Bài tập Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số lũy thừa, mũ, logarit có đáp án
Một số câu trắc nghiệm tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức logarit có Lời giải chi tiết
|
Bài tập 1: Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{\ln x}{x}$ trên $\left[ 1;e \right]$ là A. $e.$ B. 1. C. $\frac{1}{e}.$ D. 0. |
Lời giải chi tiết:
Ta có: $y’=\frac{\ln x-1}{{{x}^{2}}}=0\Leftrightarrow x=e$
Lại có: $y\left( 1 \right)=0;y\left( e \right)=\frac{1}{e}\Rightarrow $ Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{\ln x}{x}$ trên $\left[ 1;e \right]$ là 0. Chọn D.
|
Bài tập 2: Giá trị lớn nhất $M$ của hàm số $y=x{{e}^{-2{{x}^{2}}}}$ trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$ bằng: A. $M=2{{e}^{-3}}.$ B. $M={{e}^{-2}}.$ C. $M=\frac{1}{2}{{e}^{-3}}.$ D. $M=\frac{1}{2\sqrt{e}}.$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có: $y’={{e}^{-2{{x}^{2}}}}-4{{x}^{2}}.{{e}^{-2{{x}^{2}}}}=0\Leftrightarrow {{e}^{-2{{x}^{2}}}}\left( 1-4{{x}^{2}} \right)$
Với $x\in \left[ 0;1 \right]\Rightarrow y’=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}.$ Ta có: $y\left( 0 \right)=0;y\left( \frac{1}{2} \right)=\frac{1}{2\sqrt{e}};y\left( 1 \right)=\frac{1}{{{e}^{2}}}$
Do đó $M=\frac{1}{2\sqrt{e}}.$ Chọn D.
|
Bài tập 3: Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y={{x}^{2}}-2\ln x$ trên đoạn $\left[ \frac{1}{e};e \right]$ là: A. $T={{e}^{2}}-1.$ B. $T={{e}^{2}}-\frac{1}{{{e}^{2}}}.$ C. $T=2+\frac{1}{{{e}^{2}}}.$ D. $T=3+\frac{1}{{{e}^{2}}}.$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có: $y’=2x-\frac{2}{x}=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}=1\xrightarrow{x\in \left[ \frac{1}{e};e \right]}x=1$
Lại có: $y\left( \frac{1}{e} \right)=\frac{1}{{{e}^{2}}}+2;y\left( 1 \right)=1;y\left( e \right)={{e}^{2}}-2$
Do đó $\underset{\left[ \frac{1}{e};e \right]}{\mathop{Max}}\,y={{e}^{2}}-2;\underset{\left[ \frac{1}{e};e \right]}{\mathop{Min}}\,y=1\Rightarrow T={{e}^{2}}-1.$ Chọn A.
|
Bài tập 4: Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y=x{{e}^{x}}-2{{e}^{x}}$ trên đoạn $\left[ 0;3 \right]$ là: A. $T={{e}^{2}}-1.$ B. $T={{e}^{3}}-{{e}^{2}}.$ C. $T={{e}^{3}}-e.$ D. $T={{e}^{3}}-2.$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có: $y’=x{{e}^{x}}+{{e}^{x}}-2{{e}^{x}}=x{{e}^{x}}-{{e}^{x}}=0\Leftrightarrow x=1.$
Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn $\left[ 0;3 \right]$
Lại có: $y\left( 0 \right)=-2;y\left( 1 \right)=-e;y\left( 3 \right)={{e}^{3}}.$ Do đó $\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }}\,y=-e;\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\max }}\,y={{e}^{3}}$
Vậy $T={{e}^{3}}-e.$ Chọn C.
