Giải phương trình logarit bằng cách mũ hóa – bài tập trắc nghiệm có đáp án
Phương pháp mũ hóa logarit
Phương trình ${{\log }_{a}}\left[ f\left( x \right) \right]={{\log }_{b}}\left[ g\left( x \right) \right]$ (với $a>0;a\ne 1$)
Ta đặt ${{\log }_{a}}\left[ f\left( x \right) \right]={{\log }_{b}}\left[ g\left( x \right) \right]=t\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} f\left( x \right)={{a}^{t}} \\ {} g\left( x \right)={{b}^{t}} \\ \end{array} \right.\xrightarrow{{}}$phương trình ẩn $t$.
Bài tập mũ hóa giải phương trình logarit có đáp án chi tiết
| Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a) ${{\log }_{3}}\left( x+1 \right)={{\log }_{2}}x.$ b) ${{\log }_{5}}x={{\log }_{7}}\left( x+2 \right).$ |
Lời giải:
a) Điều kiện: $x>0$. Đặt ${{\log }_{3}}\left( x+1 \right)={{\log }_{2}}x=t\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x+1={{3}^{t}} \\ {} x={{2}^{t}} \\ \end{array} \right.$
Khi đó ${{2}^{t}}+1={{3}^{t}}\Leftrightarrow f\left( t \right)={{\left( \frac{2}{3} \right)}^{t}}+{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{t}}=1$.
Xét $f\left( t \right)={{\left( \frac{2}{3} \right)}^{t}}+{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{t}}\left( t\in \mathbb{R} \right)$ ta có $f’\left( t \right)<0\,\,\,\left( \forall t\in R \right)\Rightarrow $hàm số $f\left( t \right)$nghịch biến trên $\mathbb{R}$
Khi đó $f\left( t \right)=1\Leftrightarrow f\left( t \right)=f\left( 1 \right)\Leftrightarrow t=1\Leftrightarrow x={{2}^{t}}=2.$
b) Điều kiện: $x>0$. Đặt ${{\log }_{5}}x={{\log }_{7}}\left( x+2 \right)=t\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x={{5}^{t}} \\ {} x+2={{7}^{t}} \\ \end{array} \right.$
Khi đó ${{5}^{t}}+2={{7}^{t}}\Leftrightarrow f\left( t \right)={{\left( \frac{5}{7} \right)}^{t}}+2{{\left( \frac{1}{7} \right)}^{t}}=1$.
Xét hàm$f\left( t \right)$ tương tự ta có: $t=1\Rightarrow x=5.$
| Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
a) ${{\log }_{7}}x={{\log }_{3}}\left( \sqrt{x}+2 \right).$ b) ${{\log }_{\sqrt{6}}}\left( x+\sqrt{x} \right)={{\log }_{2}}x.$ |
Lời giải:
a) Điều kiện: $x>0$. Đặt ${{\log }_{7}}x={{\log }_{3}}\left( \sqrt{x}+2 \right)=t\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x={{7}^{t}} \\ {} \sqrt{x}+2={{3}^{t}} \\ \end{array} \right.$
Khi đó $\sqrt{{{7}^{t}}}+2={{3}^{t}}\Leftrightarrow f\left( t \right)={{\left( \frac{\sqrt{7}}{3} \right)}^{t}}+2{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{t}}=1$.
Hàm số $f\left( t \right)$nghịch biến trên $\mathbb{R}\Rightarrow f\left( t \right)=f\left( 2 \right)\Leftrightarrow t=2\Rightarrow x=49.$
b) Điều kiện: $x>0$. Đặt ${{\log }_{\sqrt{6}}}\left( x+\sqrt{x} \right)={{\log }_{2}}x=t\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x={{2}^{t}} \\ {} x+\sqrt{x}={{\sqrt{6}}^{t}} \\ \end{array} \right.$
Khi đó ${{2}^{t}}+\sqrt{{{2}^{t}}}=\sqrt{{{6}^{t}}}\Leftrightarrow f\left( t \right)={{\left( \frac{2}{\sqrt{6}} \right)}^{t}}+{{\left( \sqrt{\frac{2}{6}} \right)}^{t}}=1$.
Hàm số $f\left( t \right)$nghịch biến trên $\mathbb{R}\Rightarrow f\left( t \right)=f\left( 2 \right)\Leftrightarrow t=2\Rightarrow x=4.$
| Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:
a) ${{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-3x-13 \right)={{\log }_{2}}x.$ b) $2{{\log }_{2}}x={{\log }_{5}}\left( {{x}^{3}}+3x+11 \right).$ |
Lời giải:
a) Điều kiện: $\left\{ \begin{array} {} {{x}^{2}}-3x-13>0 \\ {} x>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x>\frac{3+\sqrt{61}}{2}$.
