Các dạng bài tập về khoảng cách trong không gian – 1 điểm đến mặt phẳng, giữa 2 mặt phẳng, 2 đường thẳng

Các dạng bài tập về khoảng cách trong không gian – 1 điểm đến mặt phẳng, giữa 2 mặt phẳng, 2 đường thẳng

1) Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho mặt phẳng $(P):Ax+By+Cz+D=0$ và điểm ${{M}_{o}}({{x}_{o}};{{y}_{o}};{{z}_{o}})$ khi đó khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) được tính theo công thức: 

$d\left( M;(P) \right)=\frac{\left| A{{x}_{o}}+B{{y}_{o}}+C{{z}_{o}} \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}$

2) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Cho mặt phẳng $(P):Ax+By+Cz+D=0$

Mặt phẳng $(Q)//(P)$ và có phương trình $(Q):Ax+By+Cz+E=0$ 

Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q) bằng khoảng cách từ điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng (P) đến mặt phẳng (Q). Ta thấy điểm $H\left( 0;0;\frac{-D}{C} \right)\in (P)$ suy ra:

$d\left( (P);(Q) \right)=d\left( H;(Q) \right)=\frac{\left| C.\frac{-D}{C}+E \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}=\frac{\left| D-E \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}$

 3) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Công thức khoảng cách từ điểm ${{M}_{1}}$ đến đường thẳng $\Delta $ (đi qua điểm ${{M}_{o}}$ và có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u}$) là $d\left( {{M}_{1}};\Delta  \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{0}}};\overrightarrow{u} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|}$ 

Ngoài ra ta còn có thể tìm hình chiếu của điểm ${{M}_{1}}$ trên đường thẳng $\Delta $ và khi đó $d\left( {{M}_{1}};\Delta  \right)={{M}_{1}}H.$ 

4) Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

Công thức khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau ${{d}_{1}}$ (đi qua điểm ${{M}_{1}}$ và có vecto chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}}$) và đường thẳng ${{d}_{2}}$ (đi qua điểm ${{M}_{2}}$ và có vecto chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{2}}}$) là:

$d\left( {{d}_{1}};{{d}_{2}} \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}} \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right] \right|}$

 Ngoài cách làm trên ta có thể tính $d({{d}_{1}};{{d}_{2}})$  như sau:

Gọi (P) là mặt phẳng chứa ${{d}_{2}}$ và song song với ${{d}_{1}}.$ Khi đó (P) xác định, đi qua điểm ${{M}_{2}}$ và có một vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right].$ Khi đó $d\left( {{d}_{1}};{{d}_{2}} \right)=d\left( {{d}_{1}};(P) \right)=d\left( {{M}_{1}};(P) \right).$ 

Bài tập trắc nghiệm khoảng cách trong không gian oxyz có đáp án chi tiết

Bài tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm $A(2;0;0),\,B(0;-1;0),\,C(0;0;3).$ Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (ABC) bằng A. $\frac{7}{6}.$  B. $\frac{36}{49}.$  C. $\frac{49}{36}.$    D. $\frac{6}{7}.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn D

Ta có: $(ABC):\frac{x}{2}-\frac{y}{1}+\frac{z}{3}=1$ hay $(ABC):2x-6y+2z-6=0$ 

Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng $(ABC)$ là: $d:\frac{\left| 3.0-6.0+2.0-6 \right|}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{(-6)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\frac{6}{7}$ 

Bài tập 2: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng $(P):6x-3y+2z-6=0.$ Tính khoảng cách từ d từ điểm $M(1;-2;3)$ đến mặt phẳng (P). A. $d=\frac{12\sqrt{85}}{85}.$  B. $d=\frac{\sqrt{31}}{7}.$  C. $\frac{18}{7}.$                 D. $\frac{12}{7}.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn D

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là $d=\frac{\left| 6.1+3.2+2.3-6 \right|}{\sqrt{{{6}^{2}}+9+4}}=\frac{12}{7}.$ 

