Bài tập phương trình logarit cơ bản có đáp án
Dưới đây là một số bài tập giải pt logarit cơ bản nhất có Lời giải chi tiết
| Bài tập 1: Giải các phương trình sau:
a) ${{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+x+2 \right)=3.$ b) ${{\log }_{3}}\left( 2x+1 \right)+{{\log }_{3}}\left( x-3 \right)=2.$ |
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: $PT\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x+2=8\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=2 \\ {} x=-3 \\ \end{array} \right.$
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2; -3}.
b) Điều kiện: $x>3$. Khi đó $\text{PT}\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left[ \left( 2x+1 \right)\left( x-3 \right) \right]={{\log }_{3}}9\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-5x-3=9$
$\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-5x-12=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=4 \\ {} x=\frac{-3}{2} \\ \end{array} \right.$.
Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của phương trình đã cho là $x$ = 4.
| Bài tập 2: Giải các phương trình sau:
a) ${{\log }_{2}}\left( x+4 \right)=3-2{{\log }_{2}}x.$ b) $3{{\log }_{8}}\left( x-2 \right)-{{\log }_{\sqrt{2}}}\left( 3x+2 \right)+7=0.$ |
Lời giải chi tiết:
a) Điều kiện: $x>0$. Khi đó $\text{PT}\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( x+4 \right)+{{\log }_{2}}{{x}^{2}}=3\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left[ {{x}^{2}}\left( x+4 \right) \right]=3\Leftrightarrow {{x}^{3}}+4{{x}^{2}}=8$
$\Leftrightarrow \left( x+2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x-4 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=-2 \\ {} x=-1+\sqrt{5} \\ {} x=-1-\sqrt{5} \\ \end{array} \right.$.
Kết hợp ĐK $x>0$. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $x=-1+\sqrt{5}$
b) Điều kiện: $x>2$. Khi đó $\text{PT}\Leftrightarrow 3{{\log }_{{{2}^{3}}}}\left( x-2 \right)-{{\log }_{{{2}^{\frac{1}{2}}}}}\left( 3x+2 \right)+7=0$
$\begin{array} {} \Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( x-2 \right)-2{{\log }_{2}}\left( 3x+2 \right)+7=0\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( x-2 \right)-{{\log }_{2}}{{\left( 3x+2 \right)}^{2}}+{{\log }_{2}}{{2}^{7}}=0 \\ {} \Leftrightarrow {{\log }_{2}}\frac{128\left( x-2 \right)}{{{\left( 3x+2 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow 128\left( x-2 \right)={{\left( 3x+2 \right)}^{2}}\Leftrightarrow 9{{x}^{2}}-116x+260=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=10 \\ {} x=\frac{26}{9} \\ \end{array} \right.\,\,\left( t/m \right). \\ \end{array}$
Vậy nghiệm của phương trình là $x=10;\,x=\frac{26}{9}.$
| Bài tập 3: Giải các phương trình sau:
a) ${{\log }_{2}}\left[ x\left( x-1 \right) \right]=1$ b) ${{\log }_{2}}x+{{\log }_{2}}\left( x-1 \right)=1$ c) ${{\log }_{2}}\left( x-2 \right)-6{{\log }_{\frac{1}{8}}}\sqrt{3x-5}=2$ d) ${{\log }_{2}}\left( x-3 \right)+{{\log }_{2}}\left( x-1 \right)=3$ |
Lời giải chi tiết:
a) Điều kiện: $x\left( x-1 \right)>0\Leftrightarrow x>1;x<0$.
Ta có: $PT\Leftrightarrow x\left( x-1 \right)=2\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-2=0\Leftrightarrow x=-1;x=2$
Vậy phương trình có nghiệm là $x=-1;x=2.$
b) Điều kiện: $x>1$.
Ta có phương trình tương đương với ${{\log }_{2}}\left[ x\left( x-1 \right) \right]=2\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-2=0\Leftrightarrow x=-1;x=2$
Vậy phương trình có nghiệm là $x=-1;x=2.$
c) Điều kiện: $x>2$.
Ta có: $PT\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( x-2 \right)+{{\log }_{2}}\left( 3x-5 \right)=2\Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left( 3x-5 \right)=4\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-11x+6=0\Leftrightarrow x=3;x=\frac{2}{3}$
Đối chiếu với đk ta được nghiệm của phương trình là $x=3.$
d) Điều kiện: $x>3$.
