Bài tập viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu trong không gian OXYZ có đáp án chi tiết.
Dưới đây là một số bài tập giúp các em luyện tập viết các phương trình trong hệ trục tọa độ oxyz
| Bài tập 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:
a) Qua điểm $M\,\left( 1;2;-1 \right)$ và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(1;-2;2)$. b) Qua điểm $A\left( 1;0;2 \right)$ và vuông góc với BC trong đó $B\,\left( -1;2;1 \right)$ và $C\,\left( 1;1;4 \right).$ c) Qua điểm $M\,\left( -1;0;2 \right)$ và song song với mặt phẳng (Q): $x-2y+3z-1=0.$ |
Lời giải chi tiết:
a) Phương trình mặt phẳng cần tìm là: $1\left( x-1 \right)-2\left( y-2 \right)+2\left( z+1 \right)=0$hay $x-2y+2z+5=0.$
b) Ta có: $\overrightarrow{BC}=\left( 2;-1;3 \right)$ suy ra VTPT của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow{n}=(2;-1;3).$
Phương trình mặt phẳng: $2\left( x-1 \right)-1\left( y-0 \right)+3\left( z-2 \right)=0$ hay $2x-y+3z-8=0$.
c) Do $\left( P \right)//\left( Q \right)$ nên ta chọn $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=\overrightarrow{{{n}_{(Q)}}}=\left( 1;-2;3 \right)$.
Phương trình mặt phẳng (P) là: $x-2y+3z-5=0.$
| Bài tập 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:
a) Đi qua 3 điểm $A\,\left( -1;2;3 \right),\,\,B\,\left( 2;-4;3 \right),\,\,C\,\left( 4;5;6 \right).$ b) Đi qua điểm $M\,\left( -1;2;4 \right)$ và vuông góc với trục Oy. c) Là mặt phẳng trung trực của AB với $A\left( 1;-1;0 \right)$ và $B\left( 3;3;2 \right).$ d) Đi qua 3 điểm $D\left( 3;0;0 \right),\,\,E\,\left( 0;-1;0 \right);\,\,F\left( 0;0;2 \right).$ |
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: $\overrightarrow{AB}=(3;-6;0),\,\,\overrightarrow{AC}=(5;3;3)$ suy ra $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=(-18;-9;39)=-3(6;3;-13)$
Ta chọn $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=(6;3;-13)\Rightarrow (P):6(x+1)+3(y-2)-13(z-3)=0$hay $6x+3y-13z+39=0.$
b) Ta có: $\overrightarrow{{{u}_{Oy}}}=\overrightarrow{j}=(0;1;0)$
Do (P) vuông góc với trục Oy $\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=(0;1;0)\Rightarrow (P):y-2=0$.
c) Mặt phẳng trung trực của AB là mặt phẳng qua trung điểm của AB và vuông góc với AB.
Trung điểm của AB là $M\left( 2;1;1 \right),$$\overrightarrow{AB}=(2;4;2)=2(1;2;1)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=(1;2;1)$
Phương trình mặt phẳng cần tìm là: $1(x-2)+2(y-1)+1(z-1)=0$ hay $x+2y+z-5=0$.
d) Phương trình mặt phẳng (P) theo đoạn chắn là: $\frac{x}{3}+\frac{y}{-1}+\frac{z}{2}=1$hay $2x-6y+3z-6=0.$
| Bài tập 3: Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây nằm trên mặt phẳng (P):$2x-y+z-2=0$?
A. $Q\,(1;-2;2).$ B. $N\,(1;-1;-1).$ C. $P\,(2;-1;-1).$ D. $M\,(1;1;-1).$ |
Lời giải chi tiết:
Thay tọa độ từng điểm vào phương trình mặt phẳng (P) ta thấy tọa độ điểm N thỏa mãn:
$2(1)-(-1)-1-2=0\Rightarrow N\in (P)$. Chọn B.
| Bài tập 4: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P):\,\,x-z-1=0$. Vectơ nào sau đây không là vectơ pháp tuyến của (P).
A. $\overrightarrow{n}=\left( -1;0;1 \right).$ B. $\overrightarrow{n}=\left( 1;0;-1 \right).$ C. $\overrightarrow{n}=\left( 1;-1;-1 \right).$ D. $\overrightarrow{n}=\left( 2;0;-2 \right).$ |
Lời giải chi tiết:
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $(1;0;-1)$.
Dễ nhận thấy vectơ $\overrightarrow{n}=(1;-1;-1)$ không là vectơ pháp tuyến của (P). Chọn C.
| Bài tập 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng qua điểm $M\left( 2;-3;4 \right)$ và nhận $\overrightarrow{n}=(-2;4;1)$làm vectơ pháp tuyến.
