Bài tập Tính đơn điệu và cực trị của hàm số lũy thừa, mũ, logarit có đáp án
Một số bài tập trắc nghiệm tìm cực trị mũ logarit có đáp án như: Hàm số mũ e có bao nhiêu cực trị
| Bài tập 1: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập $\mathbb{R}.$
A. $y={{\left( \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3} \right)}^{x}}.$ B. $y={{\log }_{2}}x.$ C. $y={{\left( \frac{e}{\pi } \right)}^{x}}.$ D. $y={{2}^{-x}}.$ |
Lời giải chi tiết:
Do $\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3}>1$ nên hàm số $y={{\left( \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3} \right)}^{x}}$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$
Hàm số $y={{\left( \frac{e}{\pi } \right)}^{x}}$ và $y={{2}^{-x}}$ nghịch biến trên $\mathbb{R}.$
Hàm số $y={{\log }_{2}}x$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right).$ Chọn A.
Lời giải chi tiết:
Ta có: $\left\{ \begin{array} {} {{a}^{\frac{\sqrt{3}}{3}}}>{{a}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}} \\ {} \frac{\sqrt{3}}{3}<\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \end{array} \right.\Rightarrow 0<a<1,$ lại có: $\left\{ \begin{array} {} {{\log }_{b}}\frac{3}{4}<{{\log }_{b}}\frac{4}{5} \\ {} \frac{3}{4}1.$ Chọn A.
| Bài tập 3: Nếu ${{a}^{\frac{15}{8}}}{{\log }_{b}}\frac{\sqrt{5}}{3}$ thì kết luận nào sau đây đúng:
A. $a>1;b>1.$ B. $a>1;0<b<1.$ C. $0<a<1;0<b<1.$ D. $0<a1.$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có: $\left\{ \begin{array} {} {{a}^{\frac{15}{8}}}\frac{19}{11} \\ \end{array} \right.\Rightarrow 0<a{{\log }_{b}}\frac{\sqrt{5}}{3} \\ {} \frac{\sqrt{3}}{2}>\frac{\sqrt{5}}{3} \\ \end{array} \right.\Rightarrow b>1.$ Chọn D.
| Bài tập 4: Cho ${{\left( a-1 \right)}^{\frac{-3}{4}}}>{{\left( a-1 \right)}^{\frac{-4}{5}}}$ và $\sqrt{{{b}^{3}}}>\sqrt[3]{{{b}^{2}}}.$ Khẳng định nào sau đây là đúng.
A. $a;b>1.$ B. $0<a1.$ C. $0<a<2;b<1.$ D. $a>2;b>1$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có: $\left\{ \begin{array} {} {{\left( a-1 \right)}^{\frac{-3}{4}}}>{{\left( a-1 \right)}^{\frac{-4}{5}}} \\ {} \frac{-3}{4}>\frac{-4}{5} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left( a-1 \right)>1\Leftrightarrow a>2.$
Mặt khác $\sqrt{{{b}^{3}}}>\sqrt[3]{{{b}^{2}}}\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} {{b}^{\frac{3}{2}}}>{{b}^{\frac{2}{3}}} \\ {} \frac{3}{2}>\frac{2}{3} \\ \end{array} \right.\Rightarrow b>1.$ Chọn D.
| Bài tập 5: Với giá trị nào của $a$ thì hàm số $y={{\left( 3a-{{a}^{2}}+1 \right)}^{x}}$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$
A. $a<0.$ B. $0<a<2.$ C. $0<a<3.$ D. $a>3.$ |
Lời giải chi tiết:
Hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}\Leftrightarrow 3a-{{a}^{2}}+1>1\Leftrightarrow 3a-{{a}^{2}}>0\Leftrightarrow 0<a<3.$ Chọn C.
| Bài tập 6: Hàm số $y={{\log }_{0,5}}\left( -{{x}^{2}}+x \right)$ nghịch biến trên khoảng.
