-1$
Phương trình $\log \left( m\text{x} \right)=2\log \left( x+1 \right)\Leftrightarrow m\text{x}={{\left( x+1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow m=\frac{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}{x}=x+\frac{1}{x}+2$.
Xét hàm $f\left( x \right)=x+\frac{1}{x}+2$ trên $\left( -1;+\infty \right)$, có ${f}’\left( x \right)=1-\frac{1}{{{x}^{2}}};{f}’\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=-1 \\ {} x=1 \\ \end{array} \right.$.
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m=4 \\ {} m<0 \\ \end{array} \right.$
Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in \left[ -10;10 \right]\xrightarrow{{}}$ có 11 giá trị m nguyên. Chọn A.
| Ví dụ 22: Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số m để ${{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-2\text{x}+5 \right)-m.{{\log }_{{{x}^{2}}-2\text{x}+5}}2=5$ có hai nhiệm phân biệt là nghiệm của bất phương trình ${{\log }_{\sqrt{3}}}\left( x+1 \right)-{{\log }_{\sqrt{3}}}\left( x-1 \right)>{{\log }_{3}}4$?
A. $\left( -\frac{25}{4};-6 \right]$ B. $\left( -\frac{25}{4};-6 \right)$ C. $\left( -\frac{25}{4};+\infty \right)$ D. $\left[ -\frac{25}{4};-6 \right]$ |
Lời giải
BPT $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x+1>0;x-1>0 \\ {} {{\log }_{\sqrt{3}}}\frac{x+1}{x-1}>{{\log }_{\sqrt{3}}}2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x>1 \\ {} \frac{x+1}{x-1}>2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x>1 \\ {} x<\frac{3}{2} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow 1<x<3$.
Phương trình đã cho được viết lại thành: ${{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-2\text{x}+5 \right)-\frac{m}{{{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-2\text{x}+5 \right)}=5$
Đặt $t={{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-2\text{x}+5 \right)$, ta được $t-\frac{m}{t}=5\Leftrightarrow m=f\left( t \right)={{t}^{2}}-5t$.
Với $1<x<3\Rightarrow 4<{{x}^{2}}-2\text{x}+5<8\Leftrightarrow {{\log }_{2}}4<{{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-2\text{x}+5 \right)<{{\log }_{2}}8\Rightarrow 2<t<3$.
Xét hàm số $f\left( t \right)$ trên khoảng $\left( 2;3 \right)$, để $m=f\left( t \right)$ có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow -\frac{25}{4}<m<-6$. Chọn B.
| Ví dụ 23: Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m\in \left[ -10;10 \right]$ để phương trình $x-\frac{2}{{{\log }_{3}}\left( x+1 \right)}=m$ có hai nghiệm thực phân biệt?
A. 5 B. 18 C. 11 D. 9 |
Lời giải
Điều kiện: $\left\{ \begin{array} {} x>-1 \\ {} {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)\ne 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x>-1 \\ {} x+1\ne {{3}^{0}} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x>-1 \\ {} x\ne 0 \\ \end{array} \right.$.
Xét hàm số $f\left( x \right)=x-\frac{2}{{{\log }_{3}}\left( x+1 \right)}$ trên khoảng $D=\left( -1;+\infty \right)\backslash \left\{ 0 \right\}$.
Ta có ${f}’\left( x \right)=1-\frac{2.{{\left[ {{\log }_{3}}\left( x+1 \right) \right]}^{\prime }}}{\log _{3}^{2}\left( x+1 \right)}=1+\frac{2}{\ln 3.\left( x+1 \right).\log _{3}^{2}\left( x+1 \right)}>0,\forall x\in D$.
Do đó, hàm số đa cho đồng biến trên mỗi khoảng $\left( -1;0 \right)$ và $\left( 0;+\infty \right)$.
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra phương trình $f\left( x \right)=m$ có 2 nghiệm $\Leftrightarrow m>-1$.
Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in \left[ -10;10 \right]\xrightarrow{{}}$ có 11 giá trị m nguyên. Chọn C.
| Ví dụ 24: Phương trình ${{\log }_{\sqrt{2}}}\left( m\text{x}-6{{\text{x}}^{3}} \right)+2{{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( -14{{\text{x}}^{2}}+29\text{x}-2 \right)=0$ có ba nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi $m\in \left( a;b \right)$. Tính $P=a-2b$.
