Một số bài tập chọn lọc về tích phân có đáp án chi tiết
Bài tập trắc nghiệm tích phân vận dụng cao có Lời giải chi tiết
| Bài tập 1: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ 1;2 \right]$ thỏa mãn $f\left( x \right)+x.{f}’\left( x \right)={{\left[ x.f\left( x \right)+1 \right]}^{2}}$. Biết $f\left( 1 \right)=-2$, tính $f\left( 2 \right)$
A. $f\left( 2 \right)=\frac{-1}{2}.$ B. $f\left( 2 \right)=\frac{1}{2}.$ C. $f\left( 2 \right)=\frac{-3}{2}.$ D. $f\left( 2 \right)=\frac{-3}{4}.$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có $f\left( x \right)+x.{f}’\left( x \right)={{\left[ x.f\left( x \right)+1 \right]}^{2}}\Leftrightarrow \frac{f\left( x \right)+x.{f}’\left( x \right)}{{{\left[ x.f\left( x \right)+1 \right]}^{2}}}=1\Leftrightarrow \frac{{{\left[ x.f\left( x \right) \right]}^{\prime }}}{{{\left[ x.f\left( x \right)+1 \right]}^{2}}}=1$
Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: $\frac{-1}{x.f\left( x \right)+1}=x+C$
Thay $x=1\Rightarrow \frac{-1}{-2+1}=1+C\Rightarrow C=0\Rightarrow f\left( x \right)=\frac{-1}{{{x}^{2}}}-\frac{1}{x}\Rightarrow f\left( 2 \right)=-\frac{3}{4}$. Chọn D.
| Bài tập 2: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên đoạn $\left[ 1;3 \right]$ và thỏa mãn ${{x}^{2}}.f\left( x \right)+{{x}^{3}}.{f}’\left( x \right)={{\left[ x.f\left( x \right)+1 \right]}^{2}}\,\,\left( \forall x\in \left[ 1;3 \right] \right)$ và $f\left( 1 \right)=\frac{-2}{3}$. Khi đó:
A. $0<f\left( 3 \right)<1.$ B. $1<f\left( 3 \right)<3.$ C. $f\left( 3 \right)>3.$ D. $f\left( 3 \right)<0.$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có: ${{x}^{2}}.f\left( x \right)+{{x}^{3}}.{f}’\left( x \right)={{\left[ xf\left( x \right)+1 \right]}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}\left[ f\left( x \right)+x.{f}’\left( x \right) \right]={{\left[ xf\left( x \right)+1 \right]}^{2}}$
$\Leftrightarrow \frac{f\left( x \right)+x.{f}’\left( x \right)}{{{\left[ xf\left( x \right)+1 \right]}^{2}}}=\frac{1}{{{x}^{2}}}\Leftrightarrow \frac{{{\left[ x.f\left( x \right) \right]}^{\prime }}}{{{\left[ xf\left( x \right)+1 \right]}^{2}}}=\frac{1}{{{x}^{2}}}$
Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: $\int{\frac{d\left[ xf\left( x \right)+1 \right]}{{{\left[ xf\left( x \right)+1 \right]}^{2}}}}=\int{\frac{1}{{{x}^{2}}}}dx\Rightarrow \frac{-1}{xf\left( x \right)+1}=\frac{-1}{x}+C$
Lại có: $f\left( 1 \right)=\frac{-2}{3}\Rightarrow \frac{-1}{1.f\left( 1 \right)+1}=-1+C\Rightarrow C=\frac{-1}{\frac{-2}{3}+1}+1=-2$
Do đó $\frac{1}{x.f\left( x \right)+1}=\frac{1}{x}+2$, thay $x=3\Rightarrow \frac{1}{3.f\left( 3 \right)+1}=\frac{1}{3}+2\Rightarrow f\left( 3 \right)=\frac{-4}{21}$. Chọn D.
