Bài tập tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác có đáp án chi tiết cực hay.
Dưới đây là bài tập trắc nghiệm tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác có Lời giải chi tiết
|
Bài tập 1: Tính các nguyên hàm sau: a) $I=\int{{{\sin }^{3}}x.{{\cos }^{2}}xdx}$ b) $I=\int{{{\sin }^{3}}x.{{\cos }^{5}}xdx}$ c) $I=\int{{{\sin }^{2}}x.{{\cos }^{2}}xdx}$ d) $I=\int{{{\sin }^{4}}xdx}$ |
Lời giải chi tiết
a) $I=\int{{{\sin }^{3}}x.{{\cos }^{2}}xdx=-\int{{{\sin }^{2}}x.{{\cos }^{2}}xd\left( \cos x \right)=-\int{\left( 1-{{\cos }^{2}}x \right){{\cos }^{2}}xd\left( \cos x \right)}}}$
$\xrightarrow{t=\cos x}I=\int{\left( {{t}^{2}}-1 \right){{t}^{2}}dt=\int{\left( {{t}^{4}}-{{t}^{2}} \right)dt=\frac{{{t}^{5}}}{5}-\frac{{{t}^{3}}}{3}+C=\frac{{{\cos }^{5}}x}{5}-\frac{{{\cos }^{3}}x}{3}+C}}$
b) $I=\int{{{\sin }^{3}}x.{{\cos }^{5}}xdx=-\int{{{\sin }^{2}}x.{{\cos }^{5}}xd\left( \cos x \right)=-\int{\left( 1-{{\cos }^{2}}x \right){{\cos }^{5}}xd\left( \cos x \right)}}}$
$\xrightarrow{t=\cos x}I=\int{\left( {{t}^{2}}-1 \right){{t}^{5}}dt=\int{\left( {{t}^{7}}-{{t}^{5}} \right)dt=\frac{{{t}^{8}}}{8}-\frac{{{t}^{6}}}{6}+C=\frac{{{\cos }^{8}}x}{8}-\frac{{{\cos }^{6}}x}{6}+C}}$
c) $I=\int{{{\sin }^{2}}x.{{\cos }^{2}}xdx=\int{{{\left( \operatorname{sinx}.cosx \right)}^{2}}dx=\frac{1}{4}\int{{{\left( \sin 2x \right)}^{2}}dx}}}$
$=\frac{1}{8}\int{\left( 1-\cos 4x \right)dx=\frac{x}{8}-\frac{\sin 4x}{32}+C}$
d) $I=\int{{{\sin }^{4}}xdx=\int{{{\left( {{\sin }^{2}}x \right)}^{2}}dx=\int{{{\left( \frac{1-\cos 2x}{2} \right)}^{2}}dx}}}$
$\begin{array} {} =\frac{1}{4}\int{\left( 1-2\cos 2x+{{\cos }^{2}}2x \right)dx=\frac{1}{4}\int{\left( 1-2\cos 2x+\frac{1+\cos 4x}{2} \right)}dx} \\ {} =\frac{1}{8}\int{\left( 3-4\cos 2x+\cos 4x \right)dx=\frac{3x}{8}-\frac{\sin 2x}{4}+\frac{\sin 4x}{32}+C} \\ \end{array}$
|
Bài tập 2: Tính các nguyên hàm sau: a) $I=\int{\frac{{{\cos }^{3}}x}{1+\sin x}dx}$ b) $I=\int{\frac{\left( 2+\cos x \right)dx}{\operatorname{sinx}}}$ c) $I=\int{\frac{dx}{\sin x.{{\cos }^{2}}x}}$ d) $I=\int{\frac{dx}{{{\sin }^{4}}x.{{\cos }^{2}}x}}$ |
Lời giải chi tiết
a) $I=\int{\frac{{{\cos }^{3}}x}{1+\sin x}dx}=\int{\frac{{{\cos }^{2}}xd\left( \sin x \right)}{1+\sin x}=\int{\frac{\left( 1-{{\sin }^{2}}x \right)d\left( \sin x \right)}{1+\sin x}=\int{\left( 1-\sin x \right)d\left( \sin x \right)=\sin x-\frac{{{\sin }^{2}}x}{2}+C}}}$
