Hai đường thẳng song song trong không gian khi nào? Bài tập và cách chứng minh
1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng phân biệt
Định nghĩa:
– Hai đường thẳng gọi là đồng phẳng nếu chúng cùng nằm trong một mặt phẳng.
– Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng.
– Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung
Như vậy: Hai đường thẳng a và b song song với nhau
xác định một mặt phẳng ký hiệu là mp(a;b)
2. Hai đường thẳng song song
■ Tính chất 1: Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng cho trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.
■ Tính chất 2: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau:
■ Định lý: Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.
=> Hệ quả: Hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến (nếu có) của hai mặt phẳng nói trên sẽ song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó. d ${{d}_{1}}$${{d}_{2}}$
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau.
Bài tập trắc nghiệm chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian có đáp án chi tiết
| Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với đáy lớn AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB.
a) Chứng minh: MN//CD. b) Tìm giao điểm P của SC với (AND). Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I. Chứng minh SI//AB//CD. Tứ giác SIBA là hình gì? Vì sao? |
Lời giải chi tiết
a) Ta có MN là đường trung bình của tam giác SAB
nên MN//AB mặt khác AB//CD
=> MN//CD.
b) Gọi $O=AC\cap CD$ và $E=SO\cap ND$ khi đó SE cắt SC tại P.
Xét 3 mặt phẳng (SAB);(SCD) và (ABCD) có các giao tuyến chung là SI, AB và CD song song hoặc đồng quy.
Do AB//CD nên SI//AB//CD.
Ta có: $SI//AB\Rightarrow \frac{NS}{NB}=\frac{NI}{NA}=\frac{SI}{AB}=1.$
Khi đó: $\left\{ \begin{array} {} SI//AB \\ {} SI=AB \\ \end{array} \right.\Rightarrow SIBA$ là hình bình hành.
| Bài tập 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, AD, AC, BD.
a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành. b) Từ đó suy ra ba đoạn MN, PQ, RS cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn. |
Lời giải chi tiết
a) Vì MQ là đường trung bình của tam giác ABCD nên ta có $\left\{ \begin{array} {} MQ//BD \\ {} MQ=\frac{1}{2}BD \\ \end{array} \right.$.
Tương tự ta cũng có: $\left\{ \begin{array} {} NP//BD \\ {} NP=\frac{1}{2}BD \\ \end{array} \right.$
Do vậy MQNP là hình bình hành từ đó suy ra MN và PQ cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường.
b) Tương tự chứng minh trên ta cũng có tứ giác RNSM cũng là hình bình hành do có
$\left\{ \begin{array} {} RN//MS \\ {} RN=MS=\frac{1}{2}AD \\ \end{array} \right.$ suy ra RS và MN cũng cắt nhau tại trung điểm I của MN.
Vậy ba đoạn MN, PQ, RS cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đoạn.
| Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, gọi M, N, P, Q lần lượt nằm trên BC, SC, SD, AD sao cho MN//SB, NP//CD, MQ//CD.
a) Chứng minh rằng: PQ//SA. b) Gọi K là giao điểm của MN và PQ. Chứng minh rằng: SK//AD//BC. |
Lời giải chi tiết
a) Ta có: $MN//SB\Rightarrow \frac{CN}{SC}=\frac{CM}{CB}=\frac{DQ}{AD}\left( 1 \right).$
Lại có: $NP//CD\Rightarrow \frac{CN}{CS}=\frac{DP}{DS}\left( 2 \right).$
(Định lý Ta-let)
Từ (l) và (2) suy ra $\frac{DP}{DS}=\frac{DQ}{AD}\Rightarrow SA//PQ$.
b) Xét 3 mặt phẳng (SAD); (SBC) và (ABCD) cắt nhau theo các giao tuyến là SK,AD,BC.
Suy ra SK, AD, BC song song hoặc đồng quy.
Mặt khác $AD//BC\Rightarrow SK//AD//BC.$
| Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành.
a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (SAD) và (SBC); (SAB) và (SCD). b) Lấy M thuộc SC. Tìm giao điểm N của SD và (ABM). Tứ giác ABMN là hình gì? |
Lời giải chi tiết
a) Trong (SAD) dựng đường thẳng d di qua S và song song với AD.
Ta có: $d//AD,\text{ }AD//BC\Rightarrow d//BC.$
Suy ra d thuộc (SBC).
Nên d là giao tuyến của (SAD) và (SBC).