Ta có: $PT\Leftrightarrow \left( x-3 \right)\left( x-1 \right)=8\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x-5=0\Leftrightarrow x=-1;x=5$
Đối chiếu với đk ta được nghiệm của phương trình là $x=5.$
| Bài tập 4: Giải các phương trình sau:
a) $\lg \left( x-2 \right)+\lg \left( x-3 \right)=1-\lg 5$ b) $2{{\log }_{8}}\left( x-2 \right)-{{\log }_{8}}\left( x-3 \right)=\frac{2}{3}$ c) $\lg \sqrt{5x-4}+\lg \sqrt{x+1}=2+\lg 0,18$ d) ${{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-6 \right)={{\log }_{3}}\left( x-2 \right)+1$ |
Lời giải chi tiết:
a) Điều kiện: $\left\{ \begin{array} {} x-2>0 \\ {} x-3>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x>3$.
Ta có: $PT\Leftrightarrow \lg \left( x-2 \right)\left( x-3 \right)=\lg 2\Leftrightarrow {{x}^{2}}-5x+4=0\Leftrightarrow x=1;x=4.$
Đối chiếu với điều kiện pt có nghiệm là $x=4.$
b) Điều kiện: $\left\{ \begin{array} {} x>2 \\ {} x>3 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x>3.$
Ta có: $PT\Leftrightarrow {{\log }_{8}}\frac{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}{x-3}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-8x+16=0\Leftrightarrow x=4\,\,(TM).$
Vậy PT có nghiệm là $x=4.$
c) Điều kiện: $\left\{ \begin{array} {} x>\frac{5}{4} \\ {} x>-1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x>\frac{5}{4}$.
Ta có: $PT\Leftrightarrow \lg \sqrt{\left( 5x-4 \right)\left( x+1 \right)}=\lg 18\Leftrightarrow \sqrt{\left( 5x-4 \right)\left( x+1 \right)}=18\Leftrightarrow 5{{x}^{2}}+x-328=0\Leftrightarrow x=8;x=-\frac{41}{5}.$
Đối chiếu với điều kiện nên phương trình có nghiệm là $x=8.$
d) Điều kiện: $\left\{ \begin{array} {} {{x}^{2}}-6>0 \\ {} x-2>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x>\sqrt{6}$.
Ta có: $PT\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-6 \right)={{\log }_{3}}3\left( x-2 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x=0\Leftrightarrow x=0;x=3.$
Đối chiếu điều kiện PT có nghiệm $x$= 3.
| Bài tập 5: Giải các phương trình sau:
a) ${{\log }_{2}}\left( x+3 \right)+{{\log }_{2}}\left( x-1 \right)=\frac{1}{{{\log }_{5}}2}$ b) ${{\log }_{4}}x+{{\log }_{4}}\left( 10-x \right)=2$ c) ${{\log }_{5}}\left( x-1 \right)-{{\log }_{\frac{1}{5}}}\left( x+2 \right)=0$ d) ${{\log }_{2}}\left( x-1 \right)+{{\log }_{2}}\left( x+3 \right)={{\log }_{2}}10-1$ |
Lời giải chi tiết:
a) Điều kiện:$\left\{ \begin{array} {} x+3>0 \\ {} x-1>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x>1$.
Ta có: $PT\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( x+3 \right)\left( x-1 \right)={{\log }_{2}}5\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x-8=0\Leftrightarrow x=2;x=-4$
Đối chiếu điều kiện nên pt có nghiệm là $x=2.$
b) Điều kiện: $\left\{ \begin{array} {} x>0 \\ {} 10-x>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow 0<x<10.$
Ta có: $PT\Leftrightarrow {{\log }_{4}}x\left( 10-x \right)=2\Leftrightarrow x=2;x=8$
Đối chiếu điều kiện nên PT có nghiệm $x=8.$
c) Điều kiện: $\left\{ \begin{array} {} x+1>0 \\ {} x-2>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x>2$.
Ta có: $PT\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( x-1 \right)+{{\log }_{5}}\left( x+2 \right)=0\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( x-1 \right)\left( x+2 \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-3=0\Leftrightarrow x=\frac{-1\pm \sqrt{13}}{2}$
Đối chiếu với điều kiện nên PT có nghiệm là $x=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}.$
d) Điều kiện: $\left\{ \begin{array} {} x-1>0 \\ {} x+3>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x>1$.
