Giải bất phương trình logarit bằng cách Sử dụng tính đơn điệu của hàm số, phân tích nhân tử, đánh giá

Giải bất phương trình logarit bằng cách Sử dụng tính đơn điệu của hàm số, phân tích nhân tử, đánh giá

Các phương pháp giải bất phương trình logarit

Cho hàm số $y=f\left( t \right)$ xác định và liên tục trên D: Nếu hàm số $f\left( t \right)$ luôn đồng biến trên D và $\forall u,v\in D$ thì $f\left( u \right)>f\left( v \right)\Leftrightarrow u>v$ Nếu hàm số $f\left( t \right)$ luôn nghịch biến trên D và $\forall u,v\in D$ thì $f\left( u \right)>f\left( v \right)\Leftrightarrow u<v$

Bài tập áp dụng các phương pháp giải bất phương trình logarit có đáp án chi tiết

Bài tập 1: Giải các bất phương trình sau: a) $x+{{\log }_{2}}\sqrt{x+1}+{{\log }_{3}}\sqrt{x+9}>1$ b) $2{{x}^{2}}-10x+10>{{\log }_{2}}\frac{2x-1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}$

Lời giải chi tiết

a) Điều kiện $x>-1$

BPT $\Leftrightarrow x+\frac{1}{2}{{\log }_{2}}\left( x+1 \right)+\frac{1}{2}{{\log }_{3}}\left( x+9 \right)>1\Leftrightarrow g\left( x \right)=2x+{{\log }_{2}}\left( x+1 \right)+{{\log }_{3}}\left( x+9 \right)>2$

$g’\left( x \right)=2+\frac{1}{\left( x+1 \right)\ln 2}+\frac{1}{\left( x+9 \right)\ln 3}>0\Rightarrow g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( -1;+\infty  \right)$

BPT $\Leftrightarrow g\left( x \right)>g\left( 0 \right)\Leftrightarrow x>0$

Vậy nghiệm của BPT là $\left( 0;+\infty  \right)$

b) Điều kiện $x>\frac{1}{2},x\ne 2$

Khi đó: BPT $\Leftrightarrow 2{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\log }_{2}}{{\left( x-2 \right)}^{2}}>2.\frac{2x-1}{2}+{{\log }_{2}}\frac{2x-1}{2}$

Xét $f\left( t \right)=2t+{{\log }_{2}}t\left( t>0 \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty  \right)$

Ta có: $f\left[ {{\left( x-2 \right)}^{2}} \right]>g\left( \frac{2x-1}{2} \right)\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}>\frac{2x-1}{2}$

Đáp số: $x>\frac{5+\sqrt{7}}{2};\frac{5-\sqrt{7}}{2}>x>\frac{1}{2}$

Bài tập 2: Số nghiệm nguyên của bất phương trình ${{\log }_{2}}\left( {{2}^{x}}+3 \right)+{{\log }_{3}}\left( {{4}^{x}}+2 \right)\le 3$ là: A. 1 B. 2 C. 0 D. Vô số

Lời giải chi tiết

Xét hàm số $f\left( x \right)={{\log }_{2}}\left( {{2}^{x}}+3 \right)+{{\log }_{3}}\left( {{4}^{x}}+2 \right)\left( x\in \mathbb{R} \right)$ ta có: $f\left( 0 \right)=3$

Mặt khác $f’\left( x \right)=\frac{{{2}^{x}}}{{{2}^{x}}+3}+\frac{{{4}^{x}}\ln 4}{\left( {{4}^{x}}+2 \right)\ln 3}>0\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow f\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$

Do đó BPT $\Leftrightarrow f\left( x \right)\le f\left( 0 \right)\Leftrightarrow x\le 0$

Vậy nghiệm của BPT là: $x\le 0$. Chọn D.

 

Bài tập 3: Gọi S là tập hợp số nguyên x thỏa mãn ${{\log }_{2}}\frac{{{x}^{2}}+x+2}{2{{x}^{2}}-3x+5}\ge {{x}^{2}}-4x+3$. Tổng các phần tử của tập hợp S là: A. T=2 B. T=5 C. T=3 D. T=6

Lời giải chi tiết

Bất phương trình $\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+x+2 \right)-{{\log }_{2}}\left( 2{{x}^{2}}-3x+5 \right)\ge \left( 2{{x}^{2}}-3x+5 \right)-\left( {{x}^{2}}+x+2 \right)$

$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+x+2 \right)+\left( {{x}^{2}}+x+2 \right)\ge {{\log }_{2}}\left( 2{{x}^{2}}-3x+5 \right)+\left( 2{{x}^{2}}-3x+5 \right)$

Xét hàm $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+t,t>0$

Ta có: $f’\left( t \right)=\frac{1}{t\ln 2}+1>0\,\,\forall t>0$$\Rightarrow $Hàm f đồng biến trên $\left( 0;+\infty  \right)$

Do đó: $f\left( {{x}^{2}}+x+2 \right)\ge f\left( 2{{x}^{2}}-3x+5 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x+2\ge 2{{x}^{2}}-3x+5\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+3\le 0\Leftrightarrow 1\le x\le 3$

Kết hợp $x\in \mathbb{Z}$$\Rightarrow x=\left\{ 1;2;3 \right\}\Rightarrow T=6$. Chọn D.

 

Bài tập 4: Giải bất phương trình ${{\log }_{2}}\frac{4\left( x+1 \right)}{\sqrt{x}+2}>2\left( x-\sqrt{x} \right)$ ta được tập nghiệm $S=\left[ a;\frac{b+\sqrt{c}}{2} \right)$, với a, b, c là các số nguyên dương. Tính giá trị biểu thức $T=a+b+c$ A. T=3 B. T=5 C. T=8 D. T=16

Lời giải chi tiết

Điều kiện $x\ge 0$.  Khi đó BPT$\Leftrightarrow 2+{{\log }_{2}}\left( x+1 \right)>2\left( x-\sqrt{x} \right)+{{\log }_{2}}\left( \sqrt{x}+2 \right)$

$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( x+1 \right)-2x>{{\log }_{2}}\left[ \left( \sqrt{x}+1 \right)+1 \right]-2\left( \sqrt{x}+1 \right)\Leftrightarrow f\left( x \right)>f\left( \sqrt{x}+1 \right)$

Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{2}}\left( t+1 \right)-2t$ trên $\left[ 0;+\infty  \right)$  ta có: $f’\left( t \right)=\frac{1}{\left( t+1 \right)\ln 2}-21,\forall t\ge 0$. Do đó nghịch biến trên khoảng $\left[ 0;+\infty  \right)$

Khi đó BPT$\begin{array}  {}  \\  {}  \\ \end{array}$$\Leftrightarrow f\left( x \right)>f\left( \sqrt{x}+1 \right)\Leftrightarrow x<\sqrt{x}+1\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} x\ge 0 \\  {} \frac{1-\sqrt{5}}{2}<\sqrt{x}<\frac{1+\sqrt{5}}{2} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ 0;\frac{3+\sqrt{5}}{2} \right)$

Suy ra a=0;b=3;c=5$\Rightarrow T=8$. Chọn C.