Cách Viết phương trình đường thẳng khi biết cặp vectơ pháp tuyến- Bài tập có đáp án
Nếu đường thẳng d có cặp vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{a}$và $\overrightarrow{b}$ tức là $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{{{u}_{d}}}\bot \overrightarrow{a} \\ {} \overrightarrow{{{u}_{d}}}\bot \overrightarrow{b} \\ \end{array} \right.$thì $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} \right]$.
Một số các trường hợp thường gặp – phương pháp viết ptdt khi biết vtpt:
n Đường thẳng d vuông góc hai đường thẳng ∆1 và ∆2, suy ra $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{{{\Delta }_{1}}}}};\overrightarrow{{{u}_{{{\Delta }_{2}}}}} \right]$.
n Đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) và (Q), suy ra $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}};\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]$.
n Đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với thường thẳng ∆, suy ra $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}};\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right]$
n Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) và song song với mặt phẳng (Q), suy ra $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}};\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]$.
n Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng ∆, suy ra $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}};\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right]$.
Bài tập viết phương trình đường thẳng trong oxyz có đáp án chi tiết
| Bài tập 1: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-3}{3}$ và mặt phẳng (P):$x-y-z-1=0$. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua $A(1;1;-2)$, song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d. |
Lời giải chi tiết
Do $\left\{ \begin{array} {} \Delta //(P) \\ {} \Delta \bot d \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\bot \overrightarrow{{{n}_{(P)}}} \\ {} \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\bot \overrightarrow{{{u}_{d}}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{(P)}}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=(2;5;-3)$
Suy ra phương trình đường thẳng ∆ là $\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{5}=\frac{z+2}{-3}$.
| Bài tập 2: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho $(P):x+y+z+1=0,(Q):x-y+z-2=0$và điểm $A(1;-2;3)$. Phương trình nào đưới đây là phương trình đường thẳng đi qua A, song song với (P) và (Q)?
A. $\left\{ \begin{array} {} x=-1+t \\ {} y=2 \\ {} z=-3-t \\ \end{array} \right.$. B. $\left\{ \begin{array} {} x=1 \\ {} y=-2 \\ {} z=3-2t \\ \end{array} \right.$. C. $\left\{ \begin{array} {} x=1+2t \\ {} y=-2 \\ {} z=3+2t \\ \end{array} \right.$. D. $\left\{ \begin{array} {} x=1+t \\ {} y=-2 \\ {} z=3-t \\ \end{array} \right.$. |
Lời giải chi tiết
Đường thẳng cần tìm song song với (P) và (Q) nên $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{(p)}}};\overrightarrow{{{n}_{(Q)}}} \right]=2(1;0;-1)$.
Do đó d: $\left\{ \begin{array} {} x=-1+t \\ {} y=2 \\ {} z=-3-t \\ \end{array} \right.$ . Chọn A.
| Bài tập 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(-1;0;2) và song song với hai mặt phẳng $(P):2x-3y+6z+4=0$và $(Q):z+y-2z+4=0$
A. $\left\{ \begin{array} {} x=-1 \\ {} y=2t \\ {} z=2-t \\ \end{array} \right.$ B. $\left\{ \begin{array} {} x=1 \\ {} y=2t \\ {} z=2-t \\ \end{array} \right.$ C. $\left\{ \begin{array} {} x=-1 \\ {} y=2t \\ {} z=-2+t \\ \end{array} \right.$ D. $\left\{ \begin{array} {} x=-1 \\ {} y=2t \\ {} z=2+t \\ \end{array} \right.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{{{n}_{P}}}=(2;-3;6) \\ {} \overrightarrow{{{n}_{Q}}}=(1;1;-2) \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}};\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]=(0;10;5)$
Đường thẳng d qua A(-1;0;2) và nhận $\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}};\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]=(0;10;5)$là một VTCP
$\Rightarrow d:\left\{ \begin{array} {} x=-1 \\ {} y=2t \\ {} z=2+t \\ \end{array} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)$. Chọn D.
| Bài tập 4: Cho mặt phẳng $(P):4x-y-z-1=0$và đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z}{1}$. Phương trình đường thẳng qua A(1;2;3) song song với (P) đồng thời vuông góc với d là:
A. $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z-3}{1}$ B. $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{2}$ C. $\frac{x-1}{-2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{3}$ D. $\frac{x-1}{-2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{-1}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=(2;-2;1);\overrightarrow{{{n}_{(p)}}}=(4;-1;-1)$. Suy ra $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right]=(3;6;6)=3(1;2;2)$
Do vậy $\Delta :\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{2}$. Chọn B.
