CÁC DẠNG BÀI VỀ CHIỀU DÀI LÒ XO CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT
| Bài tập 1: CLLX dao động theo phương thẳng đứng: $x=5\cos \left( 10\pi t \right)cm$. Chiều dương hướng xuống. Cho $m=100g,{{\ell }_{0}}=30cm,{{\pi }^{2}}=10$.
a) Tính $\Delta {{\ell }_{0}},k$. b) Tính$\ell $ khi vật dao động được T/3. c) Tính $\ell $ khi vật có vận tốc $25\pi \sqrt{2}$m/s. |
a) $\Delta {{\ell }_{o}}=\frac{g}{{{\omega }^{2}}}=\frac{10}{{{\left( 10\pi \right)}^{2}}}=0,01m=1cm$
$k=m{{\omega }^{2}}=0,1.{{\left( 10\pi \right)}^{2}}=100\,N/m$
b) Ban đầu $t=0,\varphi =0$: Vật đang ở biên dương.
Sau T/3 vật quay được góc $120{}^\circ $và có x = -2,5 cm.
$\Rightarrow \ell ={{\ell }_{o}}+\Delta {{\ell }_{o}}-\left| x \right|=30+1-\left| -2,5 \right|=28,5cm$
c) $x=\pm \sqrt{{{A}^{2}}-{{\left( \frac{v}{\omega } \right)}^{2}}}=\pm \sqrt{{{5}^{2}}-{{\left( \frac{25\pi \sqrt{2}}{10\pi } \right)}^{2}}}=\pm 2,5\sqrt{2}cm$
$\Rightarrow \ell ={{\ell }_{o}}+\Delta {{\ell }_{o}}\pm \left| x \right|=30+1\pm 2,5\sqrt{2}=31\pm 2,5\sqrt{2}cm$.
| Bài tập 2: [Trích đề thi đại học năm 2012]. Tại nơi có gia tốc trọng trường là g, một con lắc lò xo treo thẳng đứng đang dao động điều hòa. Biết tại vị trí cân bằng của vật độ dãn của lò xo là $\Delta \ell $. Chu kì dao động của con lắc này là:
A. $2\pi \sqrt{\frac{g}{\Delta \ell }}$ B. $\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{g}{\Delta \ell }}$ C. $\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{\Delta \ell }{g}}$ D. $2\pi \sqrt{\frac{\Delta \ell }{g}}$ |
Lời giải chi tiết:
Tại VTCB lực đàn hồi cân bằng với trọng lực của vật nên:
${{F}_{dh}}=P\Leftrightarrow k.\Delta \ell =mg\Rightarrow \frac{m}{k}=\frac{\Delta \ell }{g}$. Do đó $T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi \sqrt{\frac{g}{\Delta \ell }}$. Chọn D
| Bài tập 3: Một con lắc lò xo trong quá trình dao động điều hòa có chiều dài biến thiên từ 16cm đến 22cm. Biên độ dao động của con lắc là:
A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 6cm |
Lời giải chi tiết:
Ta có biên độ dao động của con lắc: $A=\frac{{{\ell }_{\max }}-{{\ell }_{\min }}}{2}=3cm$. Chọn B
| Bài tập 4: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng và dao động điều hòa, trong khoảng thời gian một phút nó thực hiện được 30 dao động. Trong quá trình dao động chiều dài lò xo biến thiên từ 20cm đến 28 cm. Lấy $g={{\pi }^{2}}$$m/{{s}^{2}}$. Chiều dài tự nhiên của lò xo là:
A. ${{\ell }_{0}}$=24,5 cm. B. ${{\ell }_{0}}$=23,5 cm. C. ${{\ell }_{0}}$=24 cm. D. ${{\ell }_{0}}$=23 cm. |
Lời giải chi tiết:
Ta có: Chiều dài lò xo ở vị trí cân bằng là ${{\ell }_{vtcb}}=\frac{{{\ell }_{\max }}+{{\ell }_{\min }}}{2}=24cm$.