A. $-5$ B. 0 C. $-10$ D. $-20$ |
Lời giải
Phương trình $\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( m\text{x}-6{{\text{x}}^{3}} \right)={{\log }_{2}}\left( -14{{\text{x}}^{2}}+29\text{x}-2 \right)$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} -14{{\text{x}}^{2}}+29\text{x}-2>0 \\ {} m\text{x}-6{{\text{x}}^{3}}=-14{{\text{x}}^{2}}+29\text{x}-2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \frac{1}{14}<x<2 \\ {} m=6{{\text{x}}^{2}}-14\text{x}+29-\frac{2}{x}(*) \\ \end{array} \right.$
Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow $ (*) có ba nghiệm phân biệt $x\in \left( \frac{1}{14};2 \right)$.
Xét hàm số $f\left( x \right)=6{{\text{x}}^{2}}-14\text{x}+29-\frac{2}{x}$ trên khoảng $\left( \frac{1}{14};2 \right)$.
Ta có ${f}’\left( x \right)=12\text{x}-14+\frac{2}{{{x}^{2}}}=\frac{12{{\text{x}}^{3}}-14{{\text{x}}^{2}}+2}{{{x}^{2}}}\Rightarrow {f}’\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=1 \\ {} x=\frac{1}{2} \\ \end{array} \right.$ (do $\frac{1}{14}<x<2$).
Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt khi $19<m<\frac{39}{2}$.
Vậy $m\in \left( 19;\frac{39}{2} \right)\xrightarrow{{}}\left\{ \begin{array} {} a=19 \\ {} b=\frac{39}{2} \\ \end{array} \right.\xrightarrow{{}}P=a-2b=19-2.\frac{39}{2}=-20$. Chọn D.
| Ví dụ 25: Cho phương trình ${{\log }_{3}}\frac{2{{x}^{2}}-x+m}{{{x}^{2}}+1}={{x}^{2}}+x+4-m$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -2018;2018 \right]$ để phương trình có hai nghiệm trái dấu?
A. 2022 B. 2021 C. 2016 D. 2015 |
Lời giải
Phương trình $\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\frac{2{{\text{x}}^{2}}-x+m}{{{x}^{2}}+1}=3\left( {{x}^{2}}+1 \right)-\left( 2{{\text{x}}^{2}}-x+m \right)+1$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 2{{\text{x}}^{2}}-x+m \right)-{{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)=3\left( {{x}^{2}}+1 \right)-\left( 2{{\text{x}}^{2}}-x+m \right)+1$
$\Leftrightarrow 2{{\text{x}}^{2}}-x+m+{{\log }_{3}}\left( 2{{\text{x}}^{2}}-x+m \right)=3{{\text{x}}^{2}}+3+{{\log }_{3}}\left( 3{{\text{x}}^{2}}+3 \right)$ (*).
Xét hàm số $f\left( t \right)=t+{{\log }_{3}}t$ trên $\left( 0;+\infty \right)$, có ${f}’\left( t \right)=1+\frac{1}{t.\ln 3}>0;\forall t>0$.
Suy ra $f\left( t \right)$ là hàm số đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$ nên (*) $\Leftrightarrow f\left( 2{{\text{x}}^{2}}-x+m \right)=f\left( 3{{\text{x}}^{2}}+3 \right)$
$\Leftrightarrow 2{{\text{x}}^{2}}-x+m=3{{\text{x}}^{2}}+3\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-m+3=0$ có hai nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow 1.\left( 3-m \right)3$.
Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in \left[ -2018;2018 \right]\xrightarrow{{}}$ có 2015 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn D.
| Ví dụ 26: Gọi S là tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình
${{\log }_{4}}\left( {{2}^{2\text{x}}}+{{2}^{x+2}}+{{2}^{2}} \right)={{\log }_{2}}\left| m-2 \right|$ vô nghiệm. Giá trị của S bằng A. $S=8$ B. $S=10$ C. $S=12$ D. $S=6$ . |
Lời giải
Điều kiện: $m\ne 2$. Phương trình đã cho $\Leftrightarrow {{\log }_{4}}\left[ {{\left( {{2}^{x}}+2 \right)}^{2}} \right]={{\log }_{2}}\left| m-2 \right|$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{2}^{x}}+2 \right)={{\log }_{2}}\left| m-2 \right|\Leftrightarrow {{2}^{x}}+2=\left| m-2 \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} {{2}^{x}}+2=m-2 \\ {} {{2}^{x}}+2=2-m \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} {{2}^{x}}=m-4 \\ {} {{2}^{x}}=-m \\ \end{array} \right.$
Để phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m-4\le 0 \\ {} -m\le 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m\le 4 \\ {} m\ge 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow 0\le m\le 4$
Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}\xrightarrow{{}}m=\left\{ 0;1;2;3;4 \right\}$. Vậy $S=\sum{m}=10$. Chọn B.