Ta có: $PT\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( x-1 \right)\left( x+3 \right)={{\log }_{2}}5\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x-8=0\Leftrightarrow x=2;x=-4$
Đối chiếu với điều kiện nên PT có nghiệm $x$= 2.
| Bài tập 6: Giải các phương trình sau:
a) ${{\log }_{9}}\left( x+8 \right)-{{\log }_{3}}\left( x+26 \right)+2=0$ b) ${{\log }_{3}}x+{{\log }_{\sqrt{3}}}x+{{\log }_{\frac{1}{3}}}x=6$ c) $1+\lg \left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)-\lg \left( {{x}^{2}}+1 \right)=2\lg \left( 1-x \right)$ d) ${{\log }_{4}}x+{{\log }_{\frac{1}{16}}}x+{{\log }_{8}}x=5$ |
Lời giải chi tiết:
a) Điều kiện: $\left\{ \begin{array} {} x+8>0 \\ {} x+26>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x>-8$.
Ta có: $PT\Leftrightarrow {{\log }_{9}}\frac{81\left( x+8 \right)}{{{\left( x+26 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-29x+28=0\Leftrightarrow x=1;x=28$
Đối chiếu với điều kiện nên PT có nghiệm là $x=1;x=28.$
b) Điều kiện: $x>0$
Ta có: $PT\Leftrightarrow {{\log }_{3}}x+2{{\log }_{3}}x-{{\log }_{3}}x=6\Leftrightarrow {{\log }_{3}}x=3\Leftrightarrow x=27$
Vậy PT có nghiệm $x=27.$
c) Điều kiện: $1-x<0\Leftrightarrow x<1$.
Ta có: $PT\Leftrightarrow 1-\lg {{\left( x-1 \right)}^{2}}-\lg \left( {{x}^{2}}+1 \right)=\lg {{\left( 1-x \right)}^{2}}\Leftrightarrow \lg \left( {{x}^{2}}+1 \right)=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}=9\Leftrightarrow x=\pm 3$
Đối chiếu với điều kiện nên PT có nghiệm $x=-3$.
d) Điều kiện: $x>0$.
Ta có: $PT\Leftrightarrow \frac{1}{2}{{\log }_{2}}x-\frac{1}{4}{{\log }_{2}}x+\frac{1}{3}{{\log }_{2}}x=5\Leftrightarrow {{\log }_{2}}x=\frac{60}{17}\Leftrightarrow x={{2}^{\frac{60}{17}}}\,\,(TM)$
Vậy PT có nghiệm là $x={{2}^{\frac{60}{17}}}.$
| Bài tập 7: Giải các phương trình sau:
a) $2+\lg \left( 4{{x}^{2}}-4x+1 \right)-\lg \left( {{x}^{2}}+19 \right)=2\lg \left( 1-2x \right)$ b) ${{\log }_{2}}x+{{\log }_{4}}x+{{\log }_{8}}x=11$ c) ${{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( x-1 \right)+{{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( x+1 \right)=1+{{\log }_{\frac{1}{\sqrt{2}}}}\left( 7-x \right)$ d) ${{\log }_{\frac{1}{\sqrt{6}}}}\left( {{5}^{x+1}}-{{25}^{x}} \right)=-2$ |
Lời giải chi tiết:
a) Điều kiện: $1-2x>0\Leftrightarrow x<\frac{1}{2}$.
Ta có: $\lg \left( 4{{x}^{2}}-4x+1 \right)=\lg {{\left( 2x-1 \right)}^{2}}=2\lg \left( 1-2x \right)$
$PT\Leftrightarrow 2-\lg \left( {{x}^{2}}+19 \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+19=100\Leftrightarrow x=\pm 9$
Đối chiếu với điều kiện nên PT có nghiệm là $x=-9.$
b) Điều kiện: $x>0$
Ta có: $PT\Leftrightarrow {{\log }_{2}}x+\frac{1}{2}{{\log }_{2}}x+\frac{1}{3}{{\log }_{2}}x=11\Leftrightarrow {{\log }_{2}}x=6\Leftrightarrow x=64\,\,\,\left( TM \right)$
Vậy PT có nghiệm $x=64.$
c) Điều kiện: $\left\{ \begin{array} {} x-1>0 \\ {} x+1>0 \\ {} 7-x>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow 1<x<7$.