Mặt khác: $\Delta \ell =\frac{g}{{{\omega }^{2}}}=\frac{g}{{{\left( 2\pi f \right)}^{2}}}=\frac{g}{{{\left( 2\pi \frac{N}{\Delta t} \right)}^{2}}}=1\left( cm \right)\Rightarrow {{\ell }_{0}}={{\ell }_{cb}}-\Delta \ell =23(cm)$. Chọn D.
| Bài tập 5: Con lắc lò xo treo thẳng đứng, dao động điều hòa với phương trình $x=4\cos \left( 5\pi t-\frac{\pi }{3} \right)cm$. Chiều dài tự nhiên của lò xo là ${{\ell }_{0}}=20cm$, lấy $g={{\pi }^{2}}$$m/{{s}^{2}}$. Chiều dài nhỏ nhất và lớn nhất của lò xo trong quá trình dao động là:
A. ${{\ell }_{\max }}=28cm;{{\ell }_{\min }}=20cm$ B. ${{\ell }_{\max }}=28cm;{{\ell }_{\min }}=24cm$. C. ${{\ell }_{\max }}=24cm;{{\ell }_{\min }}=16cm$ D. ${{\ell }_{\max }}=22cm;{{\ell }_{\min }}=14cm$. |
Lời giải chi tiết:
Ta có:$A=4cm,\omega =5\pi \,rad/s$.
Mặt khác: $\Delta \ell =\frac{mg}{k}=\frac{g}{{{\omega }^{2}}}=\frac{10}{25{{\pi }^{2}}}=0,04m=4cm$.
Chiều dài cực đại của lò xo là: ${{\ell }_{\max }}={{\ell }_{0}}+\Delta \ell +A=28cm$.
Chiều dài cực tiểu của lò xo là ${{\ell }_{\min }}={{\ell }_{0}}+\Delta \ell -A=20cm$. Chọn A.
| Bài tập 6: Một con lắc lò xo nhẹ treo thẳng đứng. Khi treo vật ${{m}_{1}}=300g$ vào lò xo thì lò xo dài 20cm. Khi treo vật ${{m}_{2}}=800g$vào lò xo đó thì dài 25cm. Lấy$g=10m/{{s}^{2}}$. Độ cứng lò xo là:
A. 20 N/m. B. 80 N/m. C. 10 N/m. D. 100 N/m. |
Lời giải chi tiết:
Ta có: ${{\ell }_{1}}={{\ell }_{0}}+\Delta {{\ell }_{1}}={{\ell }_{0}}+\frac{{{m}_{1}}g}{k};{{\ell }_{2}}={{\ell }_{0}}+\frac{{{m}_{2}}g}{k}$
Suy ra: ${{\ell }_{1}}-{{\ell }_{2}}=\frac{\left( {{m}_{1}}-{{m}_{2}} \right)g}{k}\Rightarrow k=\frac{{{m}_{1}}-{{m}_{2}}}{{{\ell }_{1}}-{{\ell }_{2}}}g=100N/m$. Chọn D.
| Bài tập 7: Một lò xo chiều dài tự nhiên ${{\ell }_{0}}=30cm$ treo thẳng đứng, đầu dưới có một vật khối lượng m. Khi vật ở vị trí cân bằng thì lò xo dãn ra 10cm. Chọn trục Ox thẳng đứng, chiều dương hướng xuống, gốc tọa độ tại vị trí cân bằng. Kích thích cho quả cầu dao động với phương trình $x=3\cos \left( \omega t-\frac{\pi }{4} \right)$. Chiều dài của lò xo khi quả cầu dao động được một phần tư chu kì từ lúc bắt đầu dao động là :
A. $\ell =$43cm. B. $\ell =$37cm. C. $\ell =$37,88cm. D. $\ell =$42,12 cm. |
Lời giải chi tiết:
Tại thời điểm ban đầu ta có : $\varphi =-\frac{\pi }{4}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} x=1,5\sqrt{2} \\ {} v>0 \\ \end{array} \right.$
Sau $\frac{T}{4}=\frac{T}{8}+\frac{T}{8}={{t}_{\left( \frac{A\sqrt{2}}{2}\to A\to \frac{A\sqrt{2}}{2} \right)}}$
Trong thời gian $\frac{3T}{8}$vật đến điểm có li độ $x=\frac{A\sqrt{2}}{2}=1,5\sqrt{2}$
Khi đó chiều dài lò xo là: ${{\ell }_{x}}={{\ell }_{0}}+\Delta \ell +x=42,12cm$. Chọn D.