| Bài tập 3: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ đồng biến và luôn dương trên đoạn $\left[ 1;3 \right]$ đồng thời thỏa mãn
${{\left[ {f}’\left( x \right) \right]}^{2}}=\left( {{x}^{4}}+3{{x}^{2}} \right)f\left( x \right)$, biết $f\left( 1 \right)=4$. Khi đó A. $0<f\left( 2 \right)<3.$ B. $3<f\left( 2 \right)<5.$ C. $5<f\left( 2 \right)<9.$ D. $f\left( 2 \right)>9.$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có: ${{\left[ {f}’\left( x \right) \right]}^{2}}=\left( {{x}^{4}}+3{{x}^{2}} \right)f\left( x \right)\Rightarrow \frac{{{\left[ {f}’\left( x \right) \right]}^{2}}}{f\left( x \right)}={{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}+3 \right)$
$\Leftrightarrow \frac{{f}’\left( x \right)}{\sqrt{f\left( x \right)}}=x\sqrt{{{x}^{2}}+3}$ (do $f\left( x \right)>0\,\,\forall x\in \left[ 1;2 \right]$)
Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: $\int{\frac{d\left[ f\left( x \right) \right]}{\sqrt{f\left( x \right)}}}=\int{x\sqrt{{{x}^{2}}+3}dx\Leftrightarrow 2}\sqrt{f\left( x \right)}=\frac{1}{2}\int{\sqrt{{{x}^{2}}+3}dx}\left( {{x}^{2}}+3 \right)$
$\Leftrightarrow \sqrt{f\left( x \right)}=\frac{1}{4}.\frac{2}{3}\sqrt{{{\left( {{x}^{2}}+3 \right)}^{3}}}+C=\frac{1}{6}\sqrt{{{\left( {{x}^{2}}+3 \right)}^{3}}}+C$
Do $f\left( 1 \right)=4\Rightarrow 2=\frac{8}{6}+C\Rightarrow C=\frac{2}{3}\Rightarrow \sqrt{f\left( x \right)}=\frac{\sqrt{{{\left( {{x}^{2}}+3 \right)}^{3}}}}{6}+\frac{2}{3}.$
$\Rightarrow f\left( x \right)={{\left[ \frac{\sqrt{{{\left( {{x}^{2}}+3 \right)}^{3}}}}{6}+\frac{2}{3} \right]}^{2}}\Rightarrow f\left( 2 \right)\approx 14,1$. Chọn D.
| Bài tập 4: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm xác định, liên tục $\left[ 0;1 \right]$ đồng thời thỏa mãn các điều kiện
${f}’\left( 0 \right)=-1$ và ${{\left[ {f}’\left( x \right) \right]}^{2}}={{f}’}’\left( x \right)$. Đặt $T=f\left( 1 \right)-f\left( 0 \right)$, hãy chọn khẳng định đúng? A. $-2\le T<-1.$ B. $-1\le T<0.$ C. $0\le T<1.$ D. $1\le T<2.$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có: ${{\left[ {f}’\left( x \right) \right]}^{2}}={{f}’}’\left( x \right)\Rightarrow \frac{{{f}’}’\left( x \right)}{{{\left[ {f}’\left( x \right) \right]}^{2}}}=1$
Lấy nguyên hàm 2 vế ta có: $\int{\frac{d\left[ {f}’\left( x \right) \right]}{{{\left[ {f}’\left( x \right) \right]}^{2}}}}=\int{dx\Leftrightarrow \frac{-1}{{f}’\left( x \right)}}=x+C\Rightarrow {f}’\left( x \right)=\frac{-1}{x+C}$
Do ${f}’\left( 0 \right)=-1\Rightarrow C=1$
Suy ra $\int\limits_{0}^{1}{{f}’\left( x \right)dx=\int\limits_{0}^{1}{\frac{-1}{x+1}}}dx\Leftrightarrow f\left( 1 \right)-f\left( 0 \right)=-\ln 2$. Chọn B.
