Cách Viết phương trình mặt phẳng khi biết vectơ pháp tuyến
Một số cách xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng hay gặp:
- $\left( P \right)$đi qua ba điểm phân biệt A, B, C thì có véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right]$
- $\left( P \right)$đi qua điểm A và song song với $\left( Q \right)$thì ta chọn cho $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\overrightarrow{{{n}_{Q}}}$
- $\left( P \right)$vuông góc với hai mặt phăng phân biệt $(\alpha ),(\beta )$thì $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{{{n}_{P}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}} \\ {} \overrightarrow{{{n}_{P}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{\beta }}} \\ \end{array} \right.\xrightarrow{{}}\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}};\overrightarrow{{{n}_{\beta }}} \right]$
- $\left( P \right)$song song với hai véc tơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$thì $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{{{n}_{P}}}\bot \overrightarrow{a} \\ {} \overrightarrow{{{n}_{P}}}\bot \overrightarrow{b} \\ \end{array} \right.\xrightarrow{{}}\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} \right]$
- $\left( P \right)$đi qua điểm A,B và vuông góc với $\left( \alpha \right)$ thì $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{{{n}_{P}}}\bot \overrightarrow{AB} \\ {} \overrightarrow{{{n}_{P}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}} \\ \end{array} \right.\xrightarrow{{}}\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}} \right]$
- $\left( P \right)$song song với hai đường thẳng ${{d}_{1}};{{d}_{2}}$ thì $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{{{n}_{P}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{d1}}} \\ {} \overrightarrow{{{n}_{P}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{d2}}} \\ \end{array} \right.\xrightarrow{{}}\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d1}}};\overrightarrow{{{u}_{d2}}} \right]$
- $\left( P \right)$chứa đường thẳng d và vuông góc mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ thì $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}} \right]$
- $\left( P \right)$chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng $\Delta $ thì $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right]$
Các dạng bài tập trắc nghiệm viết phương trình mặt phẳng oxyz có đáp án chi tiết
|
Bài tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M\left( 3;-1;1 \right)$ và vuông góc với đường thẳng $\Delta :\frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z-3}{1}?$ A. $3x-2y+z-12=0$ B. $3x+2y+z-8=0$ C. $x-2y+3z+3=0$ D. $3x-2y+z+12=0$ |
Lời giải chi tiết
Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng cần tìm ta có: $\left( P \right)\bot \Delta \Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 3;-2;1 \right).$
Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$qua $M\left( 3;-1;1 \right)$ và có VTPT $\overrightarrow{n}\left( 3;-2;1 \right)$ là:
$\left( P \right):3\left( x-3 \right)2\left( y+1 \right)+1\left( z-1 \right)=0$hay $3x-2y+z12=0$. Chọn A.
|
Bài tập 2: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho 3 điểm $A\left( 1;0;-2 \right)$; $B\left( -1;2;4 \right)$ và $C\left( 2;0;1 \right)$. Phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với BC là: A. $3x-2y-3z3=0$ B. $3x-2y-3z+3=0$ C. $3x-2y-3z9=0$ D. $3x-2y-3z+9=0$ |
Lời giải chi tiết
Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng cần tìm thì$\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\overrightarrow{BC}=\left( 3;-2;-3 \right)$
Mặt phẳng $\left( P \right)$ qua $A\left( 1;0;-2 \right)$ và có VTPT $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=(3;-2;-3)\Rightarrow (P):3x-2y-3z-9=0$. Chọn C.
|
Bài tập 3: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm M $M\left( 3;-1;-2 \right)$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right):3x-y+2z+4=0$. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua M và song song với $\left( \alpha \right)$? A. $3x-y+2z-6=0$ B. $3x+y-2z-14=0$ C. $3x-y+2z+6=0$ D. $3x+y-2z+14=0$ |
Lời giải chi tiết
Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng cần tìm ta có: $\left( P \right)//\left( \alpha \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=\overrightarrow{{{n}_{(\alpha )}}}=\left( 3;-1;2 \right).$
Mặt phẳng $\left( P \right)$ qua $M\left( 3;-1;-2 \right)$ và có VTPT là $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=(3;-1;2)$ có phương trình là: $3x-y+2z-6=0$. Chọn A
|
Bài tập 4: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-6x+4y-2z+5=0$ và đường thẳng $d:\frac{x-2}{1}=\frac{y+3}{1}=\frac{z+1}{-5}.$ Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ vuông góc với đường thẳng d và đi qua tâm của mặt cầu $\left( S \right)$. A. $\left( P \right):3x-2y+z-6=0$. B. $\left( P \right):x+y-5z-4=0$. C. $\left( P \right):x+y-5z+4=0$. D. $\left( P \right):3x-2y+z+6=0$ |
Lời giải chi tiết
Ta có:$\left( S \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=9\Rightarrow \left( S \right)$có tâm $I\left( 3;-2;1 \right)$ và bán kính $R=3$
VTCP của d là $\overrightarrow{u}=\left( 1;1;-5 \right)$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ qua I và nhận $\overrightarrow{u}$ làm VTPT.