| Bài tập 8: Lò xo có chiều dài tự nhiên ${{\ell }_{0}}=30cm$ treo thẳng đứng dao động với phương trình $x=10\cos \left( 20t-\frac{2\pi }{3} \right)$cm. Chọn chiều dương hướng lên và lấy $g=10m/{{s}^{2}}$. Chiều dài lò xo ở thời điểm t=0,2s là
A. 39,2 cm. B. 45,8 cm. C. 35,8 cm. D. 29,2 cm. |
Lời giải chi tiết:
Ta có: $\Delta \ell =\frac{g}{{{\omega }^{2}}}=2,5cm$
Tại thời điểm t = 0,2s ta có: $x=4\cos \left( 20.0,2-\frac{2\pi }{3} \right)=-3,3cm$
Do chọn chiều dương hướng lên nên chiều dài của lò xo tại thời điểm này là ${{\ell }_{x}}={{\ell }_{0}}+\Delta \ell +3,3=35,8cm$. Chọn C.
| Bài tập 9: Một con lắc lò xo dao động theo phương thẳng đứng. Nâng vật đến vị trí lò xo không biến dạng rồi thả nhẹ để vật dao động điều hòa theo phương thẳng đứng. Biết khi vật có vận tốc 24m/s thì gia tốc bằng 2m/s2. Tần số góc dao động có giá trị bằng
A. 3 rad/s B. $2\sqrt{3}$ rad/s C. 5 rad/s D. 2 rad/s |
Lời giải chi tiết:
Tại thời điểm ban đầu lò xo không bị biến dạng : $\Delta \ell =A$.
Khi đó: $\Delta \ell =A=\frac{g}{{{\omega }^{2}}}$
Lại có $x=\frac{a}{-{{\omega }^{2}}}=\frac{-2}{{{\omega }^{2}}};{{A}^{2}}={{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}\Rightarrow \frac{100}{{{\omega }^{4}}}=\frac{4}{{{\omega }^{4}}}+\frac{24}{{{\omega }^{2}}}\Rightarrow {{\omega }^{2}}=4\Rightarrow \omega =2\left( rad/s \right)$. Chọn D.
| Bài tập 10: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng, vật treo có khối lượng m. Kéo vật xuống dưới vị trí cân bằng 3cm rồi truyền cho nó vận tốc 40 cm/s thì nó dao động điều hòa theo phương thẳng đứng trùng với trục của lò xo và khi vật ở vị trí thấp nhất, lò xo giãn 15 cm. Lấy gia tốc trọng trường $g=10m/{{s}^{2}}$. Gia tốc cực đại của vật là:
A. ${{a}_{\max }}=50cm/{{s}^{2}}$ B. ${{a}_{\max }}=5m/{{s}^{2}}$ C. ${{a}_{\max }}=1,57m/{{s}^{2}}$ D. ${{a}_{\max }}=49,34m/{{s}^{2}}$ |
Lời giải chi tiết:
Ở vị trí cân bằng lò xo dãn: $\Delta \ell =\frac{g}{{{\omega }^{2}}}$.
Ở vị trí thấp nhất lò xo dãn một đoạn: $\Delta {{\ell }_{\max }}=\Delta \ell +A=\frac{g}{{{\omega }^{2}}}+A=0,15$.
Suy ra $\frac{1}{{{\omega }^{2}}}=0,015-0,1A$.
