Bài tập số phức – Dạng quy về giải hệ phương trình nghiệm thực có đáp án chi tiết

Bài tập số phức – Dạng quy về giải hệ phương trình nghiệm thực có đáp án

Phương pháp giải hệ phương trình nghiệm thực

Phương pháp: Đặt $z=a+bi\left( a;b\in \mathbb{R} \right)$ từ đó suy ra $\overline{z}=a=bi;\text{ }\left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$.

Sử dụng tính chất 2 số phức bằng nhau: ${{z}_{1}}={{a}_{1}}+{{b}_{1}}i;\text{ }{{z}_{2}}={{a}_{2}}+{{b}_{2}}i$ ta có: ${{z}_{1}}={{z}_{2}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{a}_{1}}={{a}_{2}} \\  {} {{b}_{1}}={{b}_{2}} \\ \end{array} \right.$.

Bài tập trắc nghiệm số phức có Lời giải chi tiết

Bài tập 1: Tìm 2 số thực x và y thỏa mãn $\left( 2x-3yi \right)+\left( 1-3i \right)=x+6i$ với i là đơn vị ảo A. $x=-1;y=-3$. B. $x=-1;y=-1$. C. $x=1;y=-1$. D. $x=1;y=-3$.

Lời giải chi tiết

Ta có: $\left( 2x-3yi \right)+\left( 1-3i \right)=x+6i\Leftrightarrow \left( 2x+1 \right)+\left( -3y-3 \right)i=x+6i\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} 2x+1=x \\  {} -3y-3=6 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} x=-1 \\  {} y=-3 \\ \end{array} \right.$. Chọn A.

Bài tập 2: Tìm mô-đun của số phức z biết rằng $\left( 1+2i \right)z+\left( 1-i \right)\overline{z}=21+3i$. A. $\left| z \right|=\sqrt{34}$. B. $\left| z \right|=5$. C. $\left| z \right|=3\sqrt{2}$.              D. $\left| z \right|=\sqrt{29}$.

Lời giải chi tiết

Đặt $z=a+bi;\text{ }a,b\in \mathbb{R}$.

Ta có: $\left( 1+2i \right)\left( a+bi \right)+\left( 1-i \right)\left( a-bi \right)=21+3i$

$\Leftrightarrow a-2b+\left( 2a+b \right)i+a-b-ai-bi=21+3i$

$\Leftrightarrow \left( 2a-3b \right)+ai=21+3i\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} 2a-3b=21 \\  {} a=3 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} a=3 \\  {} b=-5 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left| z \right|=\sqrt{34}$. Chọn A.

Bài tập 3: Tìm tổng phần thực và phần ảo của số phức z biết rằng $\left( 1+2i \right)z+\left( 2-2i \right)\overline{z}=i$. A. $T=-7$. B. $T=\frac{1}{3}$. C. $T=\frac{-7}{3}$. D. $T=\frac{-1}{3}$.

Lời giải chi tiết

Đặt $z=a+bi;\text{ }a,b\in \mathbb{R}$.

Ta có: $\left( 1+2i \right)\left( a+bi \right)+\left( 2-2i \right)\left( a-bi \right)=i$

$\Leftrightarrow a-2b+\left( 2a+b \right)i+2a-2b-2ai-2bi=i$

$\Leftrightarrow 3a-4b-bi=i\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} 3a-4b=0 \\  {} -b=1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} a=\frac{-4}{3} \\  {} b=-1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow S=\frac{-7}{3}$. Chọn C.

Bài tập 4: Cho số phức $z=a+bi\text{ }\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$ thỏa mãn: $\left( 2-3i \right)z+\left( 4+i \right)\overline{z}=-{{\left( 1+3i \right)}^{2}}$. Tính $T=2a+b$ A. $T=-8$. B. $T=8$. C. $T=-1$. D. $T=1$.

Lời giải chi tiết

Ta có: $\left( 2-3i \right)\left( a+bi \right)+\left( 4+i \right)\left( a-bi \right)=8-6i$

$\Leftrightarrow 6a+4b-\left( 2a+2b \right)i=8-6i\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} 6a+4b=8 \\  {} 2a+2b=6 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} a=-2 \\  {} b=5 \\ \end{array} \right.\Rightarrow T=2a+b=1$. Chọn D.

