Cách tính Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song

Cách tính Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song

– Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ song song với nhau là khoảng cách từ một điểm M bất kì thuộc đường a đến mặt thẳng $\left( \alpha  \right)$.

$d\left( a;\left( \alpha  \right) \right)=d\left( M;\left( \alpha  \right) \right)=MH\left( M\in \left( \alpha  \right) \right)$.

– Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng kia.

$d\left( \left( \alpha  \right);\left( \beta  \right) \right)=d\left( a;\left( \beta  \right) \right)=d\left( A;\left( \beta  \right) \right)=AH\left( a\subset \left( \alpha  \right),A\in a \right)$

Bài tập tính khoảng cách giữa đường thẳng, mặt phẳng song song có đáp án

Lời giải chi tiết

Do $\left\{ \begin{array}  {} MP//BC \\  {} MN//SB \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left( MNP \right)\bot \left( SBC \right)$

Dựng $SH\bot BC\left( H\in BC \right)$. Mặt khác $\left( SBC \right)\bot \left( ABC \right)$

Do đó $SH\bot \left( ABC \right)$

Gọi M là trung điểm của BC$\Rightarrow AM\bot BC$

Gọi $K=AE\cap MP\Rightarrow KE\bot BC$

Mặt khác $KE\bot SH\Rightarrow KE\bot (SBC)$

Suy ra $d\left( \left( MNP \right);\left( SBC \right) \right)=d\left( K;\left( SBC \right) \right)=KE=\frac{AE}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{4}$

Lời giải chi tiết

Gọi O là tâm của đáy ABCD$\Rightarrow SO\bot \left( ABCD \right)$

Ta có: $OA=\frac{AC}{2}=a\sqrt{2}$$\Rightarrow SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-O{{A}^{2}}}=a\sqrt{3}$

Mặt khác $d\left( CD;\left( SAB \right) \right)=d\left( D;\left( SAB \right) \right)$

Ta có: $\frac{d\left( D;\left( SAB \right) \right)}{d\left( O;\left( SAB \right) \right)}=\frac{DB}{OB}=2$

Dựng $OE\bot AB,\text{OF}\bot \text{SE}$ ta có: $OE=\frac{AD}{2}=a$

Khi đó: $d\left( D;\left( SAB \right) \right)=2OF=2.\frac{SO.OE}{\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{E}^{2}}}}=a\sqrt{3}$

Lời giải chi tiết

a) Gọi H là trung điểm của BC ta có: $A’H\bot BC$

Do $\Delta \text{ABC}$ đều nên $AH\bot BC\Rightarrow BC\bot \left( A’HA \right)$

Dựng $HK\bot \text{A}A’$ thì $\left\{ \begin{array}  {} HK\bot BB’ \\  {} KH\bot BC \\ \end{array} \right.\Rightarrow KH\bot \left( BCC’B’ \right)$

Do đó $d\left( AA’;\left( BCC’B’ \right) \right)=d\left( K;\left( BCC’B’ \right) \right)=KH$

Lại có: $AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\text{,AA}’=a\Rightarrow A’H=\sqrt{A'{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\frac{a}{2}$

Suy ra $HK=\frac{\text{AA }\!\!’\!\!\text{ }\text{.AH}}{\text{AA }\!\!’\!\!\text{ }}=\frac{a\sqrt{3}}{4}$

Do đó $d\left( AA’;\left( BCC’B’ \right) \right)=\frac{a\sqrt{3}}{4}$.

b) Ta có: $d\left( \left( ABC \right);\left( A’B’C’ \right) \right)=d\left( A’;\left( ABC \right) \right)=A’H=\frac{a}{2}$

Lời giải chi tiết

Ta có: $MN//AC,NP//AA’\Rightarrow \left( MNP \right)//\left( ACC’A’ \right)$

Gọi O là tâm hình vuông ABCD và $I=DO\cap MN$

Ta có: $\left\{ \begin{array}  {} IO\bot AC \\  {} IO\bot AA’ \\ \end{array} \right.\Rightarrow IO\bot \left( ACC’A’ \right)$

Do đó $d\left( \left( MNP \right);\left( ACC’A’ \right) \right)=d\left( I;\left( ACC’A’ \right) \right)=IO$

Lại có: $IO=\frac{OD}{2}=\frac{BD}{4}=\frac{a\sqrt{2}}{4}$