Cách Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt d1 và d2 đồng thời song song với d (hoặc vuông góc với (P), hoặc đi qua điểm M).
Phương pháp viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d và cắt hai đường thẳng d1 và d2
Giả sử ∆ cắt d1 và d2 lần lượt tại A và B, ta tham số hóa 2 điểm $A\in {{d}_{1}};B\in {{d}_{2}}$theo ẩn t và u.
Do $\Delta //d\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=k.\overrightarrow{{{u}_{d}}}\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}=k.\overrightarrow{{{u}_{d}}}\Rightarrow t;u\Rightarrow $tọa độ các điểm A,B.
Phương trình đường thẳng cần tìm là AB.
Chú ý:
R Trường hợp: $\Delta \bot (P)\Rightarrow \overrightarrow{AB}=k.\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}\Rightarrow $t và u.
R Trường hợp: ∆ đi qua điểm M $\Rightarrow M,A,B$thẳng hàng ta giải $\overrightarrow{MA}=k.\overrightarrow{MB}\Rightarrow t;u$và k.
Bài tập viết phương trình đường thẳng oxyz có đáp án chi tiết
| Bài tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): $(P):x+y+z-1=0$đồng thời cắt cả hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{1}$và ${{d}_{2}}:\left\{ \begin{array} {} x=-1+t \\ {} y=-1 \\ {} z=-t \\ \end{array} \right.$ |
Lời giải chi tiết
Lấy $M\in {{d}_{1}}\Rightarrow M(1+2t;-1-t;t);N\in {{d}_{2}}\Rightarrow N(-1+u;-1;-u)$
Suy ra $\overrightarrow{MN}=\left( u-2t-2;t;-u-t \right)$
Do $d\bot (P)\Rightarrow \overrightarrow{MN}=k.\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}\Rightarrow \frac{u-2t-2}{1}=\frac{t}{1}=\frac{-u-t}{1}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} u=\frac{4}{5} \\ {} t=-\frac{2}{5} \\ \end{array} \right.\Rightarrow M\left( \frac{1}{5};\frac{-3}{5};\frac{-2}{5} \right)$
Phương trình đường thẳng d là: ${{d}_{1}}:\frac{x-\frac{1}{5}}{1}=\frac{y+\frac{3}{5}}{1}=\frac{z+\frac{2}{5}}{1}$
| Bài tập 2: phương trình đường thẳng d đi qua $A(1;-1;1)$biết d cắt cả hai đường ${{d}_{1}}:\frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{1}=\frac{z+1}{-2}$và ${{d}_{2}}:\left\{ \begin{array} {} x=2-t \\ {} y=t \\ {} z=3t \\ \end{array} \right.$ |
Lời giải chi tiết
Gọi $B(1+2u;-3-u;-1+2u)\in {{d}_{1}}$và $C(2-t;t;3t)\in {{d}_{2}}$
Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( 2u;u-2;2u-2 \right);\overrightarrow{AC}=(1-t;t+1;3t-1)$
Do A, B, C thẳng hàng nên $\overrightarrow{AB}=k.\overrightarrow{AC}\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} 2u=k(1-t) \\ {} u-2=k(t+1) \\ {} 2u-2=k(3t-1) \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 2u-k+kt=0 \\ {} u-k-kt=2 \\ {} 2u+k-3kt=2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} u=0 \\ {} k=-1 \\ {} kt=-1 \\ \end{array} \right.$
Suy ra $u=0;t=1\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=(0;1;1)\Rightarrow d:\left\{ \begin{array} {} x=1 \\ {} y=-1+t \\ {} z=1+t \\ \end{array} \right.$
| Bài tập 3: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x-3}{-1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z+2}{1}$và ${{d}_{2}}:\frac{x-5}{-3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1}$ và mặt phẳng $(P):x+2y+3z-5=0$. Đường thẳng vuông góc với (P) cắt d1 và d2 có phương trình là
A. $\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{3}$ B. $\frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-1}{3}$ C. $\frac{x-3}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z+2}{3}$ D. $\frac{x-1}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{1}$ |
Lời giải chi tiết
Giả sử đường thẳng d cắt d1, d2 lần lượt tại
$M,N\Rightarrow M(1-{{t}_{1}};3-2{{t}_{1}};-2+{{t}_{1}}),N(5-3{{t}_{2}};-1+2{{t}_{2}};2+{{t}_{2}})$
Ta có $\overrightarrow{MN}=\left( {{t}_{1}}-3{{t}_{2}}+2;2{{t}_{1}}+2{{t}_{2}}-4;-{{t}_{1}}+{{t}_{2}}+4 \right)$và $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 1;2;3 \right)$
Mà d vuông góc với (P) nên $\overrightarrow{MN}=k.\overrightarrow{{{n}_{P}}}\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} {{t}_{1}}-3{{t}_{2}}+2=k \\ {} 2{{t}_{1}}+2{{t}_{2}}-4=2k \\ {} -{{t}_{1}}+{{t}_{2}}+4=3k \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {{t}_{1}}=2 \\ {} {{t}_{2}}=1 \\ {} k=1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} M(1;-1;0) \\ {} N(2;1;3) \\ \end{array} \right.$
$\overrightarrow{MN}=(1;2;3)\Rightarrow d:\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{3}$. Chọn A.