+) Đặt $t={{\log }_{2}}x={{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-3x-13 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{array}
{} {{x}^{2}}-3x-13={{3}^{t}} \\ {} x={{2}^{t}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow {{4}^{t}}-{{3.2}^{t}}-13={{3}^{t}}$
$\Leftrightarrow {{4}^{t}}={{3.2}^{t}}+13+{{3}^{t}}\Leftrightarrow g\left( t \right)=3{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{t}}+13{{\left( \frac{1}{4} \right)}^{t}}+{{\left( \frac{3}{4} \right)}^{t}}=1$
+) Xét $g\left( t \right)=3{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{t}}+13{{\left( \frac{1}{4} \right)}^{t}}+{{\left( \frac{3}{4} \right)}^{t}}=1$có $g’\left( t \right)=3{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{t}}\ln \frac{1}{2}+13{{\left( \frac{1}{4} \right)}^{t}}\ln \frac{1}{4}+{{\left( \frac{3}{4} \right)}^{t}}\ln \frac{3}{4}<0$
Nên $g\left( t \right)$nghịch biến trên $\mathbb{R}$ta có: $g\left( t \right)=g\left( 3 \right)\Leftrightarrow t=3\Leftrightarrow x=8$
Vậy nghiệm của PT là: $x=8.$
b) Điều kiện: $x>0$. Đặt $u=2{{\log }_{2}}x={{\log }_{5}}\left( {{x}^{3}}+3x+11 \right)$ ta có: $\left\{ \begin{array} {} {{x}^{3}}+3x+11={{5}^{u}} \\ {} x={{2}^{\frac{u}{2}}}={{\left( \sqrt{2} \right)}^{u}} \\ \end{array} \right.$
$\Rightarrow {{\left( \sqrt{8} \right)}^{u}}+3{{\left( \sqrt{2} \right)}^{u}}+11={{5}^{u}}\left( 1 \right)$
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow f\left( u \right)={{\left( \frac{\sqrt{8}}{5} \right)}^{u}}+3{{\left( \frac{\sqrt{2}}{5} \right)}^{u}}+11.{{\left( \frac{1}{5} \right)}^{u}}=1,\,\,\,f’\left( u \right)<0\,\,\forall u\in \mathbb{R}.$
Suy ra $f\left( u \right)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$do đó $f\left( u \right)=f\left( 2 \right)\Leftrightarrow u=2\Rightarrow x=2$
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: $x=2.$
| Ví dụ 4: Giả sử $p$ và $q$ là các số dương sao cho ${{\log }_{16}}p={{\log }_{20}}q={{\log }_{25}}\left( p+q \right)$. Tìm giá trị $\frac{p}{q}$
A. $\frac{8}{5}.$ B. $\frac{1}{2}\left( -1+\sqrt{5} \right).$ C. $\frac{4}{5}.$ D. $\frac{1}{2}\left( 1+\sqrt{5} \right).$ |
Lời giải:
Đặt $t={{\log }_{16}}p={{\log }_{20}}q={{\log }_{25}}\left( p+q \right)\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} p={{16}^{t}} \\ {} q={{20}^{t}} \\ {} p+q={{25}^{t}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \frac{p}{q}={{\left( \frac{4}{5} \right)}^{t}}.$
Ta có $p+q={{25}^{t}}\Leftrightarrow {{16}^{t}}+{{20}^{t}}={{25}^{t}}\Leftrightarrow {{\left( \frac{4}{5} \right)}^{t}}+1={{\left( \frac{5}{4} \right)}^{t}}\Leftrightarrow {{\left( \frac{4}{5} \right)}^{2t}}+{{\left( \frac{4}{5} \right)}^{t}}-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} {{\left( \frac{4}{5} \right)}^{t}}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \\ {} {{\left( \frac{4}{5} \right)}^{t}}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2} \\ \end{array} \right.$
$\Rightarrow {{\left( \frac{4}{5} \right)}^{t}}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\Leftrightarrow \frac{p}{q}=\frac{1}{2}\left( -1+\sqrt{5} \right).$ Chọn B.
| Ví dụ 5: Cho${{\log }_{3}}a={{\log }_{4}}b={{\log }_{12}}c={{\log }_{13}}\left( a+b+c \right)$. Hỏi ${{\log }_{abc}}144$ thuộc tập hợp nào sau đây?
A. $\left\{ \frac{7}{8};\frac{8}{9};\frac{9}{10} \right\}.$ B. $\left\{ \frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{3}{4} \right\}.$ C. $\left\{ \frac{4}{5};\frac{5}{6};\frac{6}{7} \right\}.$ D. $\left\{ 1;2;3 \right\}.$ |
Lời giải:
Đặt $t={{\log }_{3}}a={{\log }_{4}}b={{\log }_{12}}c={{\log }_{13}}\left( a+b+c \right)\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} a={{3}^{t}} \\ {} b={{4}^{t}} \\ {} c={{12}^{t}} \\ {} a+b+c={{13}^{t}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} abc={{144}^{t}} \\ {} {{3}^{t}}+{{4}^{t}}+{{12}^{t}}={{13}^{t}}\,\,\,\left( * \right) \\ \end{array} \right..$
$PT\left( * \right)\Leftrightarrow {{\left( \frac{3}{13} \right)}^{t}}+{{\left( \frac{4}{13} \right)}^{t}}+{{\left( \frac{12}{13} \right)}^{t}}-1=0.\,\,\,$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\left( \frac{3}{13} \right)}^{t}}+{{\left( \frac{4}{13} \right)}^{t}}+{{\left( \frac{12}{13} \right)}^{t}}-1\,$
$\Rightarrow f’\left( t \right)={{\left( \frac{3}{13} \right)}^{t}}\ln \frac{3}{12}+{{\left( \frac{4}{13} \right)}^{t}}\ln \frac{4}{13}+{{\left( \frac{12}{13} \right)}^{t}}\ln \frac{12}{13}<0,\forall t\in \mathbb{R}.$
Suy ra $f\left( t \right)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}\Rightarrow \left( * \right)$ có nghiệm thì là nghiệm duy nhất.
Dễ thấy PT (*) có nghiệm $t=2$, suy ra nghiệm PT (*) là $t=2$.
Suy ra ${{\log }_{abc}}144={{\log }_{{{144}^{2}}}}144=\frac{1}{2}\Rightarrow {{\log }_{abc}}144\in \left\{ \frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{3}{4} \right\}$. Chọn B.
