Giải bất phương trình logarit bằng phương pháp đưa về cùng cơ số – Bài tập có đáp án
Bài tập trắc nghiệm giải BPT Logarit bằng cách đưa về cùng cơ số có đáp án chi tiết
| Bài tập 1: Giải các bất phương trình sau:
a) ${{\log }_{5}}(1-2x)<1+{{\log }_{\sqrt{5}}}(x+1)$ b) ${{\log }_{2}}(1-2{{\log }_{9}}x)<1$ |
Lời giải chi tiết
a) ${{\log }_{5}}(1-2x)0 \\ {} x+1>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x-1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow -1<x<\frac{1}{2}$
Khi đó (1) $\Leftrightarrow {{\log }_{5}}(1-2x)<{{\log }_{5}}5+2{{\log }_{5}}(x+1)\Leftrightarrow {{\log }_{5}}(1-2x)<{{\log }_{5}}\left[ 5{{(x+1)}^{2}} \right]$
$\Leftrightarrow 1-2×0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x>\frac{-6+2\sqrt{14}}{5} \\ {} x<\frac{-6-2\sqrt{14}}{5} \\ \end{array} \right.$
Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là $\frac{-6+2\sqrt{14}}{5}<x<\frac{1}{2}$
b) ${{\log }_{2}}(1-2{{\log }_{9}}x)0 \\ {} 1-2{{\log }_{9}}x>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x>0 \\ {} 1-{{\log }_{3}}x>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x>0 \\ {} x<3 \\ \end{array} \right.\to 0<x<3$
(2) $\Leftrightarrow 1-2{{\log }_{9}}x<2\Leftrightarrow 1-{{\log }_{3}}x-1\Leftrightarrow x>\frac{1}{3}$
Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình $\frac{1}{3}<x<3$
| Bài tập 2: Giải các bất phương trình sau:
a)${{\log }_{x}}\left[ {{\log }_{2}}({{4}^{x}}-6) \right]\le 1$ b) ${{\log }_{x}}\left( \frac{2x-1}{x-1} \right)>1$ |
Lời giải chi tiết
a) Điều kiện: ${{4}^{x}}-6>0\Leftrightarrow x>{{\log }_{4}}6$
Với $x>{{\log }_{4}}6$ ta có: ${{\log }_{x}}\left[ {{\log }_{2}}({{4}^{x}}-6) \right]\le 1\Leftrightarrow 0<{{\log }_{2}}({{4}^{x}}-6)\le x\Leftrightarrow 1<{{4}^{x}}-6<{{2}^{x}}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {{4}^{x}}-{{2}^{x}}-67 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} -2<{{2}^{x}}{{\log }_{4}}7 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x{{\log }_{4}}7 \\ \end{array} \right.$
Vậy nghiệm của BPT là: ${{\log }_{4}}7<x0 \\ {} \frac{2x-1}{x-1}>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x>1 \\ {} 0<x<\frac{1}{2} \\ \end{array} \right.$
TH1: Với x > 1: BPT $\Leftrightarrow \frac{2x-1}{x-1}>x\Leftrightarrow 2x-1>{{x}^{2}}-x\Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x+1<0\Leftrightarrow \frac{3-\sqrt{5}}{2}<x<\frac{3+\sqrt{5}}{2}$
Kết hợp suy ra nghiệm của BPT là $1<x<\frac{3+\sqrt{5}}{2}$
TH2: Với $0<x<\frac{1}{2}$: BTP $\Leftrightarrow \frac{2x-1}{x-1}{{x}^{2}}-x\Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x+1<0\Leftrightarrow \frac{3-\sqrt{5}}{2}<x<\frac{3+\sqrt{5}}{2}$
Kết hợp suy ra nghiệm của BPT là $\frac{3-\sqrt{5}}{2}<x<\frac{1}{2}$
Vậy nghiệm của BPT là : $x\in \left( \frac{3-\sqrt{5}}{2};\frac{1}{2} \right)\cup \left( 1;\frac{3+\sqrt{5}}{2} \right)$
| Bài tập 3: Giải các bất phương trình sau:
a)${{\log }_{_{5}}}({{4}^{x}}+144)-4{{\log }_{5}}2<1+{{\log }_{5}}({{2}^{x-2}}+1)$ b) ${{\log }_{x}}\left[ {{\log }_{3}}({{9}^{x}}-72) \right]\le 1$ |
Lời giải chi tiết
a) ${{\log }_{_{5}}}({{4}^{x}}+144)-4{{\log }_{5}}2<1+{{\log }_{5}}({{2}^{x-2}}+1)$ (1).