b) $\begin{array} {} I=\int{\frac{\left( 2+\cos x \right)dx}{\sin x}=\int{\frac{2dx}{\sin x}+\int{\frac{\cos xdx}{\sin x}=\int{\frac{2\sin xdx}{{{\sin }^{2}}x}+\int{\frac{d\left( \sin x \right)}{\sin x}=-\int{\frac{2d\left( \cos x \right)}{1-{{\cos }^{2}}x}+\ln \left| \sin x \right|}}}}}} \\ {} =\ln \left| \sin x.\frac{\cos x-1}{\cos x+1} \right|+C \\ \end{array}$
c) $\begin{array} {} I=\int{\frac{dx}{\sin x.{{\cos }^{2}}x}=\int{\frac{\sin xdx}{{{\sin }^{2}}x.{{\cos }^{2}}x}=-\int{\frac{d\left( \cos x \right)}{\left( 1-{{\cos }^{2}}x \right){{\cos }^{2}}x}\xrightarrow{t=\cos x}I=\int{\frac{dt}{{{t}^{2}}\left( {{t}^{2}}-1 \right)}}}}} \\ {} =\int{\left( \frac{1}{{{t}^{2}}-1}-\frac{1}{{{t}^{2}}} \right)dt=\frac{1}{2}\ln \left| \frac{t-1}{t+1} \right|+\frac{1}{t}+C=\frac{1}{2}\ln \left| \frac{\cos x-1}{\cos x+1} \right|+\frac{1}{\cos x}+C} \\ \end{array}$
d)$I=\int{\frac{dx}{{{\sin }^{4}}x.{{\cos }^{2}}x}=\int{\frac{{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x}{{{\sin }^{4}}x{{\cos }^{2}}x}dx=\int{\frac{dx}{{{\sin }^{2}}x.{{\cos }^{2}}x}+\int{\frac{dx}{{{\sin }^{4}}x}}}}}$
$\begin{array} {} =\int{\frac{{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x}{{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x}dx+\int{\frac{{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x}{{{\sin }^{4}}x}dx}} \\ {} =\int{\left( \frac{1}{{{\cos }^{2}}x}+\frac{1}{{{\sin }^{2}}x} \right)dx+\int{\left( \frac{1}{{{\sin }^{2}}x}+\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}.{{\cot }^{2}}x \right)dx}} \\ {} =\tan x-2\cot x-\int{{{\cot }^{2}}xd\left( \cot x \right)=\tan x-2\cot x-\frac{{{\cot }^{3}}x}{3}+C} \\ \end{array}$
|
Bài tập 3: Tính các nguyên hàm sau: a) $I=\int{{{\tan }^{4}}x}dx$ b) $I=\int{\frac{{{\tan }^{4}}x}{\cos 2x}dx}$ c) $I=\int{\sin 2x\cos 3xdx}$ d) $I=\int{{{\sin }^{2}}x\cos 3xdx}$ |
Lời giải chi tiết
a)$I=\int{{{\tan }^{4}}xdx=\int{{{\tan }^{2}}x{{\tan }^{2}}xdx=\int{{{\tan }^{2}}x\left( \frac{1}{{{\cos }^{2}}x}-1 \right)dx}}}$
$=\int{\frac{{{\tan }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}dx}-\int{{{\tan }^{2}}xdx}=\int{{{\tan }^{2}}xd\left( \tan x \right)-\int{\left( \frac{1}{{{\cos }^{2}}x}-1 \right)dx}=\frac{{{\tan }^{3}}x}{4}-\tan x+x+C}$
