Cách Viết phương trình đường phân giác của 2 đường thẳng trong không gian Oxyz
Phương pháp lập phương trình đường phân giác
Giả sử cần viết phương trình đường phân giác d’ của góc nhọn tạo bởi d và ∆
– Bước 1: Tìm giao điểm $A=d\cap \Delta $
Tính $\overrightarrow{{{u}_{d}}}\Rightarrow \left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|$và $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\Rightarrow \left| \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right|$
Kiểm tra góc giữa $\left( \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right)$, nếu $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}>0\Rightarrow cos\left( \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right)>0\Rightarrow \overset\frown{\left( \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right)}$là góc nhọn và nếu $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}<0\Rightarrow cos\left( \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right)<0\Rightarrow \overset\frown{\left( \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right)}$là góc tù.
– Bước 2: Nếu $\overset\frown{\left( \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right)}$là góc nhọn thì $\overrightarrow{{{u}_{d’}}}=\frac{\overrightarrow{{{u}_{d}}}}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}+\frac{\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}}{\left| \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right|}$
Nếu $\overset\frown{\left( \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right)}$là góc tù thì $\overrightarrow{{{u}_{d’}}}=\frac{\overrightarrow{{{u}_{d}}}}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}-\frac{\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}}{\left| \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right|}$
Cách 2: Lấy điểm B thuộc d, tìm điểm C trên ∆ sao cho AB = AC
Ta được 2 điểm $C\in \Delta $thỏa mãn AB = AC
Chọn điểm C sao cho $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}>0\Rightarrow \overset\frown{BAC}$là góc nhọn, đường thẳng d’ qua trung điểm I của BC và có vec tơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{d’}}}=\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$
Bài tập trắc nghiệm viết phương trình đường phân giác trong không gian có đáp án chi tiét
| Bài tập 1: [Đề thi THPT Quốc gia năm 2018] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{array} {} x=1+3t \\ {} y=1+4t \\ {} z=1 \\ \end{array} \right.$. Gọi ∆ là đường thẳng qua $A(1;1;1)$và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( 1;-2;2 \right)$
Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi d và ∆ có phương trình là : A. $\left\{ \begin{array} {} x=1+7t \\ {} y=1+t \\ {} z=1+5t \\ \end{array} \right.$ B. $\left\{ \begin{array} {} x=-1+2t \\ {} y=-10+11t \\ {} z=-6-5t \\ \end{array} \right.$ C. $\left\{ \begin{array} {} x=-1+2t \\ {} y=-10+11t \\ {} z=6-5t \\ \end{array} \right.$ D. $\left\{ \begin{array} {} x=1+3t \\ {} y=1+4t \\ {} z=1-5t \\ \end{array} \right.$ |
Lời giải chi tiết
Đường thẳng d và ∆ cắt nhau tại $A(1;1;1)$
Ta có: ${{\overrightarrow{u}}_{d}}=(3;4;0)\Rightarrow \left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|=5$và ${{\overrightarrow{u}}_{\Delta }}=(1;-2;2)\Rightarrow \left| \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right|=3$
Do ${{\overrightarrow{u}}_{\Delta }}.{{\overrightarrow{u}}_{d}}=-5<0\Rightarrow cos\left( {{\overrightarrow{u}}_{\Delta }}.{{\overrightarrow{u}}_{d}} \right)<0\Rightarrow \widehat{\left( {{\overrightarrow{u}}_{\Delta }}.{{\overrightarrow{u}}_{d}} \right)}$là góc tù
Một VTCP của đường phân giác d’ cần lập là:
$\overrightarrow{{{u}_{d’}}}=\frac{\overrightarrow{{{u}_{d}}}}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}-\frac{\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}}{\left| \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right|}=\frac{\left( 3;4;0 \right)}{5}-\frac{\left( 1;-2;2 \right)}{3}=\frac{-2}{15}\left( -2;11;-5 \right)$
Vậy phương trình đường phân giác cần tìm là: $d’:\left\{ \begin{array} {} x=1+2t \\ {} y=1+11t \\ {} z=1-5t \\ \end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array} {} x=-1+2t \\ {} y=-10+11t \\ {} z=6-5t \\ \end{array} \right.$. Chọn C.