A. $2x+4y+z-12=0.$ B. $2x-4y-z+12=0.$ C. $2x-4y-z+10=0.$ D. $-2x+4y+z+11=0.$ |
Lời giải chi tiết:
Phương trình mặt phẳng đó là: $-2\left( x-2 \right)+4\left( y+3 \right)+1\left( z-4 \right)=0$ hay $-2x+4y+z+12=0$. Chọn B.
| Bài tập 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ và nhận vectơ có tọa độ $\overrightarrow{n}=(3;2;1)$là vectơ pháp tuyển. Phương trình của mặt phẳng (P) là
A. $3x+2y+z-14=0.$ B. $3x+2y+z=0.$ C. $3x+2y+z+2=0.$ D. $x+2y+3z=0.$ |
Lời giải chi tiết:
Phương trình mặt phẳng (P) là 3x + 2y + z = 0. Chọn B.
| Bài tập 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α): $2x-3y-z-1=0.$ Điểm nào dưới đây không thuộc mặt phẳng (α) ?
A. $P\,(3;1;3).$ B. $Q\,(1;2;-5).$ C. $M\,(-2;1;-8).$ D. $N\left( 4;2;1 \right).$. |
Lời giải chi tiết:
Với các điểm M, N, P, Q ta thấy điểm $P\,(3;1;3)\notin (\alpha )$ vì 2.3 − 3.1 − 3−l = −1 ≠ 0. Chọn A.
| Bài tập 8: Trong không gian toạ độ Oxyz cho điểm $M\left( 2;1;3 \right)$. Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các trục toạ độ Ox, Oy và Oz. Phương trình mặt phẳng (ABC) là.
A. $\frac{x}{2}+\frac{y}{1}+\frac{z}{3}=0.$ B. $3x+6y+2z-6=0.$ C. $3x+6y+2z-9=0.$ D. $2x+6y+3z-6=0.$ |
Lời giải chi tiết :
Toạ độ các điểm A, B, C là $A\left( 2;0;0 \right);\,\,B\left( 0;1;0 \right);\,\,C\left( 0;0;3 \right)$
Suy ra phương trình đoạn chắn của mặt phẳng (ABC) là: $\frac{x}{2}+\frac{y}{1}+\frac{z}{3}=1$ hay $3x+6y+2z-6=0$
Chọn B.
| Bài tập 9: Trong không gian toạ độ Oxyz cho điểm $M\left( 1;-3;5 \right).$ Gọi I ; J ; K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên các trục $Ox;Oy;Oz.$ Phương trình mặt phẳng (IJK) là.
A. $x-\frac{y}{3}+\frac{z}{5}=0.$ B. $x+\frac{y}{3}+\frac{z}{5}=1.$ C. $x-\frac{y}{3}+\frac{z}{5}=1.$ D. $x+\frac{y}{3}-\frac{z}{5}=1.$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có: $I\left( 1;0;0 \right);\,\,J\left( 0;-3;0 \right);\,\,K\left( 0;0;5 \right)$do đó phương trình mặt phẳng (IJK) theo đoạn chắn là:
$\frac{x}{1}+\frac{y}{-3}+\frac{z}{5}=1$. Chọn C.
| Bài tập 10: Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm M (3;-1;1) và vuông góc với đường thẳng $\Delta :\frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z-3}{1}$?
A. $3x-2y+z+12=0.$ B. $3x+2y+z-8=0.$ C. $3x-2y+z-12=0.$ D. $x-2y+3z+3=0.$ |
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng cần tìm có VTPT là : $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{{{n}_{\Delta }}}=(3;-2;1)$
Phương trình mặt phẳng cần tìm là: $3(x-3)-2(y+1)+z-1=0$ hay $3x-2y+z-12=0$. Chọn C.
| Bài tập 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với $A\left( 1;-1;0 \right),\,\,B\left( 0;1;1 \right),\,\,C\left( 1;0;-1 \right).$ Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là:
A. $\overrightarrow{n}=(3;1;1).$ B. $\overrightarrow{n}=(3;-1;1).$ C. $\overrightarrow{n}=(3;1;-1).$ D. $\overrightarrow{n}=(-3;1;1).$ |
Lời giải chi tiết:
Tacó: $\overrightarrow{AB}=(-1;2;1),\,\,\overrightarrow{AC}=(0;1;-1)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=(-3;-1;-1)=-\overrightarrow{n}$. Chọn A.