$(1)\Leftrightarrow {{\log }_{_{5}}}({{4}^{x}}+144)-{{\log }_{5}}{{2}^{4}}<{{\log }_{5}}5+{{\log }_{5}}({{2}^{x-2}}+1)\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( \frac{{{4}^{x}}+144}{16} \right)<{{\log }_{5}}({{5.2}^{x-2}}+5)$
$\Leftrightarrow \frac{{{4}^{x}}+144}{16}<{{5.2}^{x-2}}+5\Leftrightarrow {{4}^{x}}-{{20.2}^{x}}+64<0\Leftrightarrow 4<{{2}^{x}}<16\to 2<x<4$
Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $2<x0,x\ne 1 \\ {} {{9}^{x}}-72>0 \\ {} {{\log }_{3}}({{9}^{x}}-72)>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x>0,x\ne 1 \\ {} {{9}^{x}}-72>1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x>{{\log }_{9}}73>1$, (*)
Với điều kiện (*) thì (3) $\Leftrightarrow {{\log }_{3}}({{9}^{x}}-72)\le x\Leftrightarrow {{9}^{x}}-72\le {{3}^{x}}$
$\Leftrightarrow {{9}^{x}}-{{3}^{x}}-72\le 0\Leftrightarrow -8\le {{3}^{x}}\le 9\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {{3}^{x}}\ge -8,\forall x \\ {} {{3}^{x}}\le 9 \\ \end{array} \right.$
Từ đó ta được $x\le 2$.
Kết hợp với điều kiện (*) ta được nghiệm của bất phương trình là ${{\log }_{9}}73<x\le 2$
Nhận xét: Trong Bài tập trên, mặc dù cơ số chứa ẩn x nhưng do điều kiện ta xác định được ngay biểu thức vế trái đồng biến nên bài toán không phải chia 2 trường hợp.
| Bài tập 4: Số nghiệm nguyên của bất phương trình ${{\log }_{\frac{1}{2}}}({{x}^{2}}+2x-8)\ge -4$là:
A. 4 B. 5 C. 10 D. 11 |
Lời giải chi tiết
Ta có: BPT $\left\{ \begin{array} {} {{x}^{2}}+2x-8>0 \\ {} {{x}^{2}}+2x-8\le {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{-4}}=16 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \left[ \begin{array} {} x>2 \\ {} x2 \\ {} x<-4 \\ \end{array} \right. \\ {} -6\le x\le 4 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} -6\le x<-4 \\ {} 2<x\le 4 \\ \end{array} \right.$
Kết hợp $x\in \mathbb{Z}\Rightarrow $ BPT có 4 nghiệm nguyên. Chọn A.
| Bài tập 5: Số nghiệm nguyên của bất phương trình ${{\log }_{5}}(1-2x)<1+{{\log }_{\sqrt{5}}}(x+1)$ là:
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 |
Lời giải chi tiết
Điều kiện $-1<x<\frac{1}{2}$.
Ta có: BPT $\Leftrightarrow {{\log }_{5}}(1-2x)-{{\log }_{5}}{{(x+1)}^{2}}<1\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\frac{(1-2x)}{{{(x+1)}^{2}}}<1\Leftrightarrow \frac{1-2x}{{{(x+1)}^{2}}}-\frac{2}{5} \\ {} x<-2 \\ \end{array} \right.$
Kết hợp $\left\{ \begin{array} {} -2<x<-\frac{2}{5} \\ {} x\in \mathbb{Z} \\ \end{array} \right.\Rightarrow $BPT có 1 nghiệm nguyên. Chọn A.