Bài tập 5: Cho số phức $z=a+bi\text{ }\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$ thỏa mãn $\left( 1+i \right)\left( 2z-1 \right)+\left( \overline{z}+1 \right)\left( 1-i \right)=2-2i$. Tính $P=a+b$. A. $P=0$. B. $P=1$. C. $P=-1$. D. $P=-\frac{1}{3}$.

Lời giải chi tiết

Đặt $z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow \overline{z}=a-bi$. Ta có $\left( 1+i \right)\left( 2z-1 \right)+\left( \overline{z}+1 \right)\left( 1-i \right)=2\left( 1+i \right)z+\left( 1-i \right)\overline{z}-2i$.

Suy ra $2\left( 1+i \right)z+\left( 1-i \right)\overline{z}=2\Leftrightarrow 2\left( 1+i \right)\left( a+bi \right)+\left( 1-i \right)\left( a-bi \right)=2$.

$\Leftrightarrow 2a-2b+a-b+\left( a+b \right)i=2\Leftrightarrow 3a-3b-2+\left( a+b \right)i=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} 3a-3b-2=0 \\  {} a+b=0 \\ \end{array} \right.\Rightarrow P=0$. Chọn A.

Bài tập 6: Cho số phức z thỏa mãn hệ thức $\left( i+3 \right)z+\frac{2+i}{i}=\left( 2-i \right)\overline{z}$. Mô đun của số phức $w=z-i$ là A. $\frac{\sqrt{26}}{25}$. B. $\frac{\sqrt{6}}{5}$. C. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$.              D. $\frac{\sqrt{26}}{5}$.

Lời giải chi tiết

Đặt $z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow \left( i+3 \right)\left( a+bi \right)+\frac{2+i}{i}=\left( 2-i \right)\left( a-bi \right)\Leftrightarrow \left( -2a-5b+2 \right)+\left( a+1 \right)i=0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} -2a-5b+2=0 \\  {} a+1=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} a=-1 \\  {} b=\frac{4}{5} \\ \end{array} \right.\Rightarrow z=-1+\frac{4}{5}i\Rightarrow w=-1-\frac{1}{5}i\Rightarrow \left| w \right|=\frac{\sqrt{26}}{5}$. Chọn D.

Bài tập 7: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời $\left| z-\left( 2+i \right) \right|=\sqrt{10}$ và $z.\overline{z}=25$ A. 2. B. 3. C. 1. D. 4.

Lời giải chi tiết

Đặt $z=a+bi\text{ }\left( a,b\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow \overline{z}=a-bi\Rightarrow z.\overline{z}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}=25$

Ta có: $\left| a+bi-2-i \right|=\sqrt{10}\Leftrightarrow {{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}=10\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-4a-2b=5$

Giải hệ $\left\{ \begin{array}  {} {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=25 \\  {} {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-4a-2b=5 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} a=5;b=0 \\  {} a=3;b=4 \\ \end{array} \right.\Rightarrow $ có 2 số phức thỏa mãn. Chọn A.

Bài tập 8: [Đề THPT Quốc gia 2017] Cho số phức z thỏa mãn $\left| z \right|=5$ và $\left| z+3 \right|=\left| z+3-10i \right|$. Tìm số phức $w=z-4+3i$. A. $w=-3+8i$. B. $w=1+3i$. C. $w=-1+7i$. D. $w=-4+8i$.

Lời giải chi tiết

Đặt $z=a+bi;\text{ }a,b\in \mathbb{R}$.

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} \left| a+bi \right|=5 \\  {} \left| a+bi+3 \right|=\left| a+3+\left( b-10 \right)i \right| \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=25 \\  {} {{\left( a+3 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}={{\left( a+3 \right)}^{2}}+{{\left( b-10 \right)}^{2}} \\ \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=25 \\  {} b=5 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} a=0 \\  {} b=5 \\ \end{array} \right.\Rightarrow z=5i\Rightarrow w=5i-4+3i=-4+8i$. Chọn D.