Bài tập 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm $A(1;3;2);\,B(3;-1;5)$ và mặt phẳng $(P):x-2y+2z-3=0.$ Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (P) tại M. Tính tỷ số $\frac{AM}{BM}.$  A. $\frac{AM}{BM}=\frac{1}{2}.$  B. $\frac{AM}{BM}=\frac{1}{3}.$  C. $\frac{AM}{BM}=3.$                 D. $\frac{AM}{BM}=2.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn B

Ta có: $\frac{AM}{BM}=\frac{d(A;(P))}{d(B;(P)}=\frac{\left| 1-6+4-3 \right|}{\left| 3+2+10-3 \right|}=\frac{1}{3}.$ 

Bài tập 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P):2x+2y+z+6=0.$ Tìm tọa độ điểm M thuộc tia Oz sao cho khoảng cách từ M đến (P) bằng 3. A. $M(0;0;3).$                                              B. $M(0;0;21).$  C. $M(0;0;-15).$                                                D. $M(0;0;3)$ hoặc $M(0;0;-15).$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn A

Gọi $M(0;0;t)\,\,\,(t>0)$ thuộc tia Oz (phần có cao độ lớn hơn 0) ta có:

$d(M;(P))=\frac{\left| t+6 \right|}{\sqrt{4+4+1}}=3\Leftrightarrow \left| t+6 \right|=9\xrightarrow{t>0}t=3.$ 

Bài tập 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P):2x+2y-z+3=0.$ Tìm tọa độ điểm M thuộc tia Oy sao cho khoảng cách từ M đến (P) bằng 3. A. $M(0;-6;0),$  B. $M(0;-3;0).$  C. $M(0;6;0).$    D. $M(0;3;0).$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn D

Gọi $M(0;t;0)\,(t>0)$  (Do M thuộc tia Oy)

Lại có $d(M;(P))=\frac{\left| 2t+3 \right|}{\sqrt{4+4+1}}=3\Leftrightarrow \left| 2t+3 \right|=9\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=3 \\  & t=-6\,(l) \\ \end{align} \right.$ 

Vậy $M(0;3;0).$ 

Bài tập 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng $(P):x+2y-2z-6=0$ và  $(Q):x+2y-2z+3=0.$ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng A. 1. B. 3. C. 9.   D. 6.

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn B

Lấy điểm $A(0;0;-3)\in (P)\Rightarrow d\left( (P);(Q) \right)=d\left( A;(Q) \right)=\frac{\left| 0+2.0-2(-3)-3 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{(-2)}^{2}}}}=3.$ 

Bài tập 7: Cho mặt phẳng $(P):2x-2z-z+1=0$ và đường thẳng $\Delta :\frac{z-1}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-1}{2}.$ Tính khoảng cách d giữa $\Delta $ và (P) A. $d=\frac{1}{3}.$  B. $d=\frac{5}{3}.$  C. $d=\frac{2}{3}.$   D. $d=2.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn D

Do $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}.\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=4-2-2=0\Rightarrow \Delta //(P)$ 

Lấy điểm $A(1;-2;1)\in \Delta $ ta có: $d\left( \Delta ;(P) \right)=d\left( A;(P) \right)=\frac{\left| 2+4-1+1 \right|}{\sqrt{4+1+1}}=\frac{6}{3}=2.$ 

Bài tập 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng $(P):x+2y-2z-6=0$ và $(Q):x+2y-2z+3=0.$ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng A. 1. B. 3. C. 9.  D. 6.

