Giải bất phương trình logarit bằng Phương pháp đặt ẩn phụ – Bài tập có đáp án
Ta sẽ làm tương tự như các dạng đặt ẩn phụ của phương trình nhưng lưu ý đến chiều biến thiên của hàm số.
Bài tập trắc nghiệm giải bất phương trình logarit có đáp án chi tiết
| Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau:
a) $2{{\log }_{5}}x-{{\log }_{x}}125<1$ b) $\log _{\frac{1}{2}}^{2}x-6{{\log }_{2}}x+8\le 0$ |
Lời giải
a) ĐK: $x>0;x\ne 1$
BPT $\Leftrightarrow 2{{\log }_{5}}x-\frac{3}{{{\log }_{5}}x}<1\Leftrightarrow \frac{2log_{5}^{2}x-{{\log }_{5}}x-3}{{{\log }_{5}}x}<0$
Đặt $t={{\log }_{5}}x\to \frac{2{{t}^{2}}-t-3}{t}<0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} t<-1 \\ {} 0<t<\frac{3}{2} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array} {} {{\log }_{5}}x<-1 \\ {} 0<{{\log }_{5}}x<\frac{3}{2} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x<\frac{1}{5} \\ {} 1<x0$. Khi đó $log_{2}^{2}x-6{{\log }_{2}}x+8\le 0\Leftrightarrow 2\le {{\log }_{2}}x\le 4\Leftrightarrow 4\le x\le 16$
Vậy tập nghiệm của BPT là: $S=\left[ 4;16 \right]$
| Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau:
a) ${{\log }_{7}}\sqrt{x}-\frac{1}{2}{{\log }_{\sqrt{7}}}x>2$ b) ${{\log }_{x}}2.(2+{{\log }_{2}}x)>\frac{1}{{{\log }_{2x}}2}$ |
Lời giải
a) ĐK: $x>0$. Khi đó: BPT$\Leftrightarrow {{\log }_{7}}\sqrt{x}-\frac{1}{2}{{\log }_{\sqrt{7}}}x>2\Leftrightarrow \frac{1}{2}{{\log }_{7}}x-{{\log }_{7}}x>2$
$\Leftrightarrow -\frac{1}{2}{{\log }_{7}}x>2\Leftrightarrow {{\log }_{7}}x<-4\Leftrightarrow 0<x<{{7}^{-4}}$
Vậy tập nghiệm của BPT là: $0<x0 \\ {} x\ne 1 \\ {} x\ne \frac{1}{2} \\ \end{array} \right.$. Khi đó: BPT $\Leftrightarrow {{\log }_{x}}2.\left( 2+{{\log }_{2}}x \right)>{{\log }_{2}}\left( 2x \right)=1+{{\log }_{2}}x$
Đặt $t={{\log }_{2}}x$ ta có: $\frac{1}{t}.\left( 2+t \right)>1+t\Leftrightarrow \frac{2+t-t\left( 1+t \right)}{t}>0\Leftrightarrow \frac{-{{t}^{2}}+2}{t}>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} 0<t<\sqrt{2} \\ {} t<-\sqrt{2} \\ \end{array} \right.$
Với $0<t<\sqrt{2}$ $\Rightarrow 0<{{\log }_{2}}x<\sqrt{2}\Leftrightarrow 1<x<{{2}^{\sqrt{2}}}$
Với $t<-\sqrt{2}$ $\Rightarrow {{\log }_{2}}x<-\sqrt{2}\Leftrightarrow 0<x<{{2}^{-\sqrt{2}}}$
Vậy tập nghiệm của BPT là: $x\in \left( 0;{{2}^{-\sqrt{2}}} \right)\cup \left( 1;{{2}^{\sqrt{2}}} \right)$
| Ví dụ 3: Số nghiệm nguyên của bất phương trình ${{\log }_{2}}x+2{{\log }_{x}}4-3<0$là:
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 |
Lời giải
ĐK: $x>0,x\ne 1$
BPT $\Leftrightarrow $${{\log }_{2}}x+\frac{4}{{{\log }_{2}}x}-3<0\Leftrightarrow \frac{log_{2}^{2}x-3{{\log }_{2}}x+4}{{{\log }_{2}}x}<0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} {{\log }_{2}}x<0 \\ {} 1<{{\log }_{2}}x<3 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x<1 \\ {} 2<x<8 \\ \end{array} \right.$
Vậy tập nghiệm của BPT là: $S=\left( 0;1 \right)\cup \left( 2;8 \right)$
Kết hợp $x\in \mathbb{Z}$ $\Rightarrow $ BPT có 5 nghiệm nguyên. Chọn A.
| Ví dụ 4: Gọi S là tập hợp số nguyên x thuộc khoảng $\left( 0;10 \right)$ và thỏa mãn bất phương trình $log_{2}^{2}x-7{{\log }_{2}}3.lo{{g}_{3}}x+6\ge 0$. Tổng các phần tử tập hợp S là:
A. T=3 B. T=33 C. T=44 D. T=54 |
Lời giải
ĐK: $x>0$. BPT $\Leftrightarrow log_{2}^{2}x-7{{\log }_{2}}x+6\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} {{\log }_{2}}x\ge 6 \\ {} {{\log }_{2}}x\le 1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x\ge 64 \\ {} 0<x\le 2 \\ \end{array} \right.$
Kết hợp $\left\{ \begin{array} {} x\in \mathbb{Z} \\ {} x<10 \\ \end{array} \right.\Rightarrow x=\left\{ 1;2 \right\}\Rightarrow T=3$. Chọn A.