Phương trình $\left( P \right)$ là: $\left( P \right):1(x-3)+1(y+2)-5(z-1)=0$hay $\left( P \right):x+y-5z+4$. Chọn C.
|
Bài tập 5: Cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}\left\{ \begin{array} {} x=1+3t \\ {} y=-2+t \\ {} z=2 \\ \end{array} \right.;{{d}_{2}}:\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z}{2}$ và mặt phẳng$\left( P \right):2x+2y-3z=0$. Phương trình mặt phẳng đi qua giao điểm của ${{d}_{1}}$ và $\left( P \right)$, đồng thời vuông góc với ${{d}_{2}}$ là A. $2x-y+2z+22=0$ B. $2x-y+2z+13=0$ C. $2x-y+2z-13=0$ D. $2x+y+2z-22=0.$ |
Lời giải chi tiết
Gọi giao điểm của ${{d}_{1}}$ và $\left( P \right)$ là $M\left( 1+3t;-2+t;2 \right)\in {{d}_{1}}.$
Do $M\in \left( P \right)\Rightarrow 2+6t-4+2t-6=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow M(4;-1;2)$
Mặt phẳng $\left( Q \right)$cần tìm có: $\overrightarrow{{{n}_{(Q)}}}=\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}}=\left( 2;-1;2 \right)$
Do đó phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$là: $2x-y+2z-13=0$. Chọn C.
|
Bài tập 6: Phương trình mặt phẳng qua $A\left( 1;0;-4 \right)$ và vuông góc đồng thời với cả 2 mặt phẳng $\left( P \right):x+y+z-2=0$ và $\left( Q \right):2x-y-4z+2=0$là: A. $y+z=0.$ B. $x-y-2z+3=0.$ C. $2x+y-2z-3=0.$ D. $x-2y+z+3=0.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có : $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 1;1;1 \right);\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left( 2;-1;4 \right)$
Do $\left\{ \begin{array} {} \left( \alpha \right)\bot \left( P \right) \\ {} \left( \alpha \right)\bot \left( Q \right) \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{n}\bot \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \\ {} \overrightarrow{n}\bot \overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}} \right]=(-3;6;-3)=-3(1;-2;1).$
Khi đó$\left( \alpha \right)$qua$A\left( 1;0;-4 \right)$ và có VTPT$(1;-2;1)\Rightarrow \left( \alpha \right):x-2y+z+3=0$ . Chọn D.
|
Bài tập 7: Phương trình mặt phẳng qua $A\left( 1;2;0 \right)$ vuông góc với $\left( P \right):x+y=0$ và song song với đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{-4}=\frac{z+1}{-3}$ là: A. $x+2y-2z-5=0.$ B. $x-y+2z+1=0.$ C. $x-y+2z-1=0.$ D. $x-y+z+1=0.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có : $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 1;1;0 \right);\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;-4;-3 \right)$
Do $\left\{ \begin{array} {} \left( \alpha \right)\bot \left( P \right) \\ {} \left( \alpha \right)//d \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{n}\bot \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \\ {} \overrightarrow{n}\bot \overrightarrow{{{u}_{d}}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=\left( -3;3;-6 \right)=-3(1;-1;2)$
Khi đó$\left( \alpha \right)$ qua $A\left( 1;2;0 \right)$và có VTPT$\left( 1;-1;2 \right)=>\left( \alpha \right):x-y+2z+1=0$. Chọn B.
|
Bài tập 8: Phương trình mặt phẳng đi qua gốc toạ độ và song song với cả 2 đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{1}$ và ${{d}_{2}}:\frac{x+1}{-3}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{3}$ là: A. $x+2y-z=0.$ B. $x-3y+2z=0.$ C. $x+y=0.$ D. $y+z=0.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có : $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\overrightarrow{{{u}_{\left( {{d}_{1}} \right)}}}=\left( 1;1;1 \right);\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\overrightarrow{{{u}_{\left( {{d}_{2}} \right)}}}=\left( 1;-3;2 \right)$
Do $\left\{ \begin{array} {} \left( \alpha \right)\bot {{d}_{1}} \\ {} \left( \alpha \right)//{{d}_{2}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{n}\bot \overrightarrow{{{u}_{1}}} \\ {} \overrightarrow{n}\bot \overrightarrow{{{u}_{2}}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=\left( 2;-6;4 \right)=2(1;-3;2).$
Khi đó$\left( \alpha \right)$qua $O\left( 0;0;0 \right)$ và có VTPT$\left( 1;-3;2 \right)\Rightarrow \left( \alpha \right):x-3y+2z=0.$Chọn B.