A. $\left( 0;+\infty \right).$ B. $\left( 0;1 \right).$ C. $\left( 0;\frac{1}{2} \right).$ D. $\left( \frac{1}{2};1 \right).$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có: $y={{\log }_{0,5}}\left( -{{x}^{2}}+x \right)$ có TXĐ là: $\left( 0;1 \right)$
Mặt khác $y’=\frac{-2x+1}{\left( -{{x}^{2}}+x \right)\ln \frac{1}{2}}0\Leftrightarrow x<\frac{1}{2}$ (Do $\ln \frac{1}{2}<0).$
Do đó hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( 0;\frac{1}{2} \right).$ Chọn C.
| Bài tập 7: Cho hàm số $y={{\left( \frac{3}{4} \right)}^{{{x}^{2}}-2x+2}}.$ Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng.
A. Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}.$ B. Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}.$ C. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;1 \right).$ D. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 1;+\infty \right).$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có: $y’={{\left( \frac{3}{4} \right)}^{{{x}^{2}}-2x+2}}.\ln \frac{3}{4}.\left( 2x-2 \right)>0\Leftrightarrow 2x-2<0\Leftrightarrow x<1$ (Do $\ln \frac{3}{4}<0)$
Do đó hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;1 \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( 1;+\infty \right).$ Chọn C.
| Bài tập 8: Cho hàm số $y=\left( {{x}^{2}}-2x+2 \right){{e}^{x}}.$ Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;+\infty \right).$ B. Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị. C. Hàm số đã cho có 1 điểm cực trị. D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;1 \right).$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có: $y’=\left( 2x-2 \right){{e}^{x}}+\left( {{x}^{2}}-2x+2 \right){{e}^{x}}={{x}^{2}}{{e}^{x}}\ge 0\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)$
Do đó hàm số cho đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;+\infty \right).$ Chọn A.
| Bài tập 9: Cho hàm số $f\left( x \right)=x-\ln \left( 1+x \right).$ Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. $f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( -1;0 \right).$ B. $f\left( x \right)$ đạt cực đại tại điểm $x=0.$ C. $f\left( x \right)$ đạt cực tiểu tại điểm $x=0.$ D. $f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( -1;+\infty \right).$ |
Lời giải chi tiết:
TXĐ: $D=\left( -1;+\infty \right),$ ta có: $f’\left( x \right)=1-\frac{1}{x+1}=\frac{x}{x+1}$
Do $f’\left( x \right)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm $x=0$ nên $x=0$ là điểm cực tiểu của hàm số đã cho. Chọn C.
| Bài tập 10: Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{2}}\ln x.$ Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. $f\left( x \right)$ đạt cực đại tại điểm $x=\frac{1}{\sqrt{e}}.$ B. $f\left( x \right)$ đạt cực tiểu tại điểm $x=\frac{1}{\sqrt{e}}.$ C. $f\left( x \right)$ đạt cực đại tại điểm $x=\sqrt{e}.$ D. $f\left( x \right)$ đạt cực tiểu tại điểm $x=\sqrt{e}.$ |
Lời giải chi tiết:
TXĐ: $x\in \left( 0;+\infty \right).$
Ta có: $f’\left( x \right)=2x\ln x+{{x}^{2}}.\frac{1}{x}=x\left( 2\ln x+1 \right)=0\Rightarrow \ln x=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\frac{1}{\sqrt{e}}.$
Do $f’\left( x \right)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm $x=\frac{1}{\sqrt{e}}$ nên $x=\frac{1}{\sqrt{e}}$ là điểm cực tiểu của hàm số. Chọn B.
| Bài tập 11: Tìm m để hàm số $y=\text{ln}\left( {{x}^{2}}+1 \right)-mx+1$ hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;+\infty \right)$.
A. $m\in \text{(}-\infty \text{;}-1\text{)}.$ B. $m\in \text{(}-1\text{;}1\text{)}.$ C. $m\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }-1\text{;}1\text{ }\!\!]\!\!\text{ }\text{.}$ D. $\text{m}\in \text{(-}\infty \text{;-1 }\!\!]\!\!\text{ }\text{.}$ |
Lời giải chi tiết:
TXĐ: $D=\mathbb{R}$ ta có: ${{y}^{‘}}=\frac{2x}{{{x}^{2}}+1}-m=\frac{-m{{x}^{2}}+2x-m}{{{x}^{2}}+1}$
Với $m=0\Rightarrow {{y}^{‘}}=\frac{2x}{{{x}^{2}}+1}\Rightarrow $hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0\text{;+}\infty \right)$.