| Bài tập 5: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục và đồng biến trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$, biết $f\left( 0 \right)=1$ và ${{\left[ {f}’\left( x \right)+2x \right]}^{2}}=9{{x}^{3}}+9x.f\left( x \right)\,\,\forall x\in \left[ 0;1 \right]$. Mệnh đề nào dưới đây đúng
A. $f\left( 1 \right)=3.$ B. $f\left( 1 \right)=5.$ C. $f\left( 1 \right)=6.$ D. $f\left( 1 \right)=4.$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có: ${{\left[ {f}’\left( x \right)+2x \right]}^{2}}=9{{x}^{3}}+9x.f\left( x \right)\Leftrightarrow \frac{{{\left[ {f}’\left( x \right)+2x \right]}^{2}}}{f\left( x \right)+{{x}^{2}}}=9x\Leftrightarrow \frac{{f}’\left( x \right)+2x}{\sqrt{f\left( x \right)+{{x}^{2}}}}=3\sqrt{x}$
Lấy nguyên hàm 2 vế ta được $\int{\frac{d\left[ f\left( x \right)+{{x}^{2}} \right]}{\sqrt{f\left( x \right)+{{x}^{2}}}}}=\int{3\sqrt{x}dx}$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{f\left( x \right)+{{x}^{2}}}=2\sqrt{{{x}^{3}}}+2C\Leftrightarrow \sqrt{f\left( x \right)+{{x}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{3}}}+C$
Thay $x=0\Rightarrow C=1\Rightarrow \sqrt{f\left( x \right)+{{x}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{3}}}+1.$
Suy ra $f\left( x \right)={{\left( \sqrt{{{x}^{3}}}+1 \right)}^{2}}-{{x}^{2}}\Rightarrow f\left( 1 \right)=3.$ Chọn A.
| Bài tập 6: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục thỏa mãn ${{\left( {f}’\left( x \right) \right)}^{2}}+f\left( x \right).{{f}’}’\left( x \right)=15{{x}^{4}}+12x,\,\,\forall x\in \mathbb{R}$ và
$f\left( 0 \right)={f}’\left( 0 \right)=1$. Giá trị của ${{f}^{2}}\left( 1 \right)$ bằng A. 8. B. $\frac{9}{2}.$ C. 10. D. $\frac{5}{2}.$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có: ${{\left[ f\left( x \right).{f}’\left( x \right) \right]}^{\prime }}={{\left[ {f}’\left( x \right) \right]}^{2}}+f\left( x \right).{{f}’}’\left( x \right)=15{{x}^{4}}+12x$
Nguyên hàm 2 vế ta được $f\left( x \right).{f}’\left( x \right)=\frac{15{{x}^{5}}}{5}+6{{x}^{2}}+C=3{{x}^{5}}+6{{x}^{2}}+C$
Do $f\left( 0 \right)={f}’\left( 0 \right)=1\Rightarrow C=1$
Tiếp tục nguyên hàm 2 vế ta được: $\int{f\left( x \right)df\left( x \right)=\int{\left( 3{{x}^{5}}+6{{x}^{2}}+1 \right)}}dx$
$\Rightarrow \frac{{{f}^{2}}\left( x \right)}{2}=\frac{3{{x}^{6}}}{6}+\frac{6{{x}^{3}}}{3}+x+D=\frac{1}{2}{{x}^{6}}+2{{x}^{3}}+x+D$. Do $f\left( 0 \right)=1\Rightarrow D=\frac{1}{2}\Rightarrow {{f}^{2}}\left( 1 \right)=8$. Chọn A.