b)$I=\int{\frac{{{\tan }^{4}}x}{\cos 2x}dx=\int{\frac{{{\tan }^{4}}xdx}{{{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x}=\int{\frac{\frac{{{\tan }^{4}}x}{{{\cos }^{2}}x}}{1-{{\tan }^{2}}x}dx\xrightarrow{t=\tan x}I=\int{\frac{{{t}^{4}}dt}{1-{{t}^{2}}}}}}}$
$\begin{array} {} =\int{\frac{{{t}^{4}}-1+1}{1-{{t}^{2}}}dt=-\int{\left( {{t}^{2}}+1+\frac{1}{{{t}^{2}}-1} \right)dt=-\frac{{{t}^{3}}}{3}-t-\frac{1}{2}\ln \left| \frac{t-1}{t+1} \right|+C}} \\ {} \Rightarrow I=-\frac{{{\tan }^{3}}t}{3}-\tan t-\frac{1}{2}\ln \left| \frac{\tan t-1}{\tan t+1} \right|+C \\ \end{array}$
c) $I=\int{\sin 2x\cos 3xdx=\frac{1}{2}\int{\left( \sin 5x-\sin x \right)dx=-\frac{\cos 5x}{10}+\frac{\operatorname{cosx}}{2}+C}}$
d) $I=\int{\frac{1-\cos 2x}{2}\cos 3xdx}=\frac{1}{2}\int{\left( \cos 3x-\cos 2x\cos 3x \right)dx}$
$=\frac{1}{2}\frac{\sin 3x}{3}-\frac{1}{2}\int{\cos 2x\cos 3xdx=\frac{\sin 3x}{6}-\frac{1}{4}\int{\left( \cos 5x+\cos x \right)dx=\frac{\sin 3x}{6}-\frac{\sin 5x}{20}-\frac{\operatorname{sinx}}{4}+C}}$
|
Bài tập 4: Xét các mệnh đề sau: (1). $\int{\frac{dx}{\sin x}=\ln \left| \frac{\cos x-1}{\cos x+1} \right|+C}$ (2) $\int{{{\sin }^{6}}x\cos xdx=\frac{{{\sin }^{7}}x}{7}+C}$ (3) $\int{\frac{{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{4}}x}dx=\frac{{{\tan }^{3}}x}{3}+C}$ (4) $\int{{{\cos }^{3}}xdx=-\sin x+\frac{{{\sin }^{3}}x}{3}+C}$ Số mệnh đề đúng là: A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 |
Lời giải chi tiết
Ta có: $\int{\frac{dx}{\operatorname{sinx}}=\int{\frac{\sin xdx}{{{\sin }^{2}}x}=\int{\frac{d\left( \cos x \right)}{{{\cos }^{2}}x-1}=\frac{1}{2}\ln \left| \frac{\operatorname{cosx}-1}{\cos x+1} \right|+C}}}$
$\begin{array} {} \int{{{\sin }^{6}}x\cos xdx=\int{{{\sin }^{6}}xd\left( \sin x \right)=\frac{{{\sin }^{7}}x}{7}+C}} \\ {} \int{\frac{{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{4}}x}dx}=\int{{{\tan }^{2}}x}.\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}dx=\int{{{\tan }^{2}}xd\left( \tan x \right)=\frac{{{\tan }^{3}}x}{3}+C} \\ {} \int{{{\cos }^{3}}xdx=\int{{{\cos }^{2}}xd\left( \sin x \right)}=\int{\left( 1-{{\sin }^{2}}x \right)d\left( \sin x \right)=\operatorname{sinx}-\frac{{{\sin }^{3}}x}{3}+C}} \\ \end{array}$
Vậy có 2 mệnh đề đúng. Chọn B
|