Mặt khác theo hệ thức độc lập ta có:${{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}}\Leftrightarrow 0,{{03}^{2}}+0,{{4}^{2}}\left( 0,015-0,1A \right)={{A}^{2}}$
$\Leftrightarrow A=\frac{1}{20}=5cm\Rightarrow {{a}_{\max }}={{\omega }^{2}}A={{10}^{2}}.0,05=5m/{{s}^{2}}$. Chọn B.
| Bài tập 11: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng. Giữ vật theo phương thẳng đứng làm lò xo dãn 4cm rồi truyền cho nó vận tốc 80cm/s hướng lên để vật dao động điều hòa. Biết rằng tại vị trí cao nhất lò xo không nén giãn. Lấy $g=10m/{{s}^{2}}$, biên độ dao động của vật là:
A. $4\sqrt{3}$cm B. 5cm C. 10cm D. $4\sqrt{2}$cm |
Lời giải chi tiết:
Do ở vị trí cao nhất lò xo không nén không giãn nên $\Delta \ell =A=\frac{g}{{{\omega }^{2}}}$
Khi lò xo dãn 4(cm) vật cách vị trí cân bằng A- 0,04 (m)
Ta có hệ thức độc lập: ${{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}}$.
Do đó ${{\left( A-0,04 \right)}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( A-0,04 \right)}^{2}}+0,{{8}^{2}}.\frac{A}{g}={{A}^{2}}\Leftrightarrow A=10cm.$ Chọn C.
| Bài tập 12: Lần lượt treo vào hai vật có khối lượng ${{m}_{1}}=4m$ và ${{m}_{2}}=5m$vào một lò xo treo thẳng đứng thì khi cân bằng, lò xo có chiều dài lần lượt là 30,5cm và 34,5 cm. Lấy $g={{\pi }^{2}}=10m/{{s}^{2}}$chu kì dao động của con lắc khi treo đồng thời hai vật là
A. T = 1s B. T = 1,2s C. T = 1,5s D. T = 2s |
Lời giải chi tiết:
Khi treo vật nặng khối lượng m ta có: $4mg=k\left( {{\ell }_{1}}-{{\ell }_{0}} \right)$
Khi treo vật nặng khối lượng 3m ta có: $5mg=k\left( {{\ell }_{2}}-{{\ell }_{0}} \right)$
Suy ra$mg=k\left( {{\ell }_{2}}-{{\ell }_{1}} \right)$.
Chu kì khi treo 2 vật $T=2\pi \sqrt{\frac{9m}{k}}=6\pi \sqrt{\frac{m}{k}}=6\pi \sqrt{\frac{{{\ell }_{2}}-{{\ell }_{1}}}{g}}=1,2s$. Chọn B.
| Bài tập 13: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng. Người ta kích thích cho quả nặng dao động điều hòa theo phương thẳng đứng xung quanh vị trí cân bằng. Biết thời gian quả nặng đi từ vị trí thấp nhất đến vị trí cao nhất cách nhau 10cm là $\pi /5$(s). Tốc độ khi vật qua vị trí cân bằng là
A. v = 50 cm/s B. v = 25 cm/s C. v = 50$\pi $ cm/s D. v = 25$\pi $ cm/s |
Lời giải chi tiết
Ta có: $\left\{ \begin{array}{} {{\ell }_{\max }}={{\ell }_{0}}+\Delta {{\ell }_{0}}+A \\ {} {{\ell }_{\min }}={{\ell }_{0}}+\Delta {{\ell }_{0}}-A \\ \end{array} \right.\Rightarrow {{\ell }_{\max }}-{{\ell }_{\min }}=2A=10\Rightarrow A=5cm$.
Thời gian vật nặng đi từ vị trí có biên độ – A đến vị trí có biên độ A là $\Delta t=\frac{\pi }{5}$.