| Bài tập 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;3;2); B(1;2;1); C(1;1;3). Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua ∆ trọng tâm G của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC)
A. $\Delta :\left\{ \begin{array} {} x=1-3t \\ {} y=2+t \\ {} z=2 \\ \end{array} \right.$ B. $\Delta :\left\{ \begin{array} {} x=1-3t \\ {} y=2-2t \\ {} z=2-t \\ \end{array} \right.$ C. $\Delta :\left\{ \begin{array} {} x=1 \\ {} y=2+2t \\ {} z=2-t \\ \end{array} \right.$ D. $\Delta :\left\{ \begin{array} {} x=1-3t \\ {} y=2 \\ {} z=2 \\ \end{array} \right.$ |
Lời giải chi tiết
Giả sử $G({{x}_{G}};{{y}_{G}};{{z}_{G}})$. Khi đó: $\left\{ \begin{array} {} {{x}_{G}}=\frac{1+1+1}{3}=1 \\ {} {{y}_{G}}=\frac{3+2+1}{3}=2\Rightarrow G(1;2;2) \\ {} {{z}_{G}}=\frac{2+1+3}{3}=2 \\ \end{array} \right.$
Ta có: $\overrightarrow{AB}=(0;-1;-1);\overrightarrow{AC}=(0;-2;1)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right]=(-3;0;0)=-3(1;0;0)$
Đường thẳng qua G và nhận $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}$là vtcp $\Rightarrow \Delta :\left\{ \begin{array} {} x=1-3t \\ {} y=2 \\ {} z=2 \\ \end{array} \right.$. Chọn D.
| Bài tập 6: Trong không gian toạ độ Oxyz cho điểm M (-1;1;3) và hai đường thẳng $\Delta :\frac{x-1}{3}=\frac{y+3}{2}=\frac{z-1}{1};\Delta ‘:\frac{x+1}{1}=\frac{y}{3}=\frac{z}{-2}$. Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua M, vuông góc với ∆ và ∆’?
A. $\left\{ \begin{array} {} x=-t \\ {} y=1+t \\ {} z=3+t \\ \end{array} \right.$ B. $\left\{ \begin{array} {} x=-1-t \\ {} y=1-t \\ {} z=3+t \\ \end{array} \right.$ C. $\left\{ \begin{array} {} x=-1-t \\ {} y=1+t \\ {} z=1+3t \\ \end{array} \right.$ D. $\left\{ \begin{array} {} x=-1-t \\ {} y=1+t \\ {} z=3+t \\ \end{array} \right.$ |
Lời giải chi tiết
Các vtcp của ∆ và ∆’ lần lượt là: $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=(3;2;1);\overrightarrow{{{u}_{2}}}=(1;3;-2)\Rightarrow $vtcp của đường thẳng cần tìm là: $\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=(-7;7;7)=7(-1;1;1)$. Chọn D.
| Bài tập 7: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm $A\left( 1;-2;3 \right)$ và hai mặt phẳng $(P):x+y+z+1=0,(Q):x-y+z-2=0$. Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua A, song song với (P), (Q)?
A. $\left\{ \begin{array} {} x=1 \\ {} y=-2 \\ {} z=3-2t \\ \end{array} \right.$ B. $\left\{ \begin{array} {} x=-1+t \\ {} y=2 \\ {} z=-3-t \\ \end{array} \right.$ C. $\left\{ \begin{array} {} x=1+2t \\ {} y=-2 \\ {} z=3+2t \\ \end{array} \right.$ D. $\left\{ \begin{array} {} x=1+t \\ {} y=-2 \\ {} z=3-t \\ \end{array} \right.$ |
Lời giải chi tiết
Các vtpt của (P) và (Q) là : $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=(1;1;1);\overrightarrow{{{n}_{2}}}=(1;-1;1)$, vtcp của đường thẳng cần tìm là: $\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{1}}};\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right]=(2;0;-2)=2(1;0;-1)$. Chọn D.
| Bài tập 8: Cho 2 đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-1}{-1}$ và ${{d}_{2}}:\frac{x+1}{4}=\frac{y}{4}=\frac{z+2}{1}$.Phương trình đường thẳng đi qua $A\left( -2;3;0 \right)$ và vuông góc với cả ${{d}_{1}}$và ${{d}_{2}}$?
A. $\frac{x+2}{2}=\frac{y-3}{4}=\frac{z}{3}$ B. $\frac{x+2}{3}=\frac{y-3}{-3}=\frac{z}{1}$ C. $\frac{x-2}{1}=\frac{y+3}{2}=\frac{z}{4}$ D. $\frac{x+2}{1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z}{4}$ |
Lời giải chi tiết
Gọi d là đường thẳng cần tìm. Ta có: $\left\{ \begin{array} {} d\bot {{d}_{1}} \\ {} d\bot {{d}_{2}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{{{u}_{d}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{{{d}_{1}}}}} \\ {} \overrightarrow{{{u}_{d}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}} \\ \end{array} \right.$
Khi đó $\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}};\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}} \right]=(3;-6;12)=3(1;-2;4)\Rightarrow d:\frac{x+2}{1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z}{4}$. Chọn D.