Bài tập 5: Cho hàm số f(x) thỏa mãn $f’\left( x \right)=x+\sin x\sin 2x.$ Biết rằng f(0) = 2. Giá trị của $f\left( \frac{\pi }{2} \right)$ là: A. $f\left( \frac{\pi }{2} \right)=\frac{{{\pi }^{2}}}{4}+\frac{2}{3}$ B. $f\left( \frac{\pi }{2} \right)=\frac{{{\pi }^{2}}}{4}+\frac{8}{3}$ C. $f\left( \frac{\pi }{2} \right)=\frac{{{\pi }^{2}}}{2}+\frac{2}{3}$ D. $f\left( \frac{\pi }{2} \right)=\frac{{{\pi }^{2}}}{2}+\frac{8}{3}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $f\left( x \right)=\int{f’\left( x \right)dx=\frac{{{x}^{2}}}{2}+\int{2{{\sin }^{2}}x\cos xdx}=\frac{{{x}^{2}}}{2}+2\int{{{\sin }^{2}}xd\left( \sin x \right)}=\frac{{{x}^{2}}}{2}+\frac{2{{\sin }^{3}}x}{3}+C}$
Lại có: $f\left( 0 \right)=C=2\Rightarrow f\left( \frac{\pi }{2} \right)=\frac{{{\pi }^{2}}}{4}+\frac{8}{3}$ . Chọn B
|
Bài tập 6: Cho hàm số f(x) thỏa mãn $f’\left( x \right)=\frac{{{\sin }^{3}}x}{{{\cos }^{5}}x}.$ Biết rằng $f\left( \frac{\pi }{4} \right)=2.$ Tính giá trị của $f\left( \frac{\pi }{3} \right)$ A. $f\left( \frac{\pi }{3} \right)=0$ B. $f\left( \frac{\pi }{3} \right)=16$ C. $f\left( \frac{\pi }{3} \right)=4$ D. $f\left( \frac{\pi }{3} \right)=2$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $f\left( x \right)=\int{f’\left( x \right)dx}=\int{\frac{{{\sin }^{3}}x}{{{\cos }^{3}}x}.\frac{dx}{{{\cos }^{2}}x}=\int{{{\tan }^{3}}xd\left( \tan x \right)=\frac{{{\tan }^{4}}x}{4}+C}}$
Lại có: $f\left( \frac{\pi }{4} \right)=2\Rightarrow \frac{1}{4}+C=2\Rightarrow C=\frac{7}{4}\Rightarrow f\left( \frac{\pi }{3} \right)=\frac{9}{4}+\frac{7}{4}=4$ . Chọn C
|
Bài tập 7: Tìm nguyên hàm $I=\int{\frac{\sin 2xdx}{{{\left( 2+\operatorname{s}\text{inx} \right)}^{2}}}}$ A. $I=2\ln \left( 2+\sin x \right)+\frac{4}{2+\sin x}+C$ B. $I=2\ln \left( 2+\sin x \right)+\frac{2}{2+\sin x}+C$ C. $I=\ln \left( 2+\sin x \right)+\frac{2}{2+\sin x}+C$ D. $I=-2\ln \left( 2+\sin x \right)-\frac{4}{2+\sin x}+C$ |
Lời giải chi tiết
Ta có:
$\begin{array} {} I=\int{\frac{\sin 2xdx}{{{\left( 2+\sin x \right)}^{2}}}=\int{\frac{2\sin x\cos xdx}{{{\left( 2+\sin x \right)}^{2}}}=\int{\frac{2\sin xd\left( \sin x \right)}{{{\left( 2+\sin x \right)}^{2}}}}}} \\ {} =\int{\frac{2\left( 2+\sin x \right)-4}{{{\left( 2+\sin x \right)}^{2}}}d\left( \sin x \right)=\int{\left[ \frac{2}{2+\sin x}-\frac{4}{{{\left( 2+\sin x \right)}^{2}}} \right]d\left( \sin x \right)}} \\ {} =2\ln \left( 2+\sin x \right)+\frac{4}{2+\sin x}+C \\ \end{array}$