| Bài tập 12: Viết phương trình tham số của đường thẳng d, biết
a) $d:\frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z-1}{5}.$ b) $d:\frac{x+3}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+1}{3}.$ |
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: $\frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z-1}{5}=t\Rightarrow (d):\left\{ \begin{align} & x=2+2t \\ & y=-1-3t \\ & z=1+5t \\ \end{align} \right..$
b) $\frac{x+3}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+1}{3}=t\Rightarrow (d):\left\{ \begin{align} & x=-3+2t \\ & y=1-t \\ & z=-1+3t \\ \end{align} \right..$
| Bài tập 13: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d, biết
a) $d:\left\{ \begin{align} & x=2+3t \\ & y=-1-t \\ & z=3+6t \\ \end{align} \right..$ b) $d:\left\{ \begin{align} & x=2+3t \\ & y=4+4t \\ & z=6t \\ \end{align} \right..$ |
Lời giải chi tiết:
a) Phương trình chính tắc của đường thằng $d:\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-3}{6}.$
b) Phương trình chính tắc của đường thằng $d:\frac{x+2}{-3}=\frac{y-4}{4}=\frac{z}{6}.$
| Bài tập 14: Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a) Đi qua điểm $A\left( 2;1;4 \right)$ và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}+3\overrightarrow{k}$. b) Đi qua điểm $A\left( -1;2;4 \right)$và song song với trục Oz. c) Đi qua 2 điểm $A\left( 0;-1;2 \right)$ và $B\left( 1;3;2 \right)$. |
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: $\overrightarrow{u}=(2;-1;3)$
Phương trình đường thẳng d là : $\frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-4}{3}.$
b) Ta có : $d//Oz\Rightarrow \overrightarrow{u}=(0;0;1)\Rightarrow d:\left\{ \begin{align} & x=-1 \\ & y=2 \\ & z=4+t \\ \end{align} \right..$
c) Ta có : $\overrightarrow{AB}=(1;4;0)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\overrightarrow{AB}=(1;4;0)\Rightarrow $$d:\left\{ \begin{align} & x=t \\ & y=-1+4t \\ & z=2 \\ \end{align} \right..$
| Bài tập 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z+3}{1}$. Vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng d ?
A. $\overrightarrow{u}=(1;2;3).$ B. $\overrightarrow{u}=(2;-3;1).$ C. $\overrightarrow{u}=(3;2;1).$ D. $\overrightarrow{u}=(-1;2;-3).$ |
Lời giải chi tiết:
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là $\overrightarrow{u}=(2;-3;1)$. Chọn B.
| Bài tập 16: Cho hai điểm $A\left( 1;1;0 \right)$ và $B\left( 0;1;2 \right)$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB?
A. $\overrightarrow{b}=(-1;0;2).$ B. $\overrightarrow{c}=(1;2;2).$ C. $\overrightarrow{d}=(-1;1;2).$ D. $\overrightarrow{a}=(-1;0;-2).$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có: $\overrightarrow{AB}=(-1;0;2)=\overrightarrow{{{u}_{AB}}}$. Chọn A.
| Bài tập 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm $A(1;1;0),\,\,B(0;-1;1)$. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B là:
A. $\left\{ \begin{align} & x=1+t \\ & y=1 \\ & z=t \\ \end{align} \right..$ B. $\left\{ \begin{align} & x=1+t \\ & y=1 \\ & z=-t \\ \end{align} \right..$ C. $\left\{ \begin{align} & x=t \\ & y=-1+2t \\ & z=1-t \\ \end{align} \right..$ D. $\left\{ \begin{align} & x=1-t \\ & y=-1-2t \\ & z=t \\ \end{align} \right..$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có $\overrightarrow{BA}=(1;2;-1)$. Đường thẳng AB đi qua điểm B, nhận $\overrightarrow{BA}$ làm vectơ chỉ phương có phương trình $\left\{ \begin{align} & x=t \\ & y=-1+2t \\ & z=1-t \\ \end{align} \right.$. Chọn C.
| Bài tập 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A\,(3;2;2),\,\,B\,(4;-1;0)$. Viết phương trình đường thẳng ∆ qua hai điểm A và B.
A. $\Delta :\left\{ \begin{align} & x=3-t \\ & y=2+3t \\ & z=2+2t \\ \end{align} \right..$ B. $\Delta :\left\{ \begin{align} & x=3+4t \\ & y=2-t \\ & z=2 \\ \end{align} \right..$ C. $\Delta :\left\{ \begin{align} & x=1+3t \\ & y=-3+2t \\ & z=-2+2t \\ \end{align} \right..$ D. $\Delta :\left\{ \begin{align} & x=1+4t \\ & y=-3-t \\ & z=-2 \\ \end{align} \right..$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có: $\overrightarrow{AB}=(1;-3;-2)=-(-1;3;2)=-\overrightarrow{u}\Rightarrow \overrightarrow{u}$là một vtcp của AB. Chọn A.
| Bài tập 19: Cho ba điểm $A\,(0;-1;3),\,\,B\,(1;0;1)$ và $C\,(-1;1;2)$. Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua A và song song với đường thẳng BC ?