| Ví dụ 5: Gọi S là tập hợp số nguyên x thỏa mãn $log_{3}^{2}x-2{{\log }_{3}}\left( 3x \right)-1\le 0$. Tổng các phần tử của tập hợp S là:
A. T=351 B. T=27 C. T=378 D. T=26 |
Lời giải
Điều kiện: $x>0$. BPT$\Leftrightarrow log_{3}^{2}x-2\left( {{\log }_{3}}x+1 \right)-1\le 0$
$\Leftrightarrow log_{3}^{2}x-2{{\log }_{3}}x-3\le 0\Leftrightarrow -1\le {{\log }_{3}}x\le 3\Leftrightarrow \frac{1}{3}\le x\le 27$
Kết hợp $x\in \mathbb{Z}$ $\Rightarrow $ $x=\left\{ 1;2;3;4…27 \right\}\Rightarrow T=1+2+…+27=\frac{28.27}{2}=378$(cấp số cộng có $\left\{ \begin{array} {} {{u}_{1}}=1 \\ {} d=1 \\ \end{array} \right.$)
Chọn C.
| Ví dụ 6: Số nghiệm nguyên của bất phương trình $\sqrt{{{\log }_{9}}\left( 3{{x}^{2}}+4x+2 \right)}+1>{{\log }_{3}}\left( 3{{x}^{2}}+4x+2 \right)$ là:
A. 5 B. 2 C. 4 D. 3 |
Lời giải
Ta có BPT $\Leftrightarrow \sqrt{\frac{1}{2}{{\log }_{3}}\left( 3{{x}^{2}}+4x+2 \right)}+1>{{\log }_{3}}\left( 3{{x}^{2}}+4x+2 \right)$
Đặt $t=\sqrt{\frac{1}{2}{{\log }_{3}}\left( 3{{x}^{2}}+4x+2 \right)}\left( t\ge 0 \right)$ ta có: $t+1>2{{t}^{2}}\Leftrightarrow 2{{t}^{2}}-t-1<0\Leftrightarrow \frac{-1}{2}<t<1$
Do đó $0\le {{\log }_{3}}\left( 3{{x}^{2}}+4x+2 \right)<2\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 3{{x}^{2}}+4x+2\ge 1 \\ {} 3{{x}^{2}}+4x+2<9 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 3{{x}^{2}}+4x+1\ge 0 \\ {} 3{{x}^{2}}+4x-7<0 \\ \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \left[ \begin{array} {} x\ge -\frac{1}{3} \\ {} x\le -1 \\ \end{array} \right. \\ {} -\frac{7}{3}<x<1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} -\frac{1}{3}\le x<1 \\ {} -\frac{7}{3}<x\le -1 \\ \end{array} \right.$
Vậy nghiệm của BPT là $x\in \left[ -\frac{1}{3};1 \right)\cup \left( -\frac{7}{3};-1 \right]$
Kết hợp $x\in \mathbb{Z}$$\Rightarrow x=\left\{ 0;1;-2;-1 \right\}$ BPT có 4 nghiệm nguyên. Chọn C.
| Ví dụ 7: Số nghiệm nguyên của bất ${{\log }_{4}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}+3\sqrt{2{{\log }_{4}}\left( x-1 \right)}-4\le 0$ là:
A. 2 B. 3 C. 4 D. Vô số |
Lời giải
Điều kiện: $\left\{ \begin{array} {} x-1>0 \\ {} {{\log }_{4}}\left( x-1 \right)\ge 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x\ge 2$
BPT $\Leftrightarrow 2{{\log }_{4}}\left( x-1 \right)+3\sqrt{2{{\log }_{4}}\left( x-1 \right)}-4\le 0$. Đặt $t=2{{\log }_{4}}\left( x-1 \right),\left( t\ge 0 \right)$ ta có:
${{t}^{2}}+3t-4\le 0\Leftrightarrow -4\le t\le 1\Rightarrow 0\le t\le 1\Rightarrow 0\le {{\log }_{4}}\left( x-1 \right)\le \frac{1}{2}\Leftrightarrow 2\le x\le 3$
Kết hợp $x\in \mathbb{Z}$ $\Rightarrow x=\left\{ 2;3 \right\}$ BPT có 2 nghiệm nguyên. Chọn A.
| Ví dụ 8: Tập nghiệm của bất phương trình $\frac{log_{2}^{2}x+3}{{{\log }_{2}}x+3}>2$ là:
A. $\left( 8;+\infty \right)$ B. $\left( 0;\frac{1}{2} \right)\cup \left( 8;+\infty \right)$ C. $\left( \frac{1}{8};\frac{1}{2} \right)\cup \left( 8;+\infty \right)$ D. $\left( 0;1 \right)\cup \left( 8;+\infty \right)$ |
Lời giải
ĐK: $\left\{ \begin{array} {} x>0 \\ {} x\ne \frac{-1}{8} \\ \end{array} \right.$. Đặt $t={{\log }_{2}}x$ta có: $\frac{{{t}^{2}}+3}{t+3}>2\Leftrightarrow \frac{{{t}^{2}}-2t-3}{t+3}>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} t>3 \\ {} -3<t3$ $\Leftrightarrow {{\log }_{2}}x>3\Leftrightarrow x>8$
+) Với $-3<t<-1$ ta có: $-3<{{\log }_{2}}x<-1\Leftrightarrow \frac{1}{8}<x<\frac{1}{2}$
Vậy tập nghiệm của BPT là: $S=\left( \frac{1}{8};\frac{1}{2} \right)\cup \left( 8;+\infty \right)$. Chọn C.