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn B

Lấy điểm $A(0;0;-3)\in (P)\Rightarrow d\left( (P);(Q) \right)=d\left( A;(Q) \right)=\frac{\left| 0+2.0-2(-3)+3 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{(-2)}^{2}}}}=3.$ 

Bài tập 9: Cho mặt phẳng $(P):x-2y+2z-1=0.$ Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua $M(1;0;-2)$ song song và cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 2 là: A. $x-2y+2z-5=0$ hoặc $x-2y+2z+7=0.$  B. $x-2y+2z-5=0$ hoặc $x-2y+2z-7=0.$ C. $x-2y+2z+5=0$ hoặc $x-2y+2z-7=0.$ D.  $x-2y+2z+5=0$ hoặc $x-2y+2z+7=0.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn C

Ta có phương trình mặt phằng (Q) có dạng: $x-2y+2z+D=0$

Khi đó $d\left( (P);(Q) \right)=\frac{\left| D+1 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{(-2)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=2\Rightarrow \left| D+1 \right|=6\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & D=5 \\  & D=-7 \\ \end{align} \right.$ 

Bài tập 10: Cho 4 điểm $A(2;2;3);B(0;1;0);\,C(1;2;1);\,D(3;1;5).$ Phương trình mặt phẳng (P) cách đều 2 đường thẳng AB  và CD là: A. $14x+4y-8z+3=0.$  B. $14x-4y-8z+1=0.$  C. $14x-4y-8z-3=0.$   D. $14x-4y-8z+3=0.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn D

Ta có: $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} \right]=(-7;2;4)$ suy ra $(P):7x-2y-4z+D=0$ 

Mặt khác $d\left( A;(P) \right)=d\left( C;(P) \right)\Leftrightarrow \left| D-2 \right|=\left| D-1 \right|\Leftrightarrow D=\frac{3}{2}.$ 

Vậy $(P):14x-4y-8z+3=0.$ 

Bài tập 11: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau: a) $M(2;3;1);\,d:\frac{x+2}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+1}{-2}$  b) $M(1;0;0);\,d:\frac{x-3}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-1}{1}$

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $A(-2;1;-1)\in d\Rightarrow \overrightarrow{AM}=(4;2;2);\overrightarrow{{{u}_{d}}}=(1;2;-2)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AM};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=(-8;10;6)$ 

Do đó $d(M;d)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{AM};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}=\frac{\sqrt{64+100+36}}{\sqrt{9}}=\frac{10\sqrt{2}}{3}.$ 

b) Ta có: $A(3;3;1)\in d\Rightarrow \overrightarrow{AM}(-2;-3;-1);\overrightarrow{{{u}_{d}}}(1;2;1)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AM};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=(-1;1;-1)$ 

Do đó $d(M;d)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{AM};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$ 

Bài tập 12: Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau: a) ${{d}_{1}}:\left\{ \begin{align}  & x=2-3t \\  & y=2t \\  & z=4-2t \\ \end{align} \right.$ và ${{d}_{2}}:\frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+1}{2}$  b) ${{d}_{1}}:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z+1}{2}$ và ${{d}_{2}}:\frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{-4}=\frac{z-1}{-5}$

Lời giải chi tiết

a)Cách 1: Đường thẳng ${{d}_{1}}$ qua $A(2;0;4)$ và có VTCP: $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=(-3;2;-2)$ 

Đường thẳng ${{d}_{2}}$ qua $B(1;2;-1)$ và có VTCP: $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=(3;1;2)$ 

Gọi (P) là mặt phẳng chứa ${{d}_{1}}$ và song song với ${{d}_{2}}$ ta có: $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=(6;0;-9)=3(2;0;-3)$ 

Suy ra $(P):2x-3z+8=0\Rightarrow d({{d}_{1}};{{d}_{2}})=d({{d}_{2}};(P))=d(B;(P))=\frac{\left| 13 \right|}{\sqrt{13}}=\sqrt{13}.$ 

Cách 2: Ta có: $d({{d}_{1}};{{d}_{2}})=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]\overrightarrow{AB} \right|}{\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]}=\frac{\left| (6;0;-9).(-1;2;-5) \right|}{\sqrt{36+81}}=\sqrt{13}.$ 

b) Cách 1: Đường thẳng ${{d}_{1}}$ qua $A(1;0;-1)$ và có VTCP $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=(1;-2;2)$ 