A. $\left\{ \begin{align} & x=-2t \\ & y=-1+t \\ & z=3+t \\ \end{align} \right..$ B. $x-2y+z=0.$ C. $\frac{x}{-2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-3}{1}.$ D. $\frac{x-1}{-2}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{1}.$ |
Lời giải chi tiết:
Gọi d là đường thẳng cần ta có: $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\overrightarrow{BC}=(-2;1;1)$
Phương trình chính tắc của đường thẳng cần tìm là $\frac{x}{-2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-3}{1}.$. Chọn C.
| Bài tập 20: Cho hai điểm $A\,(1;-2;-3),\,\,B\,(-1;4;1)$ và đường thẳng $d:\frac{x+2}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+3}{2}$. Phương trình của đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB và song song d ?
A. $\frac{x}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{2}.$ B. $\frac{x}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+2}{2}.$ C. $\frac{x}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+1}{2}.$ D. $\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+1}{2}.$ |
Lời giải chi tiết:
Trung điểm của AB là $I\,(0;1;-1)$. Phương trình của đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB và song song với d là: $\frac{x}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+1}{2}$. Chọn C.
| Bài tập 21: Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng đi qua điểm $A\,(2;3;0)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P):x+3y-z+5=0$?
A. $\left\{ \begin{align} & x=1+3t \\ & y=3t \\ & z=1-t \\ \end{align} \right..$ B. $\left\{ \begin{align} & x=1+t \\ & y=3t \\ & z=1-t \\ \end{align} \right..$ C. $\left\{ \begin{align} & x=1+t \\ & y=1+3t \\ & z=1-t \\ \end{align} \right..$ D. $\left\{ \begin{align} & x=1+3t \\ & y=3t \\ & z=1+t \\ \end{align} \right..$ |
Lời giải chi tiết:
Do $d\bot (P)$nên ta có: $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=(1;3;-1)$ (loại A và D) suy ra phương trình đường thẳng cần tìm là:
$(d):\left\{ \begin{align} & x=2+t \\ & y=3+3t \\ & z=-t \\ \end{align} \right.$. Với $t=-1\Rightarrow (d)$ đi qua điểm (1;0;1) $\Rightarrow (d):\left\{ \begin{align} & x=1+u \\ & y=3u \\ & z=1-u \\ \end{align} \right.$. Chọn B.
| Ví dụ 22: Viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:
a) Có tâm $I\,(-1;2;3)$ và bán kính R = 4. b) Có tâm $I\,(2;0;-1)$và di qua điểm $A\,(3;-1;0)$. c) Có đường kính là AB trong đó $A\,(2;-1;0)$ và $B\,(0;3;4)$. |
Lời giải:
- a) Phương trình mặt cầu (S) là: ${{(x+1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=16$.
- b) Bán kính mặt cầu (S) là: $R=IA=\sqrt{{{1}^{2}}+{{(-1)}^{2}}+{{(1)}^{2}}}=\sqrt{3}.$
Phương trình mặt cầu (S) là: ${{(x-2)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{(z+1)}^{2}}=3.$.
- c) Tâm I của mặt cầu là trung điềm của AB suy ra $I\left( 1;1;2 \right).$
Bán kính mặt cầu là: $R=IA=\sqrt{6}\Rightarrow $$(S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=6.$
| Ví dụ 23: Trong các phương trình dưới đây, phương trình nào là phương trình của một mặt cầu? Nếu là phương trình của mặt cầu, hãy tìm tâm và bán kính của mặt cầu đó.
a) ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-4y-6z+3=0.$ b) $2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+2{{z}^{2}}+4x+10y+6z+1=0.$ c) ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+1=0.$ d) ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-3x+4y-8z+25=0.$ |
Lời giải:
- a) Ta có: ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d={{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}-3=11>0$
Do đó phương trình là phương trình mặt cầu có tâm $I\,(1;2;3)$ bán kính $R=\sqrt{11}.$
- b) Ta có : $2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+2{{z}^{2}}+4x+10y+2=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x+5y+1=0$
$\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d={{(-1)}^{2}}+{{\left( -\frac{5}{2} \right)}^{2}}-1=\frac{25}{4}$
Do đó phương trình là phương trình mặt cầu có tâm $I\,(-1;\frac{-5}{2};0)$bán kính $R=\frac{5}{2}.$
- c) Ta có : ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d=0\Rightarrow $phương trình biểu diễn một điểm $I\,(1;0;0).$
- d) Ta có : ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d={{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2}}+{{(-2)}^{2}}+{{\left( 4 \right)}^{2}}-25=\frac{-11}{4}<0$$\Rightarrow $phương trình không phải phương trình mặt cầu.
| Ví dụ 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu có tâm $I(1;-4;3)$ và đi qua điểm $A(5;-3;2)$.