Khi đó $\Delta t=\frac{\Delta \varphi }{\omega }\Rightarrow \omega =\frac{\Delta \varphi }{\Lambda t}=\frac{\pi }{\frac{\pi }{5}}=5$. Vậy tốc độ cực đại ${{v}_{\max }}=A.\omega =5.5=25cm/s$. Chọn B.
| Bài tập 14: Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương thẳng đứng. Chiều dài tự nhiên của lò xo là ${{\ell }_{0}}=30cm$, trong khi vật dao động, chiều dài lò xo biến thiên từ 32 cm đến 38 cm. Độ biến dạng của lò xo tại vị trí cân bằng là
A. $\Delta {{\ell }_{0}}=6cm$ B. $\Delta {{\ell }_{0}}=4cm$ C. $\Delta {{\ell }_{0}}=5cm$ D. $\Delta {{\ell }_{0}}=3cm$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có: $\left\{ \begin{array}{} {{\ell }_{\min }}={{\ell }_{cb}}-A \\ {} {{\ell }_{\max }}={{\ell }_{cb}}+A \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} {{\ell }_{cb}}+A=38 \\ {} {{\ell }_{cb}}-A=32 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{} {{\ell }_{cb}}=35 \\ {} A=3 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \Delta {{\ell }_{0}}={{\ell }_{cb}}-{{\ell }_{0}}=5cm$. Chọn C.
| Bài tập 15: Con lắc lò xo treo thẳng đứng, dao động điều hòa với phương trình $x=5\cos \left( 4\pi t+\frac{\pi }{3} \right)cm$. Chiều dài tự nhiên của lò xo là 40 cm. Tính chiều dài của lò xo khi vật dao động được $\frac{4}{3}T$, kể từ thời điểm t = 0, chọn chiều dương hướng lên?
A. 43,75 cm B. 51,25cm C. 48,25 cm D. 46,25cm |
Lời giải chi tiết:
Tần số góc $\omega =4\pi \Rightarrow \Delta {{\ell }_{0}}=\frac{g}{{{\omega }^{2}}}=\frac{{{\pi }^{2}}}{16{{\pi }^{2}}}=0,0625m=6,25cm$.
+) Tại thời điểm t= 0, ta có $\left\{ \begin{array}{} {{x}_{1}}=5.\cos \frac{\pi }{3}=\frac{5}{2} \\ {} v=-5.\sin \frac{\pi }{3}<0 \\ \end{array} \right.$ $\Rightarrow $ vật ở vị trí M1 : có li độ $x=\frac{A}{2}$di chuyển về VTCB.
+) Tại thời điểm t = t2, ta có $\Delta t=\frac{4T}{3}\Rightarrow \Delta \varphi =\omega .\Delta t=\frac{2\pi }{T}.\frac{4T}{3}=\frac{8\pi }{3}\Rightarrow $vật ở vị trí M2 có li độ x = -A.
Vậy chiều dài của lò xo cần tính là ${{\ell }_{\frac{4T}{3}}}={{\ell }_{0}}+\Delta {{\ell }_{0}}+x=40+6,25+5=51,25cm$. Chọn B.
| Bài tập 16: Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương thẳng đứng. Chiều dài tự nhiên của lò xo là ${{\ell }_{0}}=30cm$, còn trong khi dao động chiều dài biến thiên từ 32 cm đến 38 cm. Lấy $g=10m/{{s}^{2}}$, tốc độ cực đại của vật nặng là:
A. ${{v}_{\max }}=60\sqrt{2}\left( cm/s \right)$ B. ${{v}_{\max }}=30\sqrt{2}\left( cm/s \right)$ C. ${{v}_{\max }}=30\left( cm/s \right)$ D. ${{v}_{\max }}=60\left( cm/s \right)$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có: $\left\{ \begin{array}{} {{\ell }_{\min }}={{\ell }_{cb}}-A \\ {} {{\ell }_{\max }}={{\ell }_{cb}}+A \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} {{\ell }_{cb}}+A=38 \\ {} {{\ell }_{cb}}-A=32 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{} {{\ell }_{cb}}=35 \\ {} A=3 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \Delta {{\ell }_{0}}={{\ell }_{cb}}-{{\ell }_{0}}=5cm$.