Bài tập 9: [Đề THPT Quốc gia 2017] Cho số phức $z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$ thỏa mãn $z+1+3i-\left| z \right|i=0$. Tính $S=a+3b$. A. $S=-\frac{7}{3}$. B. $S=-5$. C. $S=\frac{7}{3}$. D. $S=5$.

Lời giải chi tiết

Đặt $z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$ ta có: $a+1+bi+3i-\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}i=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} a=-1 \\  {} b+3=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \\ \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} a=-1 \\  {} b+3=\sqrt{{{b}^{2}}+1} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} a=-1 \\  {} b=-\frac{4}{3} \\ \end{array} \right.\Rightarrow S=-5$. Chọn B.

Bài tập 10: [Đề THPT Quốc gia 2017] Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn $\left| z+2-i \right|=2\sqrt{2}$ và ${{\left( z-1 \right)}^{2}}$ là số thuần ảo? A. 0. B. 2. C. 4. D. 3.

Lời giải chi tiết

Đặt $z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$ ta có: $\left| a+bi+2-i \right|=2\sqrt{2}\Leftrightarrow {{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}=8$.

Mặt khác ${{\left( z-1 \right)}^{2}}={{\left( a+bi-1 \right)}^{2}}={{\left( a-1 \right)}^{2}}-{{b}^{2}}+2\left( a-1 \right)bi$ là số thuần ảo suy ra ${{\left( a-1 \right)}^{2}}-{{b}^{2}}=0$

Do đó $\left\{ \begin{array}  {} {{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}=8 \\  {} {{\left( a-1 \right)}^{2}}={{b}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} a-1=b \\  {} a-1=-b \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} a=0;\text{ }b=-1 \\  {} a=-1-\sqrt{3};\text{ }b=2+\sqrt{3} \\  {} a=-1+\sqrt{3};\text{ }b=2-\sqrt{3} \\ \end{array} \right.$

Suy ra có 3 số phức thỏa mãn. Chọn D.

Bài tập 11: [Đề THPT Quốc gia 2017] Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn $\left| z-3i \right|=5$ và $\frac{z}{z-4}$ là số thuần ảo? A. Vô số. B. 0. C. 1. D. 2.

Lời giải chi tiết

Đặt $z=a+bi\left( z\ne 4 \right)$ ta có: $\frac{z}{z-4}=\frac{a+bi}{a+bi-4}=\frac{\left( a+bi \right)\left( a-4-bi \right)}{\sqrt{{{\left( a-4 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}}$ là số thuần ảo khi $a\left( a-4 \right)+{{b}^{2}}=0\text{ }\left( 1 \right)$. Mặt khác $\left| z-3i \right|=5\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{\left( b-3 \right)}^{2}}=25\text{ }\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra $\left\{ \begin{array}  {} {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-4a=0 \\  {} {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-6b=16 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} 2a-3b=8 \\  {} {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4a \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} a=4;\text{ }b=0\left( loai \right) \\  {} a=\frac{16}{13};\text{ }b=\frac{-24}{3}\left( t/m \right) \\ \end{array} \right.$. Chọn C.

Bài tập 12: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn $\left| z-1 \right|=5$ và số phức $w={{z}^{2}}$ là số ảo? A. Vô số. B. 4. C. 5. D. 3.

Lời giải chi tiết

Đặt $z=a+bi$ ta có: $w={{\left( a+bi \right)}^{2}}={{a}^{2}}-{{b}^{2}}+2abi$ là số thuần ảo nên ${{a}^{2}}={{b}^{2}}$

Mặt khác $\left| a-1+bi \right|=5\Leftrightarrow {{a}^{2}}-2a+{{b}^{2}}=24\Rightarrow 2{{a}^{2}}-2a-24=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} a=4\Rightarrow b=\pm 4 \\  {} a=-3\Rightarrow b=\pm 3 \\ \end{array} \right.$

Vậy $z=4\pm 4i;z=-3\pm 3i$ là các số phức cần tìm. Chọn B.