| Ví dụ 27: Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình $\log _{\sqrt{3}}^{2}x-m{{\log }_{\sqrt{3}}}x+1=0$ có nghiệm duy nhất nhỏ hơn 1?
A. $m=2$ B. $m=-2$ C. $m=\sqrt{2}$ D. $m=0$ |
Lời giải
Điều kiện: $x>0$. Vì phương trình có nghiệm nhỏ hơn 1 nên suy ra $0<x<1$.
Đặt ${{\log }_{\sqrt{3}}}x=t$, với $0<x<1\xrightarrow{{}}t<0$
Phương trình đã cho trở thành: ${{t}^{2}}-mt+1=0\Leftrightarrow m=f\left( t \right)=t+\frac{1}{t}$
Xét hàm số $f\left( t \right)=t+\frac{1}{t}$ trên $\left( -\infty ;0 \right)$, có ${f}’\left( t \right)=1-\frac{1}{{{t}^{2}}};{f}’\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=-1$.
Dựa vào BBT, yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow m=f\left( t \right)$ có nghiệm duy nhất $t<0\Leftrightarrow m=-2$. Chọn B.
| Ví dụ 28: Gọi ${{m}_{0}}$ là giá trị thực nhỏ nhất của tham số m sao cho phương trình
$\left( m-1 \right)\log _{\frac{1}{2}}^{2}\left( x-2 \right)-\left( m-5 \right){{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( x-2 \right)+m-1=0$ có nghiệm thuộc $\left( 2;4 \right)$. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. $m\in \left( -5;-\frac{5}{2} \right)$ B. $m\in \left( -1;\frac{4}{3} \right)$ C. $m\in \left( 2;\frac{10}{3} \right)$ D. Không tồn tại m. |
Lời giải
Đặt $t={{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( x-2 \right)$, do $2<x<4\Leftrightarrow 0<x-2-1$.
Phương trình đã cho trở thành: $\left( m-1 \right){{t}^{2}}-\left( m-5 \right)t+m-1=0\Leftrightarrow m=\frac{{{t}^{2}}-5t+1}{{{t}^{2}}-t+1}$
Xét hàm số $f\left( t \right)=\frac{{{t}^{2}}-5t+1}{{{t}^{2}}-t+1}$ trên $\left( -1;+\infty \right)$, có ${f}’\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=1$.
Dựa vào BBT, ta thấy phương trình có nghiệm $-3\le m<\frac{7}{3}\Rightarrow {{m}_{0}}=-3$. Chọn A.
| Ví dụ 29: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình ${{\log }_{2}}\frac{{{4}^{x}}-1}{{{4}^{x}}+1}-m=0$ có nghiệm?
A. $m<0$ B. $-1<m<1$ C. $m\le -1$ D. $-1<m<0$ |
Lời giải
Điều kiện: ${{4}^{x}}-1>0\Leftrightarrow x>0$.
Đặt $t={{4}^{x}}$, với $x>0\xrightarrow{{}}t>1$. Phương trình đã cho trở thành: $m={{\log }_{2}}\frac{t-1}{t+1}$ (*).
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{2}}\frac{t-1}{t+1}$ trên $\left( 1;+\infty \right)$, có ${f}’\left( t \right)=\frac{2}{\left( {{t}^{2}}-1 \right)\ln 2}>0,\forall t>1$.
Suy ra hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 1;+\infty \right)$.
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow m<0$. Chọn A.
| Ví dụ 30: Xét các số nguyên dương a, b sao cho phương trình $a{{\ln }^{2}}x+b\ln \text{x}+5=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ và phương trình $5{{\log }^{2}}x+b\log \text{x}+a=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{3}},{{x}_{4}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}{{x}_{2}}>{{x}_{3}}{{x}_{4}}$. Tìm giá trị nhỏ nhất ${{S}_{\min }}$ của $S=2\text{a}+3b$.