(do 2 + sinx > 0). Chọn A
|
Bài tập 8: Biết rằng $I=\int{\frac{{{\operatorname{sinxcos}}^{2}}xdx}{1+\cos x}=a\cos x+b\cos 2x-\ln \left( 1+\cos x \right)+C(a;b\in \mathbb{R})}$ . Giá trị của a + b là A. $a+b=-\frac{3}{4}$ B. $a+b=\frac{5}{4}$ C. $a+b=\frac{3}{4}$ D. $a+b=-\frac{5}{4}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $I=-\int{\frac{{{\cos }^{2}}xd\left( \cos x \right)}{1+\cos x}\xrightarrow{t=\cos x}-\int{\frac{{{t}^{2}}dt}{1+t}=\int{\left( -t+1-\frac{1}{t+1} \right)dt}}}$
$\begin{array} {} =-\frac{{{t}^{2}}}{2}+t-\ln \left| 1+t \right|+C=-\frac{{{\cos }^{2}}x}{2}+\cos x-\ln \left( 1+\cos x \right)+C \\ {} =-\frac{1}{4}\cos 2x+\cos x-\ln \left( 1+\cos x \right)+C+\frac{1}{4} \\ \end{array}$
Do đó: $a=1,b=\frac{-1}{4}\Rightarrow a+b=\frac{3}{4}.$ Chọn C
|
Bài tập 9: Biết rằng F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\frac{1}{{{\left( 2\sin x+3\cos x \right)}^{2}}}$ và $F\left( 0 \right)=\frac{5}{6}.$ Khi đó: A. $F\left( x \right)=\frac{-1}{4\tan x+6}+1$ B. $F\left( x \right)=\frac{1}{4\tan x+6}+\frac{2}{3}$ C. $F\left( x \right)=\frac{-1}{2\tan x+3}+\frac{7}{6}$ D. $F\left( x \right)=\frac{1}{2\tan x+3}+\frac{1}{2}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có $f\left( x \right)=\int{\frac{dx}{{{\left( 2\sin x+3\cos x \right)}^{2}}}}=\int{\frac{dx}{{{\cos }^{2}}x{{\left( 2\tan \,x+3 \right)}^{2}}}=\int{\frac{d\left( \tan \,x \right)}{{{\left( 2\tan \,x+3 \right)}^{2}}}=-\frac{1}{2\left( 2\tan \,x+3 \right)}}}+C$
Do $F\left( 0 \right)=\frac{5}{6}\Rightarrow \frac{-1}{6}+C=\frac{5}{6}\Rightarrow C=1$ $\Rightarrow F\left( x \right)=\frac{-1}{4\tan x+6}+1$. Chọn A
|
Bài tập 10: Tính nguyên hàm $\int{\frac{\operatorname{tanx}}{\cos x\sqrt{1+{{\cos }^{2}}x}}dx}$ A. $I=\sqrt{{{\tan }^{2}}x+2}+C$ B. $I=\sqrt{{{\cos }^{2}}x+2}+C$ C. $I=\sqrt{{{\tan }^{2}}x+1}+C$ D. $I=\sqrt{{{\cos }^{2}}x+1}+C$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $I=\int{\frac{\tan xdx}{{{\cos }^{2}}x\sqrt{\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}+1}}=\int{\frac{\tan xdx}{{{\cos }^{2}}x\sqrt{{{\tan }^{2}}x+2}}\xrightarrow{t=\tan x}\int{\frac{tdt}{\sqrt{2+{{t}^{2}}}}}}}$
$=\frac{1}{2}\int{\frac{d\left( {{t}^{2}}+2 \right)}{\sqrt{{{t}^{2}}+2}}=\sqrt{{{t}^{2}}+2}+C=\sqrt{{{\tan }^{2}}x+2}+C.}$ Chọn A