Bài tập 13: Hỏi có bao nhiêu số phức z thỏa mãn $\left| z \right|=2\sqrt{2}$ và ${{z}^{2}}$ là số thuần ảo? A. 4. B. 1. C. 3. D. 2.

Lời giải chi tiết

Đặt $z=a+bi;\text{ }a,b\in \mathbb{R}\Rightarrow \left| a+bi \right|=2\sqrt{2}\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=8\text{ }\left( 1 \right)$.

Mặt khác ${{z}^{2}}={{\left( a+bi \right)}^{2}}={{a}^{2}}-{{b}^{2}}+2ab.i$ là số thuần ảo, suy ra ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}=0\text{ }\left( 2 \right)$.

Từ (1) và (2), suy ra $\left\{ \begin{array}  {} {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=8 \\  {} {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=0 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left| a \right|=\left| b \right|=2\Rightarrow $Có 4 số phức z thỏa mãn đề bài. Chọn A.

Bài tập 14: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời điều kiện $\left| z.\overline{z}+z \right|=2,\text{ }\left| z \right|=2$. A. 2. B. 3. C. 1. D. 4.

Lời giải chi tiết

Đặt $z=a+bi;a,b\in \mathbb{R}\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} \left| \left( a+bi \right)\left( a-bi \right)+a+bi \right|=2 \\  {} \left| a+bi \right|=2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \left| {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+a+bi \right|=2 \\  {} \left| a+bi \right|=2 \\ \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+a \right)}^{2}}+{{b}^{2}}=4 \\  {} {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{\left( a+4 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}=4 \\  {} {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{\left( a+4 \right)}^{2}}={{a}^{2}} \\  {} {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} a=-2 \\  {} {{b}^{2}}=0 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} a=-2 \\  {} b=0 \\ \end{array} \right.\Rightarrow z=-2$. 

Chọn C.

Bài tập 15: Cho số phức $z=a+bi\text{ }\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$ thỏa mãn $\frac{{{\left| z \right|}^{2}}}{z}=\frac{2\left( z+i \right)}{i-1}-2iz$. Tính $S=ab$. A. $S=\frac{1}{9}$. B. $S=\frac{1}{27}$. C. $S=\frac{5}{9}$. D. $S=\frac{5}{27}$.

Lời giải chi tiết

Đặt $z=a+bi\text{ }\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$, ta có $\frac{{{\left| z \right|}^{2}}}{z}=\overline{z}=a-bi$ và $\frac{2}{i-1}=-1-i$, khi đó giả thiết trở thành 

$\overline{z}+\left( 1+i \right)\left( z+i \right)+2iz=0\Leftrightarrow \overline{z}+\left( 3i+1 \right)z=1-i\Leftrightarrow a-bi+\left( 3i+1 \right)\left( a+bi \right)=1-i$

$\Leftrightarrow 2a-3b+3ai=1-i\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} 2a-3b=1 \\  {} 3a=-1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow a=-\frac{1}{3}\Rightarrow b=-\frac{5}{9}\Rightarrow S=\frac{5}{27}$. Chọn D.

Bài tập 16: [Đề Chuyên Đại học Vinh 2017]: Cho số phức z; w khác 0 sao cho $\left| z-w \right|=2\left| z \right|=\left| w \right|$. Phần thực của số phức $u=\frac{z}{w}$. A. $a=-\frac{1}{8}$. B. $a=\frac{1}{4}$. C. $a=1$. D. $a=\frac{1}{8}$.

Lời giải chi tiết

Giả sử $u=a+bi\left( a;b\in \mathbb{R} \right)$. Theo giả thiết suy ra $\left\{ \begin{array}  {} \left| u \right|=\left| \frac{z}{w} \right|=\frac{\left| z \right|}{\left| w \right|}=\frac{1}{2} \\  {} \frac{\left| z-w \right|}{\left| w \right|}=\left| \frac{z-w}{w} \right|=\left| \frac{z}{w}-1 \right|=\left| u-1 \right| \\ \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=\frac{1}{4} \\  {} {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}=1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}-{{a}^{2}}=\frac{3}{4}\Rightarrow -2a+1=\frac{3}{4}\Leftrightarrow a=\frac{1}{8}$. Chọn D.