A. ${{S}_{\min }}=30$ B. ${{S}_{\min }}=25$ C. ${{S}_{\min }}=33$ D. ${{S}_{\min }}=17$ |
Lời giải
Phương trình $\left\{ \begin{array} {} a{{\ln }^{2}}x+b\ln \text{x}+5=0 \\ {} 5{{\log }^{2}}x+b\log \text{x}+a=0 \\ \end{array} \right.$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta ={{b}^{2}}-20\text{a}>0$.
Theo hệ thức Vi-ét, ta có $\left\{ \begin{array} {} \ln {{\text{x}}_{1}}+\ln {{\text{x}}_{2}}=-\frac{b}{a} \\ {} \log {{x}_{3}}+\log {{x}_{4}}=-\frac{b}{5} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \ln \left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)=-\frac{b}{a} \\ {} \log \left( {{x}_{3}}{{x}_{4}} \right)=-\frac{b}{5} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}={{e}^{-\frac{b}{a}}} \\ {} {{x}_{3}}{{x}_{4}}={{10}^{-\frac{b}{5}}} \\ \end{array} \right.$.
Mặt khác ${{x}_{1}}{{x}_{2}}>{{x}_{3}}{{x}_{4}}\Leftrightarrow {{e}^{-\frac{b}{a}}}>{{10}^{-\frac{b}{5}}}\Leftrightarrow \ln {{e}^{-\frac{b}{a}}}>\ln {{10}^{-\frac{b}{5}}}\Leftrightarrow -\frac{b}{a}>-\frac{b}{5}.ln10\Leftrightarrow a>\frac{5}{\ln 10}$.
Vì a, b là hai số nguyên dương suy ra $a\ge 3\Rightarrow {{a}_{\min }}=3$ và ${{b}^{2}}>20\text{a}>60\Rightarrow {{b}_{\min }}=8$.
Vậy ${{S}_{\min }}=2{{\text{a}}_{\min }}+3{{b}_{\min }}=2.3+3.8=30$. Chọn A.
| Ví dụ 31: Cho phương trình ${{5}^{x}}+m={{\log }_{5}}\left( x-m \right)$ với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m\in \left( -20;20 \right)$ để phương trình đã cho có nghiệm?
A. 20 B. 19 C. 9 D. 21 |
Lời giải
Điều kiện: $x>m$. Phương trình $\Leftrightarrow {{5}^{x}}+x=x-m+{{\log }_{5}}\left( x-m \right)$
$\Leftrightarrow {{5}^{x}}+x={{5}^{{{\log }_{5}}\left( x-m \right)}}+{{\log }_{5}}\left( x-m \right)\Leftrightarrow f\left( x \right)=f\left[ {{\log }_{5}}\left( x-m \right) \right]$
$\Leftrightarrow x={{\log }_{5}}\left( x-m \right)\Leftrightarrow {{5}^{x}}=x-m\Leftrightarrow m=x-{{5}^{x}}=g\left( x \right)$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=x-{{5}^{x}}$ trên $\left( -\infty ;+\infty \right)$, có ${g}’\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=-{{\log }_{5}}\left( \ln 5 \right)$
Dựa vào bảng biến thiên $\Rightarrow $ Phương trình có nghiệm khi $m\le g\left( -{{\log }_{5}}\ln 5 \right)\approx -0,92$.
Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in \left( -20;20 \right)\xrightarrow{{}}$ có 19 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn B.
| Ví dụ 32: Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m\in \left[ -10;10 \right]$ để bất phương trình $4\log _{2}^{2}\sqrt{x}+{{\log }_{2}}x+m\ge 0$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left( 1;64 \right)$?
A. 11 B. 3 C. 8 D. 16 |
Lời giải
Bất phương trình $\Leftrightarrow 4{{\left( {{\log }_{2}}\sqrt{x} \right)}^{2}}+{{\log }_{2}}x+m\ge 0\Leftrightarrow {{\left( {{\log }_{2}}x \right)}^{2}}+{{\log }_{2}}x+m\ge 0$ (*)
Đặt $t={{\log }_{2}}x$ với $\text{x}\in \left( 1;64 \right)\xrightarrow{{}}t\in \left( 0;6 \right)$, khi đó (*) $\Leftrightarrow m\ge f\left( t \right)=-{{t}^{2}}-t;\forall t\in \left( 0;6 \right)$.