Đường thẳng ${{d}_{2}}$ qua $B(2;3;1)$ và có VTCP: $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=(2;-4;-5)$ 

Gọi (P) là mặt phẳng chứa ${{d}_{1}}$ và song song với ${{d}_{2}}$ ta có: $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=(18;9;0)=9(2;1;0)$ 

Suy ra $(P):2x+y-2=0\Rightarrow d({{d}_{1}};{{d}_{2}})=d({{d}_{2}};(P))=d(B;(P))=\sqrt{5}$ 

Cách 2: Ta có: $d({{d}_{1}};{{d}_{2}})=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]\overrightarrow{AB} \right|}{\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]}=\frac{\left| 9(2;1;0).(1;3;2) \right|}{9\sqrt{5}}=\sqrt{5}$ 

Bài tập 13: Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng $(d):\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-2}{1}$ và điểm $M(-3;1;2).$ Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là: A. $\sqrt{14}.$  B. $\sqrt{6}.$  C. $2\sqrt{5}.$   D. $2\sqrt{7}.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn A

Ta có: $A(1;-1;2)\in d\Rightarrow \overrightarrow{AM}=(-4;2;0);\overrightarrow{{{u}_{d}}}=(2;1;1)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AM};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=(2;4;-8)$ 

Do đó $d(M;d)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{AM};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}=\frac{\sqrt{4+16+64}}{\sqrt{6}}=\sqrt{14}.$ 

Bài tập 14: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{3}$ và ${{d}_{2}}:\frac{x-1}{-1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{1}$ . Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$  A. $\sqrt{26}.$  B. $\frac{\sqrt{13}}{13}.$  C. $\frac{\sqrt{26}}{13}.$   D. $2\sqrt{2}.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn C

Cách 1: Đường thẳng ${{d}_{1}}$ qua $A(1;2;3)$ và có VTCP: $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=(1;2;3)$ 

Đường thẳng ${{d}_{2}}$ qua $B(1;0;1)$ và có VTCP: $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=(-1;1;1)$

Gọi (P) là mặt phẳng chứa ${{d}_{1}}$ và song song với ${{d}_{2}}$ ta có: $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=(-1;-4;3)=-(1;4;-3)$ 

Suy ra $(P):x+4y-3z=0\Rightarrow d({{d}_{1}};{{d}_{2}})=d\left( {{d}_{2}}(P) \right)=d(B;(P))=\frac{\left| -2 \right|}{\sqrt{1+16+9}}=\frac{2}{\sqrt{26}}=\frac{\sqrt{26}}{13}.$ 

Cách 2: Ta có: $d({{d}_{1}};{{d}_{2}})=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]\overrightarrow{AB} \right|}{\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]}=\frac{\left| (-1;-4;3).(0;-2;-2) \right|}{\sqrt{1+16+9}}=\frac{\left| 2 \right|}{\sqrt{26}}=\frac{\sqrt{26}}{13}.$ 

Bài tập 15: Cho mặt phẳng $(P):2x-y-2z=0$ và đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z+2}{2}.$ Tọa độ điểm A thuộc Ox sao cho A cách đều d và (P) là A. $A(-3;0;0).$  B. $A(3;0;0).$  C. $A(3;3;0).$   D. $A(3;0;3).$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn B

Gọi $A(t;0;0)$ suy ra $d(A;(P))=\frac{2\left| t \right|}{3};d(A;d)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{AM};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}$ trong đó $M(1;0;-2)$ 

Suy ra $d(A;d)=\frac{\left[ \overrightarrow{AM};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}=\frac{\sqrt{16+{{(2t-4)}^{2}}+{{(2-2t)}^{2}}}}{3}=\frac{2\left| t \right|}{3}$ 

$\Leftrightarrow 36-24t+4{{t}^{2}}=0\Leftrightarrow t=3.$ ..