| Bài tập 6: Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình ${{\log }_{2}}({{x}^{2}}+3x)\le 2$là
A. $T=-7$ B. $T=-6$ C. $T=-3$ D. $T=-4$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${{\log }_{2}}({{x}^{2}}+3x)\le 2\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {{x}^{2}}+3x>0 \\ {} {{x}^{2}}+3x\le 4 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \left[ \begin{array} {} x>0 \\ {} x<-3 \\ \end{array} \right. \\ {} -4\le x\le 1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} 0<x\le 1 \\ {} -4\le x<-3 \\ \end{array} \right.$
Vậy nghiệm của BPT là: $x\in \left[ -4;-3 \right)\cup \left( 0;1 \right]$
Kết hợp $x\in \mathbb{Z}\Rightarrow x=\left\{ -4;1 \right\}\Rightarrow T=-3$. Chọn C.
| Bài tập 7: Số nghiệm nguyên của bất phương trình ${{\log }_{5}}({{x}^{2}}-11x+43)<2$là
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${{\log }_{5}}({{x}^{2}}-11x+43)0 \\ {} {{x}^{2}}-11x+43<25 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow {{x}^{2}}-11x+18<0\Leftrightarrow 2<x<9$
Vậy nghiệm của BPT là: $2<x<9$
Kết hợp $x\in \mathbb{Z}\Rightarrow x=\left\{ 3;4;5;6;7;8 \right\}\Rightarrow $BPT có 6 nghiệm nguyên. Chọn A.
| Bài tập 8: Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình ${{\log }_{\frac{1}{2}}}({{x}^{2}}-4x+6)>-2$
A. $T=7$ B. $T=6$ C. $T=5$ D. $T=3$ |
Lời giải chi tiết
Điều kiện ${{x}^{2}}-4x+6>0\Leftrightarrow x\in \mathbb{R}$
Ta có: $lo{{g}_{\frac{1}{2}}}({{x}^{2}}-4x+6)>-2\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+6<{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{-2}}=4\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+2<0\Leftrightarrow 2-\sqrt{2}<x<2+\sqrt{2}$
Kết hợp $x\in \mathbb{Z}\Rightarrow x=\left\{ 1;2;3 \right\}\Rightarrow T=6$. Chọn B.
| Bài tập 9: Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình ${{\log }_{\frac{1}{2}}}\frac{{{x}^{2}}+6x+9}{2(x+1)}<-{{\log }_{2}}(x+1)$là
A. $T=7$ B. $T=6$ C. $T=5$ D. $T=3$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${{\log }_{\frac{1}{2}}}\frac{{{x}^{2}}+6x+9}{2(x+1)}<-{{\log }_{2}}(x+1)\Leftrightarrow -{{\log }_{2}}\frac{{{x}^{2}}+6x+9}{2(x+1)}{{\log }_{2}}(x+1)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x+1>0 \\ {} \frac{{{x}^{2}}+6x+9}{2(x+1)}>x+1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x>-1 \\ {} {{(x+3)}^{2}}>2{{(x+1)}^{2}} \\ \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x>-1 \\ {} {{x}^{2}}-2x-7<0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow -1<x<1+2\sqrt{2}$
Kết hợp $x\in \mathbb{Z}\Rightarrow x=\left\{ 0;1;2;3 \right\}\Rightarrow T=6$. Chọn B.
| Bài tập 10: Biết $x=\frac{9}{4}$là một nghiệm của bất phương trình ${{\log }_{a}}({{x}^{2}}-x-2)>{{\log }_{a}}(-{{x}^{2}}+2x+3)$ (*).
Khi đó tập nghiệm của bất phương trình (*) là: A. $T=\left( -1;\frac{5}{2} \right)$ B. $T=\left( \frac{5}{2};+\infty \right)$ C.$T=\left( -\infty ;-1 \right)$ D. $T=\left( 2;\frac{5}{2} \right)$ |
Lời giải chi tiết
Vì $x=\frac{9}{4}$là một nghiệm của bất phương trình nên ${{\log }_{a}}\left[ {{\left( \frac{9}{4} \right)}^{2}}-\frac{9}{4}-2 \right]>{{\log }_{a}}\left[ {{\left( -\frac{9}{4} \right)}^{2}}+2.\frac{9}{4}+3 \right]$
$\Leftrightarrow {{\log }_{a}}\frac{13}{16}>{{\log }_{a}}\frac{201}{16}\Leftrightarrow {{\log }_{a}}\frac{201}{13}<0\Leftrightarrow 0<a0 \\ {} {{x}^{2}}-x-22 \\ {} x<12 \\ \end{array} \right. \\ {} 2{{x}^{2}}-3x-52 \\ {} x<-1 \\ \end{array} \right. \\ {} -1<x<\frac{5}{2} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow 2<x<\frac{5}{2}$. Chọn D.