| Bài tập 7: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục và luôn dương trên đoạn $\left[ 1;3 \right]$ thỏa mãn
$f\left( 1 \right)={f}’\left( 1 \right)=1$và ${{f}’}’\left( x \right).f\left( x \right)={{{f}’}^{2}}\left( x \right)-{{x}^{2}}.{{f}^{2}}\left( x \right)$. Giá trị của $\ln \left[ f\left( 3 \right) \right]$ thuộc khoảng nào trong các khoảng sau: A. $\left( 1;6 \right).$ B. $\left( 7;12 \right).$ C. $\left( 0;1 \right).$ D. $\left( 12;15 \right).$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có: ${{f}’}’\left( x \right).f\left( x \right)={{{f}’}^{2}}\left( x \right)-{{x}^{2}}.{{f}^{2}}\left( x \right)\Leftrightarrow {{f}’}’\left( x \right).f\left( x \right)-{{{f}’}^{2}}\left( x \right)={{x}^{2}}{{f}^{2}}\left( x \right)$
$\Leftrightarrow \frac{{{f}’}’\left( x \right).f\left( x \right)-{{{{f}’}}^{2}}\left( x \right)}{{{f}^{2}}\left( x \right)}={{x}^{2}}\,\,\,\left( * \right)$
Mặt khác ${{\left[ \frac{{f}’\left( x \right)}{f\left( x \right)} \right]}^{\prime }}=\frac{{{f}’}’\left( x \right).f\left( x \right)-{{{{f}’}}^{2}}\left( x \right)}{{{f}^{2}}\left( x \right)}$, lấy nguyên hàm 2 vế của $\left( * \right)$ ta được:
$\frac{{f}’\left( x \right)}{f\left( x \right)}=\frac{{{x}^{3}}}{3}+C$
Do $f\left( 1 \right)={f}’\left( 1 \right)=1\Rightarrow C=\frac{2}{3}$. Tiếp tục nguyên hàm 2 vế ta được: $\ln f\left( x \right)=\left( \frac{{{x}^{4}}}{12}+\frac{2x}{3} \right)+D$
Do $f\left( 1 \right)=1\Rightarrow D=-\frac{3}{4}\Rightarrow \ln f\left( x \right)=\frac{{{x}^{4}}}{12}+\frac{2x}{3}-\frac{3}{4}\Rightarrow \ln \left[ f\left( 3 \right) \right]=8$. Chọn B.
| Bài tập 8: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$ thỏa mãn
$f\left( 1 \right)=1,\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {f}’\left( x \right) \right]}^{2}}dx=\frac{9}{5}}$ và $\int\limits_{0}^{1}{f\left( \sqrt{x} \right)}dx=\frac{2}{5}$. Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}$. A. $I=\frac{3}{5}.$ B. $I=\frac{1}{4}.$ C. $I=\frac{3}{4}.$ D. $I=\frac{1}{5}.$ |
Lời giải chi tiết:
Đặt $t=\sqrt{x}\Leftrightarrow {{t}^{2}}=x\Leftrightarrow dx=2tdt$ và $\left\{ \begin{array} {} x=0\Rightarrow t=0 \\ {} x=1\Rightarrow t=1 \\ \end{array} \right..$
Khi đó: $\int\limits_{0}^{1}{f\left( \sqrt{x} \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{2t.f\left( t \right)dt=2\int\limits_{0}^{1}{x.}}f\left( x \right)dx=\frac{2}{5}\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{x.f\left( x \right)dx=\frac{1}{5}}.$
Đặt $\left\{ \begin{array} {} u=f\left( x \right) \\ {} dv=xdx \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} du={f}’\left( x \right)dx \\ {} v=\frac{{{x}^{2}}}{2} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{x.f\left( x \right)dx=\left. \frac{{{x}^{2}}.f\left( x \right)}{2} \right|}_{0}^{1}-\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}.{f}’\left( x \right)dx}\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}.{f}’\left( x \right)dx}=\frac{3}{5}.$
Xét ${{\int\limits_{0}^{1}{\left[ {f}’\left( x \right)+k{{x}^{2}} \right]}}^{2}}dx=\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {f}’\left( x \right) \right]}^{2}}dx+2k}\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}.{f}’\left( x \right)dx}+{{k}^{2}}\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{4}}dx=\frac{9}{5}+\frac{6}{5}k+\frac{1}{5}{{k}^{2}}=0\Leftrightarrow k=-3.}$
Do đó ${f}’\left( x \right)-3{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow {f}’\left( x \right)=3{{x}^{2}}\Rightarrow f\left( x \right)=\int{{f}’\left( x \right)dx={{x}^{3}}+C}$ mà $f\left( 1 \right)=1\Rightarrow C=0.$
Vậy $f\left( x \right)={{x}^{3}}\xrightarrow{{}}I=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}dx=\left. \frac{{{x}^{4}}}{4} \right|}_{0}^{1}=\frac{1}{4}$. Chọn B. $$
| Bài tập 9: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$ và $f\left( 0 \right)+f\left( 1 \right)=0$. Biết rằng tích phân $\int\limits_{0}^{1}{{{f}^{2}}\left( x \right)dx=\frac{1}{2},}\,\,\int\limits_{0}^{1}{{f}’\left( x \right).cos\pi xdx=\frac{\pi }{2}}$. Tính tích phân $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}$?