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( -\infty \text{;+}\infty \right)\Leftrightarrow -m{{x}^{2}}+2x-m\ge 0\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} a=m>0 \\ {} \Delta ‘=1-{{m}^{2}}\le 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left( -\infty \text{;-1} \right]$. Chọn D.
| Bài tập 12: Cho hàm số $y={{\left( \frac{4}{2017} \right)}^{{{e}^{3x}}-\left( m-1 \right){{e}^{x}}+1}}.$ Tìm $m$ để hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 1;2 \right)$
A. $3{{e}^{3}}+1\le m<3{{e}^{4}}+1.$ B. $m\ge 3{{e}^{4}}+1.$ C. $3{{e}^{2}}+1\le m\le 3{{e}^{3}}+1.$ D. $m<3{{e}^{2}}+1.$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có $y’={{\left[ {{\left( \frac{4}{2017} \right)}^{{{e}^{3x}}-\left( m-1 \right){{e}^{x}}+1}} \right]}^{\prime }}=\ln \frac{4}{2017}.{{\left( \frac{4}{2017} \right)}^{{{e}^{3x}}-\left( m-1 \right){{e}^{x}}+1}}.\left[ 3{{e}^{3x}}-\left( m-1 \right){{e}^{x}} \right]$
Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 1;2 \right)\Leftrightarrow {y}’\ge 0\Leftrightarrow 3{{e}^{3x}}-\left( m-1 \right){{e}^{x}}\le 0\left( \forall x\in \left( 1;2 \right) \right)$
$\Leftrightarrow 3{{e}^{2x}}-m+1\le 0\Leftrightarrow m\ge 3{{e}^{2x}}+1=f\left( x \right)\left( \forall x\in \left( 1;2 \right) \right)\Leftrightarrow m\ge \underset{\left( 1;2 \right)}{\mathop{Max}}\,f\left( x \right)$
Lại có: $f’\left( x \right)-6{{e}^{2x}}>0\left( \forall x\in \left( 1;2 \right) \right)\Rightarrow \underset{\left( 1;2 \right)}{\mathop{Max}}\,f\left( x \right)-f\left( 2 \right)-3{{e}^{4}}+1.$
Vậy $m\ge 3{{e}^{4}}+1.$ Chọn B.
| Bài tập 13: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực $m$ để hàm số $y={{4}^{x}}-{{2}^{x+2}}-mx+1$ đồng biến trên khoảng $\left( -1;1 \right)$
A. $\left( -\infty ;-\frac{1}{2}\ln 2 \right].$ B. $\left( -\infty ;0 \right].$ C. $\left( -\infty ;-2\ln 2 \right].$ D. $\left( -\infty ;-\frac{3}{2}\ln 2 \right].$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có $y’={{\left( {{4}^{x}}-{{2}^{x+2}}-mx+1 \right)}^{\prime }}={{4}^{x}}\ln 4-{{4.2}^{x}}\ln 2-m.$
Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -1;1 \right)$ khi và chỉ khi ${y}’\ge 0$ với $\forall x\in \left( -1;1 \right).$
Suy ra ${{4}^{x}}\ln 4-{{4.2}^{x}}\ln 2-m\ge 0\left( \forall x\in \left( -1;1 \right) \right)\xrightarrow{t={{2}^{x}}}m\le {{t}^{2}}\ln 4-4t\ln 2=f\left( t \right)\left( \forall t\in \left( \frac{1}{2};2 \right) \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{2}}\ln 4-4t\ln 2,t\in \left( \frac{1}{2};2 \right)\Rightarrow {f}’\left( t \right)=2t\ln 4-4\ln 2\Rightarrow {f}’\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=1.$
Xét bảng biến thiên hàm số $f\left( t \right)$ trên khoảng $\left( \frac{1}{2};2 \right),$ suy ra $\underset{\left( \frac{1}{2};2 \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( t \right)=f\left( 1 \right)=-2\ln 2$
Do đó $m\le \underset{\left( \frac{1}{2};1 \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( t \right)\Leftrightarrow m\le -2\ln 2$ là giá trị cần tìm. Chọn C.