Ta có: $PT\Leftrightarrow {{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)={{\log }_{\frac{1}{2}}}\frac{1}{2}.\left( 7-x \right)\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+x-9=0\Leftrightarrow x=\frac{-1\pm \sqrt{73}}{4}$
Kiểm tra điều kiện chỉ có nghiệm $x=\frac{-1+\sqrt{73}}{4}$ thỏa mãn.
d) Điều kiện: ${{5}^{x+1}}-{{25}^{x}}>0\Leftrightarrow {{5}^{x}}\left( 5-{{5}^{x}} \right)>0\Leftrightarrow 0<{{5}^{x}}<5\Leftrightarrow x<1$.
Ta có: $PT\Leftrightarrow {{5}^{x+1}}-{{25}^{x}}={{\frac{1}{\sqrt{6}}}^{-2}}={{\left( {{6}^{\frac{-1}{2}}} \right)}^{-2}}=6\Leftrightarrow {{\left( {{5}^{x}} \right)}^{2}}-{{5.5}^{x}}+6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} {{5}^{x}}=2 \\ {} {{5}^{x}}=3 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x={{\log }_{5}}2 \\ {} x={{\log }_{5}}3 \\ \end{array} \right.$
Vậy PT có nghiệm là $x={{\log }_{5}}2\,\,v\mu \,\,x={{\log }_{5}}3.$
| Bài tập 8: Giải các phương trình sau:
a) ${{\log }_{x}}\left( 2{{x}^{2}}-7x+12 \right)=2$ b) ${{\log }_{x}}\left( 2{{x}^{2}}-3x-4 \right)=2$ c) ${{\log }_{2x}}\left( {{x}^{2}}-5x+6 \right)=2$ d) ${{\log }_{x}}\left( {{x}^{2}}-2 \right)=1$ |
Lời giải chi tiết:
a) Điều kiện: $\left\{ \begin{array} {} 2{{x}^{2}}-7x+12>0 \\ {} x>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x>0$.
Ta có: $PT\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-7x+12={{x}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-7x+12=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=3\,\,\,\left( TM \right) \\ {} x=-4\,\,\,(L) \\ \end{array} \right.$
Vậy PT có nghiệm $x=3.$
b) Điều kiện: $\left\{ \begin{array} {} 2{{x}^{2}}-3x-4>0 \\ {} x>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \left[ \begin{array} {} x>\frac{3+\sqrt{41}}{4} \\ {} x0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x>\frac{3+\sqrt{41}}{4}$
Ta có: $PT\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-3x-4={{x}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x-4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=-1\,\,\,\left( L \right) \\ {} x=4\,\,\,(TM) \\ \end{array} \right.$
Vậy PT có nghiệm $x=4.$
c) Điều kiện: $\left\{ \begin{array} {} {{x}^{2}}-5x+6>0 \\ {} x>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \left[ \begin{array} {} x>3 \\ {} x0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x>3 \\ {} 0<x<2 \\ \end{array} \right.$.
Ta có: $PT\Leftrightarrow {{x}^{2}}-5x+6=4{{x}^{2}}\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+5x-6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=\frac{-5+\sqrt{97}}{6}\,\,\,\left( TM \right) \\ {} x=\frac{-5-\sqrt{97}}{6}\,\,\,\left( L \right) \\ \end{array} \right.$
Vậy PT có nghiệm $x=\frac{-5+\sqrt{97}}{6}$.
d) Điều kiện: $\left\{ \begin{array} {} {{x}^{2}}-2>0 \\ {} x>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \left[ \begin{array} {} x>\sqrt{2} \\ {} x0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x>\sqrt{2}$.
Ta có $PT\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2=x\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=-1\,\,\,\left( L \right) \\ {} x=2\,\,\,(TM) \\ \end{array} \right.$
Vậy PT có nghiệm là $x=2.$
| Bài tập 9: Giải các phương trình sau:
a) ${{\log }_{3x+5}}\left( 9{{x}^{2}}+8x+2 \right)=2$ b) ${{\log }_{2x+4}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)=1$ c) ${{\log }_{x}}\frac{15}{1-2x}=-2$ d) ${{\log }_{{{x}^{2}}}}\left( 3-2x \right)=1$ e) ${{\log }_{{{x}^{2}}+3x}}\left( x+3 \right)=1$ f) ${{\log }_{x}}\left( 2{{x}^{2}}-5x+4 \right)=2$ |
Lời giải chi tiết:
a) Điều kiện: $\left\{ \begin{array} {} 9{{x}^{2}}+8x+2>0 \\ {} 3x+5>0 \\ {} 3x+5\ne 1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x>-\frac{5}{3} \\ {} x\ne -\frac{4}{3} \\ \end{array} \right.$.