Xét hàm số $f\left( t \right)=-{{t}^{2}}-t$ trên $\left( 0;6 \right)$, có ${f}’\left( t \right)=-2t-1<0;\forall t\in \left( 0;6 \right)$.
Suy ra $f\left( t \right)$ là hàm số nghịch biến trên $\left( 0;6 \right)\xrightarrow{{}}\underset{\left( 0;6 \right)}{\mathop{\max }}\,f\left( t \right)=f\left( 0 \right)=0$.
Do đó $m\ge f\left( t \right);\forall t\in \left( 0;6 \right)\Leftrightarrow m\ge 0$. Kết hợp $\left\{ \begin{array} {} m\in \mathbb{Z} \\ {} -10\le m\le 10 \\ \end{array} \right.\xrightarrow{{}}$ có 11 giá trị nguyên cần tìm. Chọn A.
| Ví dụ 33: Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m\in \left[ -10;10 \right]$ để bất phương trình
$\log _{2}^{2}\left( 2\text{x} \right)-2\left( m+1 \right){{\log }_{2}}x-2<0$ có nghiệm thuộc khoảng $\left( \sqrt{2};+\infty \right)$? A. Vô số B. 17 C. 3 D. 10 |
Lời giải
Bất phương trình $\Leftrightarrow {{\left( 1+{{\log }_{2}}x \right)}^{2}}-2\left( m+1 \right){{\log }_{2}}x-2\sqrt{2}$ nên ${{\log }_{2}}x>{{\log }_{2}}\sqrt{2}=\frac{1}{2}\Rightarrow t>\frac{1}{2}$.
Khi đó (*) $\Leftrightarrow {{\left( 1+t \right)}^{2}}-2\left( m+1 \right)t-2<0\Leftrightarrow {{t}^{2}}-2mt-1f\left( t \right)=\frac{{{t}^{2}}-1}{2t};\forall t\in \left( \frac{1}{2};+\infty \right)\Leftrightarrow m>\underset{\left( \frac{1}{2};+\infty \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( t \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)=\frac{{{t}^{2}}-1}{2t}$ trên $\left( \frac{1}{2};+\infty \right)$, có ${f}’\left( t \right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2{{t}^{2}}}>0$;
Suy ra $f\left( t \right)$ là hàm số đồng biến trên $\left( \frac{1}{2};+\infty \right)$ nên $m>\underset{\left( \frac{1}{2};+\infty \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( t \right)=f\left( \frac{1}{2} \right)=\frac{3}{4}$.
Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in \left[ -10;10 \right]\xrightarrow{{}}$ có 10 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn D.
| Ví dụ 34: Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để bất phương trình $\ln \left( 2{{\text{x}}^{2}}+3 \right)>\ln \left( {{x}^{2}}+ax+1 \right)$ nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$?
A. 1 B. 2 C. 0 D. 3 |
Lời giải
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {{x}^{2}}+ax+1>0 \\ {} 2{{x}^{2}}+3>{{x}^{2}}+ax+1 \\ \end{array} \right.;\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} f\left( x \right)={{x}^{2}}+ax+1>0 \\ {} g\left( x \right)={{x}^{2}}-ax+2>0 \\ \end{array} \right.;\forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {{\Delta }_{f\left( x \right)}}<0 \\ {} {{\Delta }_{g\left( x \right)}}<0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {{a}^{2}}-4<0 \\ {} {{a}^{2}}-8<0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow {{a}^{2}}-4<0\Leftrightarrow \left( a-2 \right)\left( a+2 \right)<0\Leftrightarrow -2<a<2$.
Kết hợp với $a\in \mathbb{Z}\xrightarrow{{}}a=\left\{ -1;0;1 \right\}$ là các giá trị cần tìm. Chọn D.
| Ví dụ 35: Cho bất phương trình $1+{{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)\ge {{\log }_{5}}\left( m{{\text{x}}^{2}}+4\text{x}+m \right)$. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình luôn đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$.