| Bài tập 14: Tập hợp các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{{{e}^{x}}-m-2}{{{e}^{x}}-{{m}^{2}}}$ đồng biến trên khoảng $\left( \ln \frac{1}{4};0 \right)$
A. $\left( 1;2 \right).$ B. $\left[ -\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right]\cup \left[ 1;2 \right).$ C. $\left[ -\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right].$ D. $\left[ -1;2 \right].$ |
Lời giải chi tiết:
Xét hàm số $y=\frac{{{e}^{x}}-m-2}{{{e}^{x}}-{{m}^{2}}}$ trên khoảng $\left( \ln \frac{1}{4};0 \right),$ ta có $y’=\frac{\left( 2+m-{{m}^{2}} \right).{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}}-{{m}^{2}} \right)}^{2}}};\forall x\in \left( \ln \frac{1}{4};0 \right).$
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} y’>0;\forall x\in \left( \ln \frac{1}{4};0 \right) \\ {} {{m}^{2}}\ne {{e}^{x}};\forall x\in \left( \ln \frac{1}{4};0 \right) \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 2+m-{{m}^{2}}>0 \\ {} \left[ \begin{array} {} {{m}^{2}}\ge 1 \\ {} {{m}^{2}}\le \frac{1}{4} \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} -\frac{1}{2}\le m\le \frac{1}{2} \\ {} 1\le m<2 \\ \end{array} \right..$ Chọn B.
| Bài tập 15: Tìm tập các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=\ln \left( 3x-1 \right)-\frac{m}{x}+2$ đồng biến trên khoảng $\left( \frac{1}{2};+\infty \right)$
A. $\left[ -\frac{7}{3};+\infty \right).$ B. $\left[ -\frac{1}{3};+\infty \right).$ C. $\left[ -\frac{4}{3};+\infty \right).$ D. $\left[ \frac{2}{9};+\infty \right).$ |
Lời giải chi tiết:
Xét hàm số $y=\ln \left( 3x-1 \right)-\frac{m}{x}+2$ trên khoảng $\left( \frac{1}{2};+\infty \right),$ ta có $y’=\frac{3}{3x-1}+\frac{m}{{{x}^{2}}}=\frac{3{{x}^{2}}+m\left( 3x-1 \right)}{{{x}^{2}}\left( 3x-1 \right)}.$
Để hàm số đồng biến trên khoảng $\left( \frac{1}{2};+\infty \right)\Leftrightarrow y’\ge 0;\forall x\in \left( \frac{1}{2};+\infty \right)$
$\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+m\left( 3x-1 \right)\ge 0\Leftrightarrow \frac{3{{x}^{2}}}{3x-1}+m\ge 0\Leftrightarrow m\ge \frac{3{{x}^{2}}}{1-3x};\forall x\in \left( \frac{1}{2};+\infty \right)\Rightarrow m\ge \underset{\left( \frac{1}{2};+\infty \right)}{\mathop{\max }}\,\left\{ \frac{3{{x}^{2}}}{1-3x} \right\}\left( 1 \right).$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\frac{3{{x}^{2}}}{1-3x}$ trên $\left( \frac{1}{2};+\infty \right),$ có $f’\left( x \right)=\frac{3x\left( 3x-2 \right)}{{{\left( 3x-1 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow x=\frac{2}{3}.$
Tính các giá trị $f\left( \frac{1}{2} \right)=-\frac{3}{2};f\left( \frac{2}{3} \right)=-\frac{4}{3};\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-\infty $ suy ra $\underset{\left( \frac{1}{2};+\infty \right)}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=-\frac{4}{3}\left( 2 \right).$
Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ suy ra $m\ge -\frac{4}{3}\Rightarrow m\in \left[ -\frac{4}{3};+\infty \right)$ là giá trị cần tìm. Chọn C.