Ta có: $PT\Leftrightarrow 9{{x}^{2}}+8x+2={{\left( 3x+5 \right)}^{2}}\Leftrightarrow x=-\frac{23}{22}\,\,\,\left( TM \right)$
Vậy PT có nghiệm là $x=-\frac{23}{22}.$
b) Điều kiện: $\left\{ \begin{array} {} {{x}^{2}}+1>0 \\ {} 2x+4>0 \\ {} 2x+4\ne 1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x>-2 \\ {} x\ne -\frac{3}{2} \\ \end{array} \right.$
Ta có: $PT\Leftrightarrow {{x}^{2}}+1=2x+4\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=-1 \\ {} x=3 \\ \end{array} \right.\,\,\,\left( TM \right)$
Vậy PT có nghiệm $x=-1;\,x=3.$
c) Điều kiện: $\left\{ \begin{array} {} x>0 \\ {} \frac{15}{1-2x}>0 \\ {} x\ne 1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow 0<x<\frac{1}{2}$.
Ta có: $PT\Leftrightarrow \frac{15}{1-2x}={{x}^{-2}}\Leftrightarrow 15{{x}^{2}}+2x-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=\frac{1}{5}\,\,\,\left( TM \right) \\ {} x=-\frac{1}{3}\,\,\left( L \right) \\ \end{array} \right.$
Vậy PT có nghiệm là $x=\frac{1}{5}$.
d) Điều kiện: $\left\{ \begin{array} {} {{x}^{2}}>0 \\ {} 3-2x>0 \\ {} {{x}^{2}}\ne 1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x\ne 0 \\ {} x\ne \pm 1 \\ {} x<\frac{3}{2} \\ \end{array} \right.$.
Ta có: $PT\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=1\,\,\,\left( L \right) \\ {} x=-3\,\,\,(TM) \\ \end{array} \right.$
Vậy PT có nghiệm là $x=-3.$
e) Điều kiện: $\left\{ \begin{array} {} {{x}^{2}}+3x>0 \\ {} x+3>0 \\ {} {{x}^{2}}+3x\ne 1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x\ne \frac{-3+\sqrt{13}}{2} \\ {} x>0 \\ \end{array} \right.$.
Ta có: $PT\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=1 \\ {} x=-3 \\ \end{array} \right.$
Kiểm tra điều kiện thì $x=1$ là nghiệm cần tìm.
f) Điều kiện: $\left\{ \begin{array} {} x>0 \\ {} 2{{x}^{2}}-5x+4>0 \\ {} x\ne 1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x>0 \\ {} x\ne 1 \\ \end{array} \right.$.
Ta có: $PT\Leftrightarrow {{x}^{2}}-5x+4>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=1 \\ {} x=4 \\ \end{array} \right.\,\,\,\left( TM \right)$
Vậy PT có nghiệm là $x=1;\,x=4.$
| Ví dụ 10: Giải các phương trình sau:
a) ${{\log }_{9}}{{\left( {{x}^{2}}-5x+6 \right)}^{2}}=\frac{1}{2}{{\log }_{\sqrt{3}}}\frac{x-1}{2}+{{\log }_{3}}\left| x-3 \right|$ b) $\frac{1}{2}{{\log }_{\sqrt{2}}}\left( x+3 \right)+\frac{1}{4}{{\log }_{4}}{{\left( x-1 \right)}^{8}}={{\log }_{2}}4x$ |
Lời giải:
- a) Điều kiện: $x>1;x\ne 3$. Khi đó $PT\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left| {{x}^{2}}-5x+6 \right|={{\log }_{3}}\frac{x-1}{2}+{{\log }_{3}}\left| x-3 \right|$
$\Leftrightarrow \left| {{x}^{2}}-5x+6 \right|=\frac{\left( x-1 \right)\left| x-3 \right|}{2}\Leftrightarrow \left| \left( x-2 \right)\left( x-3 \right) \right|=\frac{\left( x-1 \right)\left| x-3 \right|}{2}\Leftrightarrow 2\left| x-2 \right|=x-1\left( 1 \right)$
TH1: $x\ge 2$ ta có: $\left( 1 \right)\Leftrightarrow 2x-4=x-1\Leftrightarrow x=3$ (loại).