A. $\frac{3\pi }{2}.$ B. $\frac{2}{\pi }.$ C. $\pi .$ D. $\frac{1}{\pi }.$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có $\int\limits_{0}^{1}{{f}’\left( x \right).cos\pi xdx=\int\limits_{0}^{1}{\cos \pi xd\left( f\left( x \right) \right)}}=\left. f\left( x \right).cos\pi x \right|_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)}.{{\left( \cos \pi x \right)}^{\prime }}dx$
$=-\left[ f\left( 1 \right)+f\left( 0 \right) \right]+\pi \int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right).sin\pi xdx}=\frac{\pi }{2}\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right).sin\pi xdx}=\frac{1}{2}.$
Xét $\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f\left( x \right)+k.\sin \pi x \right]}^{2}}}dx=0\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{f}^{2}}\left( x \right)}dx+2k.\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right).sin\pi xdx}+{{k}^{2}}.\int\limits_{0}^{1}{{{\sin }^{2}}}\left( \pi x \right)dx=0$
$\Leftrightarrow \frac{1}{2}{{k}^{2}}+2k.\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow {{\left( k+1 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow k=-1.$ Suy ra $\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f\left( x \right)-\sin \pi x \right]}^{2}}}dx=0.$
Vậy $f\left( x \right)=\sin \pi x\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx=}\int\limits_{0}^{1}{sin\pi xdx}=\frac{2}{\pi }$. Chọn B.
| Bài tập 10: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$, $f\left( x \right)$ và ${f}’\left( x \right)$ luôn nhận giá trị dương trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$ và thỏa mãn $f\left( 0 \right)=1$; $\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {{f}^{2}}^{\prime }\left( x \right)f\left( x \right)+x \right]}^{2}}}dx=4\int\limits_{0}^{1}{x.}{{f}^{2}}^{\prime }\left( x \right)f\left( x \right)dx$. Tính $f\left( 1 \right)$?
A. $f\left( 1 \right)=\sqrt[3]{4}.$ B. $f\left( 1 \right)=2.$ C. $f\left( 1 \right)=1.$ D. $f\left( 1 \right)=4.$ |
Lời giải chi tiết:
Giả thuyết tương đương với $\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {{f}^{2}}’\left( x \right)f\left( x \right)-x \right]}^{2}}}dx=0$
$\Leftrightarrow {{f}^{2}}’\left( x \right)f\left( x \right)-x=0\Leftrightarrow {{f}^{2}}’\left( x \right)f\left( x \right)=x\Leftrightarrow {f}’\left( x \right).\sqrt{f\left( x \right)}=\sqrt{x}$
Nguyên hàm 2 vế ta được: $\frac{2}{3}\sqrt{{{f}^{3}}\left( x \right)}=\frac{2}{3}\sqrt{{{x}^{3}}}+C$
Mặt khác $f\left( 0 \right)=1\Rightarrow C=\frac{2}{3}\Rightarrow \sqrt{{{f}^{3}}\left( x \right)}=\sqrt{{{x}^{3}}}+1$
Vậy $f\left( 1 \right)=\sqrt[3]{4}.$ Chọn A.