|
Bài tập 5: Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y={{4}^{x}}-{{2}^{x+1}}$ trên đoạn $\left[ -1;1 \right]$ là: A. $\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }}\,y=-\frac{3}{4};\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }}\,y=2$ B. $\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }}\,y=-\frac{3}{4};\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }}\,y=0.$ C. $\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }}\,y=-1;\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }}\,y=1.$ D. $\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }}\,y=-1;\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }}\,y=0.$ . |
Lời giải chi tiết:
Ta có: $y={{2}^{2x}}-{{2.2}^{x}}.$ Đặt $t={{2}^{x}}\Rightarrow t\in \left[ {{2}^{-1}};{{2}^{1}} \right]=\left[ \frac{1}{2};2 \right]$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{2}}-2t$ trên đoạn $\left[ \frac{1}{2};2 \right]$ ta có: $f’\left( t \right)=2t-2=0\Leftrightarrow t=1$
Hàm số $f\left( t \right)$ xác định và liên tục trên đoạn $\left[ \frac{1}{2};2 \right].$
Lại có $f\left( \frac{1}{2} \right)=\frac{-3}{4};f\left( 1 \right)=-1;f\left( 2 \right)=0.$ Do đó $\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }}\,y=-1;\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }}\,y=0.$ Chọn D.
|
Bài tập 6: Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x\ln x$ trên đoạn $\left[ \frac{1}{{{e}^{2}}};e \right]$ là: A. $T=e.$ B. $T=e-\frac{2}{{{e}^{2}}}.$ C. $T=\frac{-1}{e}-\frac{2}{{{e}^{2}}}.$ D. $T=e-\frac{1}{e}.$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có: $y’=\ln x+1=0\Leftrightarrow x={{e}^{-1}}=\frac{1}{e}.$ Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn $\left[ \frac{1}{{{e}^{2}}};e \right].$
Mặt khác $y\left( \frac{1}{{{e}^{2}}} \right)=\frac{-2}{{{e}^{2}}};y\left( \frac{1}{e} \right)=\frac{-1}{e};y\left( e \right)=e.$ Do đó $\underset{\left[ \frac{1}{{{e}^{2}}};e \right]}{\mathop{\min }}\,y=-\frac{1}{e};\underset{\left[ \frac{1}{{{e}^{2}}};e \right]}{\mathop{\max }}\,y=e$
Do đó $T=e-\frac{1}{e}.$ Chọn D.
|
Bài tập 7: Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{\ln x}{x}$ trên đoạn $\left[ \frac{1}{e};{{e}^{2}} \right]$ là: A. $T=\frac{1}{e}.$ B. $T=\frac{1}{e}-e.$ C. $T=\frac{-1}{e}+\frac{2}{{{e}^{2}}}.$ D. $T=e-\frac{1}{e}.$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có: $y’=\frac{1-\ln x}{{{x}^{2}}}=0\Leftrightarrow x=e.$ Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn $\left[ \frac{1}{e};{{e}^{2}} \right].$
Lại có $y\left( \frac{1}{e} \right)=-e;y\left( e \right)=\frac{1}{e};y\left( {{e}^{2}} \right)=\frac{2}{{{e}^{2}}}.$ Do đó $\underset{\left[ \frac{1}{e};{{e}^{2}} \right]}{\mathop{\min }}\,y=-e;\underset{\left[ \frac{1}{e};{{e}^{2}} \right]}{\mathop{\max }}\,y=\frac{1}{e}$
Do đó $T=\frac{1}{e}-e.$ Chọn B.
|
Bài tập 8: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right)={{e}^{-{{x}^{2}}+2x}}-{{x}^{3}}+3x$ trên đoạn $\left[ 0;2 \right]$ là: A. $2e-2$ và $-1.$ B. $e+2$ và $-1.$ C. $e+2$ và $1.$ D. $2e-2$ và $1.$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có: $f’\left( x \right)={{e}^{-{{x}^{2}}+2x}}.\left( -2x+2 \right)-3{{x}^{2}}+3=\left( 1-x \right)\left( 2{{e}^{-{{x}^{2}}+2x}}+x+1 \right)$
Xét $x\in \left[ 0;2 \right]$ thì $f’\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=1$
Mặt khác $f\left( 0 \right)=1;f\left( 1 \right)=e+2;f\left( 2 \right)=-1$ suy ra $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{Max}}\,f\left( x \right)=e+2$ và $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{Min}}\,f\left( x \right)=-1.$ Chọn B.