|
Bài tập 9: Phương trình mặt phẳng đi qua 2 điểm $A\left( 2;4;1 \right)$ và $B\left( 5;7;-1 \right)$và vuông góc với mặt phẳng$\left( P \right):x-3y+2z+1=0$ là: A. $2x-y-z+1=0.$ B. $x-2y-z-2=0.$ C. $2y+3z-11=0.$ D. $x+y+z-2=0.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có:$\overrightarrow{AB}=\left( 3;3;-2 \right)\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \right]=\left( 0;-8;-12 \right)=-4(0;2;3)$
Mặt phẳng$\left( \alpha \right)$ cần tìm đi qua $A\left( 2;4;1 \right)$và có VTPT $\overrightarrow{n}\left( 0;2;3 \right)\Rightarrow (\alpha ):2y+3z-11=0.$ Chọn C.
|
Bài tập 10: Cho đường thẳng $\Delta :\frac{x+1}{-1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z}{-3}$ và mặt phẳng$\left( P \right):x-y+z-3=0.$ Phương trình mặt phẳng đi qua O, song song với $\Delta $ và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$ là A. $x+2y+z=0.$ B. $x-2y+z=0.$ C. $x+2y+z-4=0.$ D. $x-2y+z+4=0.$ |
Lời giải chi tiết
Gọi mặt phẳng cần tìm là $\left( Q \right)$ta có: $\left\{ \begin{array} {} \left( P \right)\bot \left( Q \right) \\ {} \left( Q \right)//\Delta \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right]=(1;2;1)$
$\Rightarrow \left( Q \right):x+2y+z=0.$ Chọn A.
|
Bài tập 11: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm$M\left( 1;0;-1 \right).$ Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua M và chứa trục $Ox$ có phương trình là A. $x+z=0.$ B. $y+z+1=0.$ C. $y=0.$ D. $~x+y+z=0.$ |
Lời giải chi tiết
Mặt phẳng$\left( \alpha \right)$ nhận$\left[ \overrightarrow{OM};\overrightarrow{{{u}_{Ox}}} \right]$ là một VTPT.
Mà $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{OM}=\left( 1;0;-1 \right) \\ {} \overrightarrow{{{u}_{Ox}}}=(1;0;0) \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{OM};\overrightarrow{{{u}_{Ox}}} \right]=(0;-1;0).$
Kết hợp với $\left( \alpha \right)$đi qua $M(1;0;-1)\Rightarrow \left( \alpha \right):-\left( y-0 \right)=0\Leftrightarrow y=0.$Chọn C.
|
Bài tập 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho các điểm$A\left( 0;1;1 \right),\text{ }B\left( 2;5;-1 \right).$ Tìm phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ qua A, B và song song với trục hoành. A. $\left( P \right):y+z-2=0.$ B. $\left( P \right):y+2z-3=0.$ C. $\left( P \right):y+3z+2=0.$ D. $\left( P \right):x+y-z-2=0.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có $\overrightarrow{AB}=(2;4;-2)$và $\overrightarrow{{{u}_{\left( Ox \right)}}}=\left( 1;0;0 \right)$ suy ra $\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{{{u}_{\left( Ox \right)}}} \right]=(0;-2;-4)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 0;1;2 \right).$
Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua A và có $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}$ là $y-1+2(z-1)=0\Leftrightarrow y+2z-3=0$.Chọn C.
|
Bài tập 13: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $\left( P \right):\text{ }x+\text{ }y-z-2=0,$ $\left( Q \right):x+3y-12=0$ và đường thẳng $d:\frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z+1}{2}.$ Viết phương trình mặt phẳng $\left( R \right)$ chứa đường thẳng d và giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( P \right)$,$\left( Q \right)$. A. $\left( R \right):5x+\text{ }y-7z-1=0.$ B. $\left( R \right):x+\text{ 2}y-z+2=0.$ C. $\left( R \right):x+2y-z=0.$ D. $\left( R \right):15x+11y-17z-10=0.$ |
Lời giải chi tiết
VTPT của mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left( 1;1;-1 \right),$VTPT của mặt phẳng $\left( Q \right)$là $\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left( 1;3;0 \right)$.
Gọi $d’=(P)\cap \left( Q \right).$ Khi đó vtcp của $d’$ là $\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{1}}};\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right]=\left( 3;-1;2 \right)$ cũng là vtcp của $d\Rightarrow d//d’\text{ }$
$A(1;-2;-1)\in d;B(0;4;2)\in d’.$
Ta có: $\overrightarrow{AB}(-1;6;3).$ VTPT của $\left( R \right)$ là: $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{u} \right]=\left( 15;11;-17 \right)$
Phương trình mặt phẳng $\left( R \right)$ là:
$(R):15\left( x-0 \right)+11\left( y-4 \right)-17\left( z-2 \right)=0$ hay $\left( R \right):15x+11y-17z-10=0.$ Chọn D.