| Bài tập 11: Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{1}{2} \right\}$ thỏa mãn ${f}’\left( x \right)=\frac{2}{2x-1},\,\,f\left( 0 \right)=1$ và $f\left( 1 \right)=2$. Giá trị của biểu thức $f\left( -1 \right)+f\left( 3 \right)$ bằng
A. $4+\ln 5.$ B. $2+\ln 15.$ C. $3+\ln 15.$ D. $\ln 15.$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có $\int{{f}’\left( x \right)dx=\ln \left| 2x-1 \right|+}C=\left\{ \begin{array} {} \ln \left( 2x-1 \right)+{{C}_{1}}\text{ khi }x>\frac{1}{2} \\ {} \ln \left( 1-2x \right)+{{C}_{2}}\text{ khi }x<\frac{1}{2} \\ \end{array} \right..$
Do $f\left( 0 \right)=1$ và $f\left( 1 \right)=2\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} {{C}_{1}}=1 \\ {} {{C}_{2}}=2 \\ \end{array} \right.\Rightarrow f\left( -1 \right)+f\left( 3 \right)=\ln 3+\ln 5+{{C}_{1}}+{{C}_{2}}=3+\ln 15$. Chọn C.
| Bài tập 12: Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ -2;2 \right\}$ và thỏa mãn ${f}’\left( x \right)=\frac{4}{{{x}^{2}}-4}$; $f\left( -3 \right)=0$; $f\left( 0 \right)=1$ và $f\left( 3 \right)=2$. Tính giá trị biểu thức $P=f\left( -4 \right)+f\left( -1 \right)+f\left( 4 \right)$.
A. $P=3+\ln \frac{3}{25}$ B. $P=3+\ln 3$ C. $P=2+\ln \frac{5}{3}$ D. $P=2-\ln \frac{5}{3}$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có: ${f}’\left( x \right)=\frac{4}{{{x}^{2}}-4}\Rightarrow \int{{f}’\left( x \right)dx=\int{\frac{4dx}{{{x}^{2}}-4}}}=\int{\frac{4dx}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}=\int{\left( \frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2} \right)}}dx$
$\Rightarrow f\left( x \right)=\ln \left| \frac{x-2}{x+2} \right|+C=\left\{ \begin{array} {} \ln \frac{x-2}{x+2}+{{C}_{1}}\text{ khi }x>2\text{ } \\ {} \ln \left( \frac{2-x}{x+2} \right)+{{C}_{2}}\text{ khi }-2<x<2 \\ {} \ln \frac{x-2}{x+2}+{{C}_{3}}\text{ khi }x<-2 \\ \end{array} \right..$
Lại có: $f\left( -3 \right)=0\Rightarrow {{C}_{3}}=-\ln 5$; $f\left( 0 \right)=1\Rightarrow {{C}_{2}}=1$; $f\left( 3 \right)=2\Rightarrow {{C}_{1}}=2-\ln \frac{1}{5}$.
Do đó $P=f\left( -4 \right)+f\left( -1 \right)+f\left( 4 \right)=\ln 3+\ln 3+\ln \frac{1}{3}+{{C}_{1}}+{{C}_{2}}+{{C}_{3}}=3+\ln 3$. Chọn B.