|
Bài tập 9: Một chất điểm chuyển động có phương trình vận tốc là $v\left( t \right)=e+{{e}^{{{t}^{2}}-2t}}$ $\left( m/s \right)$ ($t:$ giây là thời gian chuyển động). Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây đầu tiên, vận tốc nhỏ nhất của chất điểm là bao nhiêu? A. $v=e+1\left( m/s \right).$ B. $v=e+\frac{1}{{{e}^{2}}}\left( m/s \right).$ C. $v=e+\frac{1}{e}\left( m/s \right).$ D. $v=e+\frac{1}{{{e}^{4}}}\left( m/s \right).$ |
Lời giải chi tiết:
Xét hàm số $v\left( t \right)=e+{{e}^{{{t}^{2}}-2t}}\left( m/s \right)$ với $t\in \left[ 0;10 \right]$
Ta có: $v’\left( t \right)=\left( 2t-2 \right){{e}^{{{t}^{2}}-2t}}=0\Leftrightarrow t=1$
Khi đó $v\left( 0 \right)=e+1;v\left( 1 \right)=e+\frac{1}{e};v\left( 10 \right)=e+{{e}^{80}}\Rightarrow {{v}_{\min }}=e+\frac{1}{e}.$ Chọn C.
|
Bài tập 10: Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right)={{e}^{2x}}-3{{e}^{x}}-1$ trên đoạn $\left[ 0;\ln 3 \right]$ là: A. $\frac{-17}{4}.$ B. $\frac{-11}{4}.$ C. $-5.$ D. $-3.$ . |
Lời giải chi tiết:
Đặt $t={{e}^{x}},$ với $x\in \left[ 0;\ln 3 \right]\Rightarrow t\in \left[ 1;3 \right]$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{2}}-3t-1$ trên đoạn $\left[ 1;3 \right]$ ta có: $f’\left( t \right)=2t-3=0\Leftrightarrow t=\frac{3}{2}$
Mặt khác $f\left( 1 \right)=-3;f\left( \frac{3}{2} \right)=\frac{-13}{4};f\left( 3 \right)=-1\Rightarrow \left\{ \begin{align} & \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{Max}}\,f\left( t \right)=-1 \\ & \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{Min}}\,f\left( t \right)=\frac{-13}{4} \\ \end{align} \right.\Rightarrow T=\frac{-17}{4}.$ Chọn A.
|
Bài tập 11: Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right)={{3}^{2{{\sin }^{2}}x}}+{{3}^{{{\cos }^{2}}x}}.$ Tính giá trị biểu thức $P=M+{{\left( \frac{2m}{9} \right)}^{3}}.$ A. $P=\frac{10}{3}.$ B. $P=1.$ C. $P=\frac{35}{3}.$ D. $P=\frac{32}{3}.$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có $f\left( x \right)={{3}^{2{{\sin }^{2}}x}}+{{3}^{{{\cos }^{2}}x}}={{3}^{2{{\sin }^{2}}x}}+{{3}^{1-{{\sin }^{2}}x}}=3={{\left( 3{{\sin }^{2}}x \right)}^{2}}+\frac{3}{{{3}^{{{\sin }^{2}}x}}}$
Đặt $t={{3}^{{{\sin }^{2}}x}}$ do $0\le {{\sin }^{2}}x\le 1\Rightarrow 1\le {{3}^{{{\sin }^{2}}x}}\le 3\Rightarrow t\in \left[ 1;3 \right]$ khi đó ${{\left( {{3}^{{{\sin }^{2}}x}} \right)}^{2}}+\frac{3}{{{3}^{{{\sin }^{2}}x}}}={{t}^{2}}+\frac{3}{t}$
Xét hàm số $g\left( t \right)={{t}^{2}}+\frac{3}{t}$ với $t\in \left[ 1;3 \right].$ Ta có $g’\left( t \right)=2t-\frac{3}{{{t}^{2}}};g’\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=\sqrt[3]{\frac{3}{2}}$
Ta có $f\left( 1 \right)=4;f\left( 3 \right)=10;f\left( \sqrt[3]{\frac{3}{2}} \right)=\sqrt[3]{\frac{243}{4}}\Rightarrow M=10;m=\sqrt[3]{\frac{243}{4}}\Rightarrow P=\frac{32}{3}.$ Chọn D.