Tần số góc dao động của vật là: $\omega =\sqrt{\frac{g}{\Delta {{\ell }_{0}}}}=\sqrt{\frac{10}{0,05}}=10\sqrt{2}$rad/s.
Vậy tốc độ cực đại của vật nặng là ${{v}_{\max }}=A.\omega =3.10\sqrt{2}=30\sqrt{2}cm/s$. Chọn B.
| Bài tập 17: Một CLLX dao động theo phương thẳng đứng, k = 62,5 N/m; m=100g. Giữ vật theo phương thẳng đứng làm lò xo dãn 3,2 cm rồi truyền cho nó vận tốc 60 cm/s hướng lên để vật dao động điều hòa. Biên độ dao động của vật là:
A. $3\sqrt{3}$cm B. $0,8\sqrt{13}$cm C. $2\sqrt{2}$cm D. 2,54cm |
Lời giải chi tiết:
Ta có: $\Delta {{\ell }_{0}}=\frac{mg}{k}=0,016(m)=1,6\left( cm \right);\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}=25\left( rad/s \right)$
Khi lò xo dãn 3,2 (cm) vật cách vị trí cân bằng 3,2 – 1,6 = 1,6 (cm)
Ta có: $A=\sqrt{{{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}}=\sqrt{1,{{6}^{2}}+2,{{4}^{2}}}=0,8\sqrt{13}\left( cm \right)$. Chọn B.
| Bài tập 18: Con lắc lò xo đang dao động điều hòa theo phương ngang với biên độ $A=4\sqrt{2}\left( cm \right)$. Biết lò xo có độ cứng k = 50 (N/m), vật dao động có khối lượng m = 200 (g), lấy ${{\pi }^{2}}=10$. Khoảng thời gian trong một chu kì để lò xo dãn một lượng lớn hơn $2\sqrt{2}$cm là:
A. 2/15s B. 1/15s C. 1/3s D. 0,1s |
Lời giải chi tiết:
Để dãn lớn hơn $2\sqrt{2}cm=\frac{A}{2}$thì vật có li độ nằm trong khoảng $x=\frac{A}{2}$đến A
$\Delta t=\frac{T}{6}+\frac{T}{6}=\frac{T}{3}=\frac{1}{3}2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}=\frac{1}{3}2\pi \sqrt{\frac{0,2}{50}}=\frac{2}{15}\left( s \right)$. Chọn A.
| Bài tập 19: Một lò xo nhẹ có chiều dài tự nhiên 30 cm có độ cứng là k, đầu trên cố định, đầu dưới gắn vật có khối lượng m sao cho vật dao động điều hòa trên mặt phẳng nghiêng so với mặt phẳng ngang một góc $30{}^\circ $với phương trình $x=6\cos \left( 10t+5\pi /6 \right)\left( cm \right)$(t đo bằng giây) tại nơi có gia tốc trọng trường $g=10\left( m/{{s}^{2}} \right)$. Trong quá trình dao động chiều dài cực tiểu của lò xo là
A. 29 cm B. 25 cm C. 31 cm D. 36 cm |
Lời giải chi tiết:
Độ dãn của lò xo thẳng đứng khi vật ở VTCB:
$\Delta {{\ell }_{0}}=\frac{mg\sin \alpha }{k}=\frac{g\sin \alpha }{{{\omega }^{2}}}=0,05\left( m \right)$
Chiều dài lò xo tại VTCB: ${{\ell }_{cb}}={{\ell }_{0}}+\Delta {{\ell }_{0}}=35\left( cm \right)$(${{\ell }_{0}}$là chiều dài tự nhiên).
Chiều dài cực tiểu (khi vật ở vị trí cao nhất): ${{\ell }_{\min }}={{\ell }_{cb}}-A=29\left( cm \right)$. Chọn A.