| Bài tập 11: Tập nghiệm của bất phương trình ${{\log }_{\sqrt{3}.x}}(5{{x}^{2}}-18x+16)>2$là:
A. $S=(0;1)\cup (8;+\infty )$ B. $S=\left( \frac{\sqrt{3}}{2};1 \right)\cup (8;+\infty )$ C. $S=\left( \frac{\sqrt{3}}{3};1 \right)\cup (8;+\infty )$ D. $S=(8;+\infty )$ |
Lời giải chi tiết
ĐK: $\left\{ \begin{array} {} x>0,x\ne \frac{1}{\sqrt{3}} \\ {} 5{{x}^{2}}-18x+16>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x>0,x\ne \frac{1}{\sqrt{3}} \\ {} \left[ \begin{array} {} x>2 \\ {} x2 \\ {} 0<xlo{{g}_{\sqrt{3}x}}3{{x}^{2}}\Leftrightarrow \left( \sqrt{3}x-1 \right)\left( 5{{x}^{2}}-18x+16-3{{x}^{2}} \right)>0$
$\Leftrightarrow \left( \sqrt{3}x-1 \right)\left( 2{{x}^{2}}-18x+16 \right)>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x>8 \\ {} \frac{1}{\sqrt{3}}<x<1 \\ \end{array} \right.$
Kết hợp ĐK: Vậy tập nghiệm của BPT là: $S=\left( \frac{\sqrt{3}}{3};1 \right)\cup \left( 8;+\infty \right)$. Chọn C.
| Bài tập 12: Số nghiệm nguyên của bất phường trình $\frac{1}{{{\log }_{2}}\left( 3x-5 \right)}\ge \frac{2}{{{\log }_{2}}\left( 6x-2 \right)}$ là:
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 |
Lời giải chi tiết
Điều kiện: $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 1\ne 3x-5>0 \\ {} 1\ne 6x-2>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x\ne 2 \\ {} x>\frac{5}{3} \\ \end{array} \right.$. Khi đó: $lo{{g}_{2}}(6x-2)>0$
Ta có: BPT $\Leftrightarrow \frac{lo{{g}_{2}}(6x-2)-2lo{{g}_{2}}(3x-5)}{lo{{g}_{2}}(3x-5)lo{{g}_{2}}(6x-2)}\ge 0\Leftrightarrow \frac{lo{{g}_{2}}(6x-2)-lo{{g}_{2}}{{(3x-5)}^{2}}}{lo{{g}_{2}}(3x-5)}\ge 0$ (1)
TH1: $lo{{g}_{2}}(3x-5)>0\Leftrightarrow x>2$ ta có:
(1) $\Leftrightarrow lo{{g}_{2}}(6x-2)\ge lo{{g}_{2}}{{(3x-5)}^{2}}\Leftrightarrow 6x-2\ge {{(3x-5)}^{2}}\Leftrightarrow 1\le x\le 3$
Kết hợp với điều kiện trong trường hợp này BPT có nghiệm $2<x\le 3$
TH2: $lo{{g}_{2}}(3x-5)<0\Leftrightarrow \frac{5}{3}<x<2$
(1) $\Leftrightarrow lo{{g}_{2}}(6x-2)\le lo{{g}_{2}}{{(3x-5)}^{2}}\Leftrightarrow 6x-2\le {{(3x-5)}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x\ge 3 \\ {} x\le 1 \\ \end{array} \right.$
Kết hợp với điều kiện trong trường hợp này BPT vô nghiệm
Vậy nghiệm của BPT là: $x\in (2;3]\Rightarrow $ BPT có 1 nghiệm nguyên. Chọn A.
Trả lời