TH2: $1<x<2$ ta có: $\left( 1 \right)\Leftrightarrow -2x+4=x-1\Leftrightarrow x=\frac{5}{3}\,\,\left( tm \right).$
Vậy $x=\frac{5}{3}$ là nghiệm của PT đã cho.
- b) Điều kiện: $x>0;x\ne 1$. Ta có: $PT\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( x+3 \right)+{{\log }_{2}}\left| x-1 \right|={{\log }_{2}}4x$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left[ \left( x+3 \right)\left| x-1 \right| \right]={{\log }_{2}}4x\Leftrightarrow \left( x+3 \right)\left| x-1 \right|=4x.$
TH1: Với $x>1$ ta có: $\left( x+3 \right)\left( x-1 \right)=4x\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=-1\,\,\,(lo{}^\text{1}i) \\ {} x=3 \\ \end{array} \right..$
TH2: Với $0<x<1$ ta có: $\left( x+3 \right)\left( 1-x \right)=4x\Leftrightarrow {{x}^{2}}+6x-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=-3+2\sqrt{3} \\ {} x=-3-2\sqrt{3}\,\,\,(lo{}^\text{1}i) \\ \end{array} \right..$
Vậy $x=3;x=-3+2\sqrt{3}$ là nghiệm của PT đã cho.
| Ví dụ 11: Giải các phương trình sau:
a) $\lg \left( {{3}^{x}}-{{2}^{4-x}} \right)=2+\frac{1}{4}\lg 16-\frac{x}{2}\lg 4$ b) $\frac{1}{2}\lg \left( {{x}^{2}}+x-5 \right)=\lg 5x+\lg \frac{1}{5x}$ c) ${{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)+{{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)={{\log }_{2}}\left( {{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1 \right)+{{\log }_{2}}\left( {{x}^{4}}-{{x}^{2}}+1 \right)$ |
Lời giải:
- a) Điều kiện: ${{3}^{x}}-{{2}^{4-x}}>0$. Khi đó: $PT\Leftrightarrow \lg \left( {{3}^{x}}-{{2}^{4-x}} \right)=\lg 100+\lg 2-\lg {{4}^{\frac{x}{2}}}$
$\Leftrightarrow {{3}^{x}}-{{2}^{4-x}}=\frac{200}{{{4}^{\frac{x}{2}}}}\Leftrightarrow {{3}^{x}}-{{2}^{4-x}}={{200.2}^{-x}}\Leftrightarrow {{3}^{x}}={{16.2}^{-x}}+{{200.2}^{-x}}\Leftrightarrow {{3}^{x}}=\frac{216}{{{2}^{x}}}\Leftrightarrow {{6}^{x}}=216\Leftrightarrow x=3\,\,\left( tm \right).$
Vậy $x=3$ là nghiệm duy nhất của PT đã cho.
- b) Điều kiện: $\left\{ \begin{array} {} x>0 \\ {} {{x}^{2}}+x-5>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x>\frac{-1+\sqrt{21}}{2}.$
Khi đó: $PT\Leftrightarrow \lg \sqrt{{{x}^{2}}+x-5}=\lg 1\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+x-5}=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=2 \\ {} x=-3\,\,\,\left( lo{}^\text{1}i \right) \\ \end{array} \right.$
Vậy là nghiệm của PT đã cho là $x=2.$
- c) Ta có: $PT\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)=\left( {{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1 \right)\left( {{x}^{4}}-{{x}^{2}}+1 \right)$
$\begin{array} {} \Leftrightarrow \left[ \left( {{x}^{2}}+1 \right)+x \right]\left[ \left( {{x}^{2}}+1 \right)-x \right]=\left[ \left( {{x}^{4}}+1 \right)+{{x}^{2}} \right]\left[ \left( {{x}^{4}}+1 \right)-{{x}^{2}} \right]\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}-{{x}^{2}}={{\left( {{x}^{4}}+1 \right)}^{2}}-{{x}^{4}} \\ {} \Leftrightarrow {{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1={{x}^{8}}+{{x}^{4}}+1\Leftrightarrow {{x}^{8}}={{x}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=0 \\ {} x=\pm 1 \\ \end{array} \right. \\ \end{array}$
Vậy $x=0;x=\pm 1$ là nghiệm của PT đã cho.