A. 3 B. 0 C. 1 D. 2 |
Lời giải
Ta có $1+{{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)\ge {{\log }_{5}}\left( m{{\text{x}}^{2}}+4\text{x}+m \right)\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( 5{{\text{x}}^{2}}+5 \right)\ge {{\log }_{5}}\left( m{{\text{x}}^{2}}+4\text{x}+m \right)$
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m{{\text{x}}^{2}}+4\text{x}+m>0 \\ {} 5{{\text{x}}^{2}}+5\ge m{{\text{x}}^{2}}+4\text{x}+m \\ \end{array} \right.;\forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} f\left( x \right)=m{{\text{x}}^{2}}+4\text{x}+m>0;\forall x\in \mathbb{R}(1) \\ {} g\left( x \right)=\left( m-5 \right){{x}^{2}}+4\text{x}+m-5\le 0;\forall z\in \mathbb{R}(2) \\ \end{array} \right.$
Giải (1), ta có $f\left( x \right)>0;\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} a=m>0 \\ {} {\Delta }’={{2}^{2}}-{{m}^{2}}2$.
Giải (2), ta có $g\left( x \right)\le 0;\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} a=m-5<0 \\ {} {\Delta }’=4-{{\left( m-5 \right)}^{2}}\le 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m\le 3$.
Khi đó $2<m\le 3$ là giá trị cần tìm, kết hợp $m\in \mathbb{Z}\xrightarrow{{}}m=3$. Chọn C.
| Ví dụ 36: Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để bất phương trình $\log _{2}^{2}x-2{{\log }_{2}}x+3m-2<0$ có nghiệm thực?
A. $m<1$ B. $m\le 1$ C. $m<\frac{2}{3}$ D. $m<0$ |
Lời giải
Điều kiện: $x>0$. Đặt $t={{\log }_{2}}x$, với $x>0$ suy ra $t\in \left( -\infty ;+\infty \right)$.
Phương trình đã cho trở thành ${{t}^{2}}-2t+3m-2<0\Leftrightarrow 3m<-{{t}^{2}}+2t+2$ (*).
Để bất phương trình (*) có nghiệm $\Leftrightarrow 3m<M=\underset{\left( -\infty ;+\infty \right)}{\mathop{\max }}\,\left\{ -{{t}^{2}}+2t+2 \right\}$ (1)
Ta có $-{{t}^{2}}+2t+2=3-{{\left( t-1 \right)}^{2}}\le 3,\forall t\in \mathbb{R}$ suy ra $M=3$ (2)
Từ (1), (2) suy ra $3m<3\Leftrightarrow m<1$ là giá trị cần tìm. Chọn A.
| Ví dụ 37: Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình ${{\log }_{2}}x+m\ge \frac{1}{2}{{x}^{2}}$ có nghiệm $x\in \left[ 1;3 \right]$?
A. $\left[ \frac{1}{\sqrt{\ln 2}};+\infty \right)$ B. $\left[ \frac{9}{2}-{{\log }_{2}}3;+\infty \right)$ C. $\left[ \frac{1}{2};+\infty \right)$ D. $\left[ \frac{1}{2\ln 2}+\frac{1}{2}{{\log }_{2}}\left( \ln 2 \right);+\infty \right)$. |
Lời giải
Bất phương trình $\Leftrightarrow m\ge \frac{1}{2}{{x}^{2}}-{{\log }_{2}}x=f\left( x \right)\Rightarrow m\ge \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)$
Ta có ${f}’\left( x \right)=x-\frac{1}{x\ln 2}\Rightarrow {f}’\left( x \right)=0\Leftrightarrow x-\frac{1}{x\ln 2}=0\Leftrightarrow x=\pm \frac{1}{\sqrt{\ln 2}}$.
Tính $\left\{ \begin{array} {} f\left( 1 \right)=\frac{1}{2} \\ {} f\left( \frac{1}{\sqrt{\ln 2}} \right)=\frac{1}{2\ln 2}+\frac{1}{2}{{\log }_{2}}\left( \ln 2 \right) \\ {} f\left( 3 \right)=\frac{9}{2}-{{\log }_{2}}3 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=f\left( \frac{1}{\sqrt{\ln 2}} \right)=\frac{1}{2\ln 2}+\frac{1}{2}{{\log }_{2}}\left( \ln 2 \right)$
Suy ra $m\ge \frac{1}{2\ln 2}+\frac{1}{2}{{\log }_{2}}\left( \ln 2 \right)\Leftrightarrow m\in \left[ \frac{1}{2\ln 2}+\frac{1}{2}{{\log }_{2}}\left( \ln 2 \right);+\infty \right)$. Chọn D.
.