| Bài tập 4: Phương trình đường thằng song song với đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z}{-1}$và cắt hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x+1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-2}{-1}$và ${{d}_{2}}:\frac{x-1}{-1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{3}$
A. $\frac{x+1}{-1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-2}{1}$ B. $\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{-1}$ C. $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{-1}$ D. $\frac{x-1}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z-1}{1}$ |
Lời giải chi tiết
Gọi $A(-1+2t;-1+t;2-t)\in {{d}_{1}};B(1-u;2+u;3+3u)\in {{d}_{2}}$
Khi đó: $\overrightarrow{AB}=\left( 2-u-2t;3+u-t;1+3u+t \right)$
Do $AB//d\Rightarrow d:\frac{2-u-2t}{1}=\frac{3+u-t}{1}=\frac{1+3u+t}{-1}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} t=1 \\ {} u=-1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow A(1;0;1)\Rightarrow (\Delta ):\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{-1}$
Chọn B.
| Bài tập 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1, d2 có phương trình lần lượt là $\frac{x}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+2}{1}$và $\left\{ \begin{array} {} x=-1+2t \\ {} y=1+t \\ {} z=3 \\ \end{array} \right.(t\in \mathbb{R})$. Phương trình đường thẳng vuông góc với $(P):7x+y-4z=0$và cắt cả hai đường thẳng d1, d2 là
A. $\frac{x}{7}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+2}{-4}$ B. $\frac{x-2}{7}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-4}$ C. $\frac{x+1}{7}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-3}{-4}$ D. $\frac{x+\frac{1}{2}}{7}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-\frac{1}{2}}{-4}$ |
Lời giải chi tiết
Giả sử $d\cap {{d}_{1}}=A\Rightarrow A\in {{d}_{1}}$nên $A(2u;1-u;u-2)$
$d\cap {{d}_{2}}=B\Rightarrow B\in {{d}_{2}}$nên $B(2t-1;t+1;3)$
Vì thế $\overrightarrow{AB}=\left( 2t-2u-1;t+u;5-u \right)$là vecto chỉ phương của d.
Do $d\bot (P)$nên $\overrightarrow{AB}//\overrightarrow{n}=(7;1;-4)$ở đây $\overrightarrow{n}$là vecto pháp tuyến của mp (P)
Từ đó có hệ phương trình $\frac{2t-2u-1}{7}=\frac{t+u}{1}=\frac{5-u}{-4}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 2t-2u-1=7t+7u \\ {} 4(t+u)=u-5 \\ \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} t=-2 \\ {} u=1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{AB}=(-7;-1;4)$và đường thẳng d đi qua điểm $A(2;0;-1)$nên
$(d):\frac{x-2}{7}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-4}$. Chọn B.
| Bài tập 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z}{-2}$;${{d}_{2}}:\frac{x-2}{2}=\frac{y-2}{4}=\frac{z}{-4}$;${{d}_{3}}:\frac{x}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{1}$;${{d}_{4}}:\frac{x-2}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{-1}$
Gọi ∆ là đường thẳng cắt cả bốn đường thẳng. Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của ∆? A. $\overrightarrow{n}=(2;1;1)$ B. $\overrightarrow{n}=(2;1;-1)$ C. $\overrightarrow{n}=(2;0;-1)$ D. $\overrightarrow{n}=(1;2;-2)$ |
Lời giải chi tiết
Ta có $\overrightarrow{{{u}_{({{d}_{1}})}}}=\left( 1;2;-2 \right)$và $\overrightarrow{{{u}_{({{d}_{2}})}}}=\left( 2;4;-4 \right)$suy ra $\overrightarrow{{{u}_{({{d}_{2}})}}}=2\overrightarrow{{{u}_{({{d}_{1}})}}}\Rightarrow ({{d}_{1}})//({{d}_{2}})$
Phương trình mặt phẳng (P) chứa (d1), d(2) là $y+z-2=0$
Gọi $A=({{d}_{3}})\cap (P)\Rightarrow A\left( 1;\frac{1}{2};\frac{3}{2} \right)$và $B=({{d}_{4}})\cap (P)\Rightarrow B\left( 4;2;0 \right)\to \overrightarrow{AB}=\left( 3;\frac{3}{2};-\frac{3}{2} \right)$
Khi đó $\overrightarrow{AB}$ và ${{u}_{({{d}_{1}})}}$không cùng phương $\Rightarrow AB$cắt đường thẳng (d1), (d2)
Vậy $\overrightarrow{{{u}_{(\Delta )}}}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}=\left( 2;1;-1 \right)$là vecto chỉ phương của đường thẳng cắt (d1), (d2), (d3), (d4).
Chọn B.
| Bài tập 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, cho điểm $M(3;3;-2)$và hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{3}=\frac{z}{1}$;${{d}_{2}}:\frac{x+1}{-1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{4}$. Đường thẳng d qua M và cắt d1, d2 lần lượt tại A và B. Độ dài đoạn thẳng AB bằng
A.3 B. 2 C. $\sqrt{6}$ D. $\sqrt{5}$ |
Lời giải chi tiết
Gọi $A(1+t;2+3t;t)\in {{d}_{1}};B(-1-u;1+2u;2+4u)\in {{d}_{2}}$
Ta có: $\overrightarrow{MA}=k.\overrightarrow{MB}\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} t-2=k(-u-4) \\ {} 3t-1=k(2u-2) \\ {} t+2=k(4u+4) \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} t+4k+ku=2 \\ {} 3t+2k-2ku=1 \\ {} t-4k-4ku=-2 \\ \end{array} \right.$
Giải hệ với ẩn t; k và ku $\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} t=0 \\ {} k=\frac{1}{2} \\ {} ku=0 \\ \end{array} \right.\Rightarrow t=0;u=0\Rightarrow A(1;2;0);B(-1;1;2)\Rightarrow AB=3$. Chọn A.