| Ví dụ 12: Số nghiệm của phương trình ${{\log }_{5}}\left( x+4 \right)=1-2{{\log }_{25}}x$ là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. |
Lời giải:
Điều kiện: $x>0$. Khi đó $PT\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( x+4 \right)=1-2{{\log }_{{{5}^{2}}}}x\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( x+4 \right)={{\log }_{5}}5-{{\log }_{5}}x$
$\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left[ x\left( x+4 \right) \right]={{\log }_{5}}5\Leftrightarrow {{x}^{2}}+4x=5\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=1 \\ {} x=-5 \\ \end{array} \right.$
Kết hợp điều kiện suy ra PT có nghiệm duy nhất $x=1$. Chọn A.
| Ví dụ 13: Số nghiệm của phương trình $\ln \left( {{x}^{2}}+2x-3 \right)+\ln \left( x+3 \right)=\ln \left( x-1 \right)$ là:
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. |
Lời giải:
Điều kiện: $\left\{ \begin{array} {} {{x}^{2}}+2x-3>0 \\ {} x+3>0 \\ {} x-1>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x>1$. Khi đó $PT\Leftrightarrow \ln \left[ \left( x-1 \right)\left( x+3 \right) \right]+\ln \left( x+3 \right)=\ln \left( x-1 \right)$
$\begin{array} {} \Leftrightarrow \ln \left[ \left( x-1 \right){{\left( x+3 \right)}^{2}} \right]=\ln \left( x-1 \right)\Leftrightarrow \left( x-1 \right){{\left( x+3 \right)}^{2}}=x-1\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left[ {{\left( x+3 \right)}^{2}}-1 \right]=0 \\ {} \Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x-1=0 \\ {} {{\left( x+3 \right)}^{2}}=1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=1 \\ {} x=-4 \\ {} x=-2 \\ \end{array} \right. \\ \end{array}$
Kết hợp điều kiện suy ra PT vô nghiệm. Chọn A.
| Ví dụ 14: Gọi n là số nghiệm của phương trình ${{\log }_{2}}\left( x-2 \right)+3{{\log }_{8}}\left( 3x-5 \right)-2=0$. Khi đó:
A. $n=1$. B. $n=2$. C. $n=0$. D. $n=3$. |
Lời giải:
Ta có: ${{\log }_{2}}\left( x-2 \right)+3{{\log }_{8}}\left( 3x-5 \right)-2=0\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( x-2 \right)+{{\log }_{2}}\left( 3x-5 \right)=2\Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left( 3x-5 \right)=4$
$\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-11x+6=0\Leftrightarrow x=3;x=\frac{2}{3}$
Đối chiếu điều kiện loại nghiệm $x=\frac{2}{3}$, suy ra PT có nghiệm duy nhất $x=3\Rightarrow n=1$. Chọn A.
| Ví dụ 15: Số nghiệm của phương trình ${{\log }_{2}}\left( {{2}^{x}}+4 \right)-x={{\log }_{2}}\left( {{2}^{x}}+12 \right)-3$ là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. |
Lời giải:
$PT\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{2}^{x}}+4 \right)-{{\log }_{2}}\left( {{2}^{x}}+12 \right)=x-3\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\frac{{{2}^{x}}+4}{{{2}^{x}}+12}=x-3\Leftrightarrow \frac{{{2}^{x}}+4}{{{2}^{x}}+12}={{2}^{x-3}}$
Đặt $t={{2}^{x}}>0\Rightarrow \frac{t+4}{t+12}=\frac{t}{8}\Leftrightarrow {{t}^{2}}+4t-32=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} t=-8\left( lo{}^\text{1}i \right) \\ {} t=4\Rightarrow x=2 \\ \end{array} \right.$
Vậy $x=2$ là nghiệm của PT đã cho. Chọn A.
| Ví dụ 16: Số nghiệm của phương trình ${{\log }_{\sqrt{2}}}\sqrt{x-1}-{{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( 5-x \right)=3{{\log }_{8}}\left( x-3 \right)$ là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. |
Lời giải:
Điều kiện: $5>x>3$. Khi đó $PT\Leftrightarrow {{\log }_{{{2}^{\frac{1}{2}}}}}{{\left( x-1 \right)}^{\frac{1}{2}}}+{{\log }_{2}}\left( 5-x \right)=3{{\log }_{{{2}^{3}}}}\left( x-3 \right)$
$\begin{array} {} \Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( x-1 \right)+{{\log }_{2}}\left( 5-x \right)={{\log }_{2}}\left( x-3 \right) \\ {} \Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( 5-x \right)=x-3\Leftrightarrow {{x}^{2}}-5x+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=\frac{5+\sqrt{17}}{2}\,\,\,\left( t/m \right) \\ {} x=\frac{5-\sqrt{17}}{2}\,\,\,\left( lo{}^\text{1}i \right) \\ \end{array} \right.. \\ \end{array}$
Vậy nghiệm của PT là $x=\frac{5+\sqrt{17}}{2}$. Chọn A.