| Bài tập 13: Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ \pm 1 \right\}$ thỏa mãn ${f}’\left( x \right)=\frac{1}{{{x}^{2}}-1}$. Biết $f\left( -3 \right)+f\left( 3 \right)=0$ và $f\left( -\frac{1}{2} \right)+f\left( \frac{1}{2} \right)=2$. Giá trị $T=f\left( -2 \right)+f\left( 0 \right)+f\left( 4 \right)$bằng
A. $T=2+\frac{1}{2}\ln \frac{5}{9}.$ B. $T=1+\frac{1}{2}\ln \frac{9}{5}.$ C. $T=3+\frac{1}{2}\ln \frac{9}{5}.$ D. $T=\frac{1}{2}\ln \frac{9}{5}.$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có: ${f}’\left( x \right)=\frac{1}{{{x}^{2}}-1}\Rightarrow \int{{f}’\left( x \right)dx=\int{\frac{dx}{{{x}^{2}}-1}}}=\int{\frac{dx}{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}=\frac{1}{2}\int{\left( \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1} \right)}}dx$
$\Rightarrow f\left( x \right)=\frac{1}{2}\ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right|+C=\left\{ \begin{array} {} \frac{1}{2}\ln \frac{x-1}{x+1}+{{C}_{1}}\text{ khi }x>1\text{ } \\ {} \frac{1}{2}\ln \left( \frac{1-x}{x+1} \right)+{{C}_{2}}\text{ khi }-1<x<1 \\ {} \frac{1}{2}\ln \frac{x-1}{x+1}+{{C}_{3}}\text{ khi }x<-1 \\ \end{array} \right..$
Theo bài ra ta có: $\left\{ \begin{array} {} f\left( -3 \right)+f\left( 3 \right)=0 \\ {} f\left( -\frac{1}{2} \right)+f\left( \frac{1}{2} \right)=2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {{C}_{1}}+{{C}_{3}}=0 \\ {} 2{{C}_{2}}=2\Rightarrow {{C}_{2}}=1 \\ \end{array} \right.$
Do đó $T=f\left( -2 \right)+f\left( 0 \right)+f\left( 4 \right)=\left[ f\left( -2 \right)+f\left( 4 \right) \right]+f\left( 0 \right)$
$=\frac{1}{2}\ln 3+{{C}_{1}}+\frac{1}{2}\ln \frac{3}{5}+{{C}_{3}}+{{C}_{2}}=1+\frac{1}{2}\ln \frac{9}{5}$. Chọn B.
| Bài tập 14: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left( 0;+\infty \right)$ và thỏa $\int\limits_{0}^{{{x}^{2}}}{f\left( t \right)dt=x.cos\pi x}$. Tính $f\left( 4 \right)$.
A. $f\left( 4 \right)=\frac{1}{2}.$ B. $f\left( 4 \right)=\frac{1}{4}.$ C. $f\left( 4 \right)=\frac{3}{4}.$ D. $f\left( 4 \right)=\sqrt[3]{12}.$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có ${{\left( \int\limits_{0}^{{{x}^{2}}}{f\left( t \right)dt} \right)}^{\prime }}={{\left( x.cos\pi x \right)}^{\prime }}\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}.f\left( {{x}^{2}} \right)=cos\pi x-\pi x.\sin \pi x$
$\Leftrightarrow 2x.f\left( {{x}^{2}} \right)=cos\pi x-\pi x.\sin \pi x.$ Thay $x=2$ vào 2 vế, ta được $4f\left( 4 \right)=1\Leftrightarrow f\left( 4 \right)=\frac{1}{4}$. Chọn B.
| Bài tập 15: Cho hàm số $G\left( x \right)=\int\limits_{0}^{{{x}^{2}}}{\cos \sqrt{t}dt\,\,\left( x>0 \right)}$. Tính ${G}’\left( x \right)$.
A. ${G}’\left( x \right)={{x}^{2}}.cosx.$ B. ${G}’\left( x \right)=2x.cosx.$ C. ${G}’\left( x \right)=cosx.$ D. ${G}’\left( x \right)=cosx-1.$ |
Lời giải chi tiết:
Gọi $F\left( t \right)$ là nguyên hàm của hàm số $f\left( t \right)=\cos \sqrt{t}.$
Ta có $G\left( x \right)=\int\limits_{0}^{{{x}^{2}}}{\cos \sqrt{t}dt=F\left( {{x}^{2}} \right)-F\left( 0 \right)\xrightarrow{{}}{G}’\left( x \right)={{\left[ F\left( {{x}^{2}} \right) \right]}^{\prime }}}=2x.{F}’\left( {{x}^{2}} \right)=2x.f\left( {{x}^{2}} \right).$
Lại có $f\left( {{x}^{2}} \right)=\cos \sqrt{{{x}^{2}}}=\cos x$ nên suy ra ${G}’\left( x \right)=2x.cosx.$ Chọn B.