Tương tự, trong (SAB) dựng đường thẳng ${{d}_{1}}$ đi qua S, song song với AB thì ${{d}_{1}}$ là giao tuyến của (SAB) với (SCD).
b) Giả sử $SD\cap \left( ABM \right)=N$
$\Rightarrow \left( ABM \right)\cap \left( SCD \right)=MN.$
Xét ba mặt phẳng (ABM); (ABCD); (SCD) lần lượt cắt nhau theo 3 giao tuyến là AB, MN,CD nên chúng song song hoặc đồng quy.
Mà $AB//CD\Rightarrow AB//CD//MN\Rightarrow $ ABMN là hình thang.
| Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang (AB là đáy lớn). Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của AD, BC, SB.
a) Tìm giao tuyến (SAB) và (SCD); (SCD) và (IJK). b) Tìm giao điểm M của SD và (IJK). c) Tìm giao điểm N của SA và (IJK). d) Xác định thiết diện của hình chóp và (IJK). Thiết diện là hình gì? |
Lời giải chi tiết
a) Do $AB//CD\Rightarrow $ giao tuyến của (SAB) và (SCD) đi qua điểm S và song song với AB và CD.
Giả sử $\left( IJK \right)\cap \left( SAB \right)=KP$với $P\in SA$.
Ba mặt phẳng (ABC); (IJK) và (SAB) lần lượt cắt nhau theo 3 giao tuyến là IJ, AB và PK nên chúng song song hoặc đồng quy.
Mặt khác $AB//IJ\Rightarrow PK//AB//IJ.$
b) Do $PK//AB$ mà $KS=KB\Rightarrow P$ là trung điểm của SA. Khi đó PI là đường trung bình trong tam giác SAD
suy ra $PI//SD\Rightarrow SD$ không cắt (IJKP).
c) Chứng minh ở câu b, ta có N trùng với P tức là N là trung điểm SA.
d) Ta có thiết diện hình chóp với mặt phẳng (IJK) là tứ giác IPKJ.
Có $KP//IJ$ (chứng minh trên) suy ra thiết diện IPKJ là hình thang.
| Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC, SD.
a) Tìm giao tuyến của (SCD) và (MNP). b) Tìm giao điểm của CD và (MNP). c) Tìm giao điểm của AB và (MNP). d) Tìm giao tuyến của (SAC) và (MNP) suy ra thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP). |
Lời giải chi tiết
a) Do $MN//SC$ (tính chất đường trung bình) nên giao tuyến của (SCD) và (MNP) phải là $d//MN//SC.$
Do đó d qua P và song song với SC nên d là đường trung bình tam giác SCD. Gọi Q là trung điểm CD thì PQ là giao tuyến cần tìm.
b) Ta có $Q\in CD,Q\in \left( MNP \right).$
Suy ra Q là giao điểm của CD và (MNP).
c) Trong mp(ABCD), gọi K là giao điểm của NQ và AB.
Ta có $K\in AB,\text{ }K\in NQ\subset \left( MNPQ \right)\Rightarrow K\in \left( MNP \right).$
Vậy K là giao điểm của AB với (MNP).
d) Gọi I là giao điểm của AC và BD.
Trong mp(SCD) có MP là đường trung bình tam giác SBD.
Gọi $E=MP\cap SI\Rightarrow \left( SAC \right)\cap \left( MNP \right)=EF.$
Trong mp(SAC), gọi $R=EF\cap SA\Rightarrow $ thiết diện của mặt phẳng (MNP) với khối chóp là ngũ giác MNQPR.
| Bài tập 7: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB và CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC và G là trọng tâm tam giác SAB.
a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJG). b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJG). Thiết diện là hình gì? Tìm điều kiện đối với AB và CD để thiết diện là hình bình hành. |
Lời giải chi tiết
a) Giả sử $\left( SAB \right)\cap \left( IJG \right)=MN$ với $M\in SB$ và $N\in SA$. Ba mặt phẳng (SAB); (IJG) và (ABCD) cắt nhau theo ba giao tuyến là các đường thẳng MN, AB và IJ nên chúng song song hoặc đồng quy.
Mặt khác $AB//IJ\Rightarrow MN//AB//IJ.$
Do vậy $\left( SAB \right)\cap \left( IJG \right)=MN$ với MN là đường thẳng qua G và song song với AB.
b) Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJG) là tứ giác MNIJ.
Ta có: MNIJ là hình bình hành khi $MN=IJ.$
Lại có: $\frac{MN}{AB}=\frac{SN}{SA}=\frac{SG}{SK}=\frac{2}{3}\Rightarrow MN=\frac{2}{3}AB;\text{IJ}=\frac{AB+CD}{2}$
Do đó $MN=IJ\Leftrightarrow \frac{2AB}{3}=\frac{AB+CD}{2}\Leftrightarrow AB=3CD.$
Vậy $AB=3CD$ thì thiết diện là hình bình hành.