| Bài tập 2: [Đề thi THPT Quốc gia năm 2018] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{array} {} x=1+t \\ {} y=2+t \\ {} z=3 \\ \end{array} \right.$. Gọi ∆ là đường thẳng qua $A(1;2;3)$và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( 0;-7;-1 \right)$
Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi d và ∆ có phương trình là : A. $\left\{ \begin{array} {} x=1+6t \\ {} y=2+11t \\ {} z=3+8t \\ \end{array} \right.$ B. $\left\{ \begin{array} {} x=-4+5t \\ {} y=-10+12t \\ {} z=2+t \\ \end{array} \right.$ C. $\left\{ \begin{array} {} x=-4+5t \\ {} y=-10+12t \\ {} z=-2+t \\ \end{array} \right.$ D. $\left\{ \begin{array} {} x=1+5t \\ {} y=2-2t \\ {} z=3-t \\ \end{array} \right.$ |
Lời giải chi tiết
Đường thẳng d và ∆ cắt nhau tại $A(1;2;3)$
Ta có: ${{\overrightarrow{u}}_{d}}=(1;1;0)\Rightarrow \left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|=\sqrt{2}$và ${{\overrightarrow{u}}_{\Delta }}=(0;-7;-1)\Rightarrow \left| \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right|=5\sqrt{2}$
Do $\cos \left( {{\overrightarrow{u}}_{\Delta }}.{{\overrightarrow{u}}_{d}} \right)=-7<0\Rightarrow \widehat{\left( {{\overrightarrow{u}}_{\Delta }}.{{\overrightarrow{u}}_{d}} \right)}$là góc tù
Một VTCP của đường phân giác d’ cần lập là:
$\overrightarrow{{{u}_{d’}}}=\frac{\overrightarrow{{{u}_{d}}}}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}-\frac{\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}}{\left| \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right|}=\frac{\left( 1;1;0 \right)}{\sqrt{2}}-\frac{\left( 0;-7;-1 \right)}{5\sqrt{2}}=\frac{1}{5\sqrt{2}}\left( 5;12;1 \right)$
Vậy phương trình đường phân giác cần tìm là: $\left\{ \begin{array} {} x=1+5t \\ {} y=2+12t \\ {} z=3+t \\ \end{array} \right.$ hay$\left\{ \begin{array} {} x=-4+5t \\ {} y=-10+12t \\ {} z=2+t \\ \end{array} \right.$. Chọn B.
| Bài tập 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, viết phương trình đường phân giác ∆ của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau ${{d}_{1}}:\frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{1}$và ${{d}_{2}}:\frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-1}{1}$
A. $\Delta :\left\{ \begin{array} {} x=2 \\ {} y=-1+t \\ {} z=1 \\ \end{array} \right.$ B. $\Delta :\left\{ \begin{array} {} x=2+2t \\ {} y=-1 \\ {} z=1+t \\ \end{array} \right.$ C. $\Delta :\left\{ \begin{array} {} x=2+2t \\ {} y=-1+t \\ {} z=1 \\ \end{array} \right.$hoặc $\Delta :\left\{ \begin{array} {} x=2+2t \\ {} y=-1 \\ {} z=1+t \\ \end{array} \right.$ D. $\Delta :\left\{ \begin{array} {} x=2+2t \\ {} y=1 \\ {} z=1+t \\ \end{array} \right.$ |
Lời giải chi tiết
Dễ thấy d1; d2 cắt nhau tại $A(2;-1;1)$. Lấy điểm $B(4;1;2)\in {{d}_{1}}$khi đó AB = 3
Gọi $C(2+2t;-1-2t;1+t)\in {{d}_{2}}$. Giải $AB=AC\Rightarrow 9{{t}^{2}}=9\Rightarrow \left[ \begin{array} {} t=1 \\ {} t=-1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array} {} C(4;-3;2) \\ {} C(0;1;0) \\ \end{array} \right.$
Ta lấy điểm $C(4;-3;2)\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{AB}(2;2;1) \\ {} \overrightarrow{AC}(2;-2;1) \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=1>0$nên $\widehat{CAB}$nhọn (như vậy trường hợp $C(0;1;0)$sẽ bị loại)
Trung điểm của BC là $I(4;-1;2)$suy ra phân giác góc nhọn $\widehat{CAB}$là $\Delta :\left\{ \begin{array} {} x=2+2t \\ {} y=-1 \\ {} z=1+t \\ \end{array} \right.$. Chọn B.
| Bài tập 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, cho hai đường thẳng ${{\Delta }_{1}}:\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{2}$và ${{\Delta }_{2}}:\frac{x}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-3}{-2}$cắt nhau và cùng nằm trong mặt phẳng (P). Lập phương trình đường phân giác d của góc nhọn tạo bởi ∆1 và ∆2 nằm trong mặt phẳng (P)
A. $\left\{ \begin{array} {} x=1+t \\ {} y=1-2t(t\in \mathbb{R}) \\ {} z=1-t \\ \end{array} \right.$ B. $\left\{ \begin{array} {} x=1 \\ {} y=1(t\in \mathbb{R}) \\ {} z=1-2t \\ \end{array} \right.$ C. $\left\{ \begin{array} {} x=1 \\ {} y=1(t\in \mathbb{R}) \\ {} z=1+t \\ \end{array} \right.$ D. $\left\{ \begin{array} {} x=1+t \\ {} y=1+2t(t\in \mathbb{R}) \\ {} z=1 \\ \end{array} \right.$ |
Lời giải chi tiết
Gọi $A(1;1;1)$ là giao điểm của $({{\Delta }_{1}}),({{\Delta }_{2}})$
Ta có: ${{\overrightarrow{u}}_{1}}=(1;2;2)\Rightarrow \left| \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|=3$và ${{\overrightarrow{u}}_{2}}=(1;2;-2)\Rightarrow \left| \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|=3$
Do ${{\overrightarrow{u}}_{1}}.{{\overrightarrow{u}}_{2}}=1>0\Rightarrow {{\overrightarrow{u}}_{d}}={{\overrightarrow{u}}_{1}}+{{\overrightarrow{u}}_{2}}=(2;4;0)=2(1;2;0)$
Phương trình đường phân giác d của góc nhọn tạo bởi ∆1 và ∆2 là: $\left\{ \begin{array} {} x=1+t \\ {} y=1+2t(t\in \mathbb{R}) \\ {} z=1 \\ \end{array} \right.$. Chọn D.