A. ${{(x-1)}^{2}}+{{(y-4)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=16.$ B. ${{(x-1)}^{2}}+{{(y-4)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=18.$ C.${{(x-1)}^{2}}+{{(y+4)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=18.$ D. ${{(x-1)}^{2}}+{{(y+4)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=16.$ |
Lời giải:
Bán kính mặt cầu $R=IA=\sqrt{18}$.
Phương trình mặt cầu cần tìm là ${{(x-1)}^{2}}+{{(y+4)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}={{R}^{2}}=18$. Chọn C.
| Ví dụ 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tất cả cá giá trị của tham số m để phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4x+2my+6z+13=0$là phương trình của mặt cầu.
A. m ≠ 0. B. m < 0. C. m > 0. D. $m\in \mathbb{R}$. |
Lời giải:
Phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4x+2my+6z+13=0$là phương trình mặt cầu
${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d={{2}^{2}}+{{(-m)}^{2}}+{{3}^{2}}-13>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}>0\Leftrightarrow m\ne 0$. Chọn A.
| Ví dụ 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) có tâm $I\,(1;0;-3)$ và đi qua điểm $M\,(2;2;-1)$.
A. $(S):{{(x-1)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{(z+3)}^{2}}=9.$ B. $(S):{{(x-1)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{(z+3)}^{2}}=3.$ C. $(S):{{(x+1)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=9.$ D. $(S):{{(x+1)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=3.$ |
Lời giải:
Ta có: $R=IM=\sqrt{{{(2-1)}^{2}}+{{(2-0)}^{2}}+{{(-1+3)}^{2}}}=3.$
Suy ra phương trình mặt cầu là:$(S):{{(x-1)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{(z+3)}^{2}}=9.$ Chọn A.
| Ví dụ 27: Xác định tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu có phương trình
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4x-2y-6z+10=0$. A. $I\,(-2;1;3),\,\,R=4.$ B. $I\,(2;-1;-3),\,\,R=4.$ C. $I\,(2;-1;-3),\,\,R=2.$ D. $I\,(-2;1;3),\,\,R=2.$ |
Lời giải:
Ta có: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4x-2y-6z+10=0\Leftrightarrow {{(x+2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=4\Rightarrow $mặt cầu có tâm $I\,(-2;1;3),\,\,R=2$. Chọn D.
| Ví dụ 28: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, cho hai điểm $M\,(3;-2;5),\,\,N\,(-1;6;-3)$. Phương trình nào sau đây là phương trình của mặt cầu có đường kính là MN ?
A. $(S):{{(x+1)}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}+{{(z+1)}^{2}}=36.$ B. $(S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}=6.$ C. $(S):{{(x+1)}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}+{{(z+1)}^{2}}=6.$ D. $(S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}=36.$ |
Lời giải:
Gọi I là tâm của mặt cầu (S) $\Rightarrow $ I là trung điểm của MN $\Rightarrow I\,(1;2;1)$ và IM = 6.
Phương trình mặt cầu đường kính MN là ${{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}=36$. Chọn D.
| Ví dụ 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình chính tắc của mặt cầu có đường kính AB với $A\,\left( 2;1;0 \right),\,\,B\,\left( 0;1;2 \right)$.
A. $(S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}=4.$ B. $(S):{{(x+1)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{(z+1)}^{2}}=2.$ C. $(S):{{(x+1)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{(z+1)}^{2}}=4.$ D. $(S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}=2.$ |
Lời giải:
Mặt cầu (S) có tâm I là trung điểm của AB và bán kính $R=\frac{1}{2}AB.$
Ta có $I\,\left( \frac{2+0}{2};\frac{1+1}{2};\frac{0+2}{2} \right)\Rightarrow I\,(1;1;1)$và $\overrightarrow{AB}=(-2;0;2)\Rightarrow AB=2\sqrt{2}\Rightarrow R=\sqrt{2}.$
$\Rightarrow (S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}=2$. Chọn D