| Ví dụ 17: Tổng bình phương tất cả các nghiệm của phương trình ${{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-2x+3 \right)-\frac{1}{2}{{\log }_{\sqrt{3}}}\left( x+1 \right)=1$ là:
A. T = 25. B. T = 26. C. T = 29. D. T = 30. |
Lời giải:
Điều kiện: $\left\{ \begin{array} {} {{x}^{2}}-2x+3>0 \\ {} x+1>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x>-1.$
Khi đó $PT\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-2x+3 \right)-{{\log }_{3}}\left( x+1 \right)={{\log }_{3}}3\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\frac{{{x}^{2}}-2x+3}{x+1}={{\log }_{3}}3$
$\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}-2x+3}{x+1}=3\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+3=3x+3\Leftrightarrow {{x}^{2}}-5x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=0 \\ {} x=5 \\ \end{array} \right.\,\,\,\left( t/m \right)$
Do đó tổng bình phương các nghiệm của phương trình bằng 25. Chọn A.
| Ví dụ 18: Gọi S là tập nghiệm của phương trình $2{{\log }_{2}}\left( 2x-2 \right)+{{\log }_{2}}{{\left( x-3 \right)}^{2}}=2$. Tổng các phần tử của tập S bằng:
A. $8$. B. $6+\sqrt{2}$. C. $4+\sqrt{2}$. D. $8+\sqrt{2}$. |
Lời giải:
Điều kiện: $\left\{ \begin{array} {} 2x-2>0 \\ {} {{\left( x-3 \right)}^{2}}>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x>1 \\ {} x\ne 3 \\ \end{array} \right..$
Khi đó $PT\Leftrightarrow 2{{\log }_{2}}\left( 2x-2 \right)+2{{\log }_{2}}\left| x-3 \right|=2$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 2x-2 \right)+{{\log }_{2}}\left| x-3 \right|={{\log }_{2}}2\Leftrightarrow \left( 2x-2 \right)\left| x-3 \right|=2$
TH1: Với $x>3.\,\,PT\Leftrightarrow \left( 2x-2 \right)\left( x-3 \right)=2\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-8x+4=0\xrightarrow{x>3}x=2+\sqrt{2}.$
TH2: Với $1<x<3.\,\,PT\Leftrightarrow \left( 2x-2 \right)\left( 3-x \right)=2\Leftrightarrow -2{{x}^{2}}+8x-8=0\Leftrightarrow x=2.$
Vậy $S=\left\{ 2;2+\sqrt{2} \right\}\Rightarrow T=4+\sqrt{2}$. Chọn C.
Chú ý: ${{\log }_{a}}{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2n}}=2n{{\log }_{a}}\left| f\left( x \right) \right|.$
| Ví dụ 19: Gọi S là tập nghiệm của phương trình ${{\log }_{4}}{{\left( x+1 \right)}^{2}}+2={{\log }_{\sqrt{2}}}\sqrt{4-x}+{{\log }_{8}}{{\left( 4+x \right)}^{3}}$. Tổng các phần tử của tập S bằng:
A. $-4-2\sqrt{6}.$ B. $4+2\sqrt{6}.$ C. $2.$ D. $4-2\sqrt{6}.$ |
Lời giải:
Điều kiện: $4>x>-4,x\ne 1$
$PT\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left| x+1 \right|+{{\log }_{2}}4={{\log }_{2}}\left( 4-x \right)+{{\log }_{2}}\left( 4+x \right)\Leftrightarrow 4\left| x+1 \right|=\left( 4-x \right)\left( 4+x \right)$
TH1: Với $4>x>-1$ ta có $4x+4=16-{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+4x-12=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=2 \\ {} x=-6 \\ \end{array} \right.\Rightarrow x=2.$
TH2: Với $-1>x>-4$ ta có $-4x-4=16-{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x-20=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=2+2\sqrt{6} \\ {} x=2-2\sqrt{6} \\ \end{array} \right.\Rightarrow x=2-2\sqrt{6}.$
Vậy PT có 2 nghiệm $x=2,x=2-2\sqrt{6}\Rightarrow T=4-2\sqrt{6}$. Chọn D.
