Cách Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc và khoảng cách – bài tập có đáp án
Phương pháp giải bài toán viết phương trình đường thẳng
+ Giả sử đường thẳng cần lập có một véc tơ chỉ phương là ${{\overrightarrow{u}}_{d}}=(a;b;c),{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0$
+ Đường thẳng d song song với (P) hoặc vuông góc với ∆
Khi đó ta có $\left[ \begin{array} {} \overrightarrow{{{u}_{d}}}.\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=0 \\ {} \overrightarrow{{{u}_{d}}}.\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=0 \\ \end{array} \right.\Rightarrow F(a;b;c)=0\Rightarrow a=f(b;c)$
+ Từ các dữ liệu về góc, khoảng cách ta được một phương trình đẳng cấp bậc hai theo các ẩn a, b, c
Thay a = f(b,c) vào phương trình này, giải ra được b = m.c hoặc b = n.c
Chọn c = 1, từ đó tìm được các giá trị tương ứng của a và b $\Rightarrow $phương trình mặt phẳng (P) cần lập.
Chú ý: Phương trình đẳng cấp bậc hai là phương trình có dạng
$A{{x}^{2}}+Bxy+C{{y}^{2}}=0\Leftrightarrow A{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{2}}+B\left( \frac{x}{b} \right)+C=0\Rightarrow \frac{x}{y}=t\Leftrightarrow x=t.y$
Bài tập viết phương trình đường thẳng trong không gian có Lời giải chi tiết
| Bài tập 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm $A(-9;0;0)$, nằm trong mặt phẳng $(P):x+2y-2z+9=0$ và tiếp xúc với mặt cầu có phương trình $(S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4x+2y-4=0$ |
Lời giải chi tiết
Đường thẳng ∆ có véc tơ chỉ phương ${{\overrightarrow{u}}_{d}}=(a;b;c),({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0)$
Mặt cầu $(S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4x+2y-4=0$có tâm $I(2;-1;0),R=3$
Do $\Delta \in (P)\Leftrightarrow {{\overrightarrow{u}}_{\Delta }}.{{\overrightarrow{n}}_{P}}=0\Leftrightarrow a+2b-2c=0\Rightarrow a=2c-2b\Rightarrow {{\overrightarrow{u}}_{\Delta }}=(2c-2b;b;c)$
Ta có $\overrightarrow{AI}=(11;-1;0)$và $\left[ \overrightarrow{AI},\overrightarrow{u} \right]=(-c;-11c;9b+2c)$
Điều kiện để ∆ tiếp xúc với (S): $d(I;\Delta )=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{AI},\overrightarrow{u} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|}=R\Leftrightarrow \frac{\sqrt{{{c}^{2}}+121{{c}^{2}}+{{(9b+2c)}^{2}}}}{\sqrt{{{(2c-2b)}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=3$
$\begin{array} {} \Leftrightarrow 81{{b}^{2}}+36bc+126{{c}^{2}}=9(5{{b}^{2}}-8bc+5{{c}^{2}}) \\ {} \Leftrightarrow 9{{c}^{2}}+12bc+4{{b}^{2}}=0\Leftrightarrow {{(3c+2b)}^{2}}=0\Leftrightarrow 3c+2b=0\Rightarrow b=3;c=-2 \\ \end{array}$
Suy ra $\overrightarrow{u}=(-10;3;-2)$, phương trình đường thẳng ∆ là $\frac{x+9}{-10}=\frac{y}{3}=\frac{z}{-2}$
| Bài tập 2 : Cho hai đường thẳng $d:\left\{ \begin{array} {} x=2+3t \\ {} y=-3+t \\ {} z=4-2t \\ \end{array} \right.$và $d’:\frac{x-4}{3}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{-2}$. Phương trình đường thẳng thuộc mặt phẳng chứa d và d’ đồng thời cách đều hai đường thẳng đó là
A. $\frac{x-3}{3}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-2}{-2}$ B. $\frac{x+3}{3}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-2}{-2}$ C. $\frac{x+3}{3}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+2}{-2}$ D. $\frac{x-3}{3}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-2}{-2}$ |
Lời giải chi tiết
Dễ thấy d//d’ , đường thẳng ∆ cần tìm cách đều d và d’ nên ∆//d $\Rightarrow {{\overrightarrow{u}}_{\Delta }}=(3;1;-2)$
Đường thẳng d đi qua điểm $A(2;-3;4)$, đường thẳng d’ qua điểm $B(4;-1;0)$
Trung điểm của AB là: $I(3;-2;2)$
Khi đó ∆ qua $I(3;-2;2)$và có VTCP : ${{\overrightarrow{u}}_{\Delta }}=(3;1;-2)$nên $\Delta :\frac{x-3}{3}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-2}{-2}$. Chọn A.
| Bài tập 3 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, cho mặt cầu $(S):{{(x+1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{z}^{2}}=9$và điểm $A(1;0;-2)$. Phương trình đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A và tạo với trục Ox một góc $\alpha $ sao cho $cos\alpha =\frac{1}{3\sqrt{10}}$là:
A. $\Delta :\frac{x-1}{1}=\frac{y}{-8}=\frac{z+2}{5}$ B. $\Delta :\frac{x-1}{1}=\frac{y}{8}=\frac{z+2}{-5}$ C. $\Delta :\frac{x+1}{1}=\frac{y}{-8}=\frac{z-2}{5}$ D. $\Delta :\frac{x+1}{1}=\frac{y}{8}=\frac{z-2}{5}$ |
Lời giải chi tiết
Gọi ${{\overrightarrow{u}}_{\Delta }}=(a;b;c),({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆
Mặt cầu (S) có tâm $I(-1;1;0)$. Vì đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A nên:
$\overrightarrow{IA}(2;-1;-2)\bot \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\Leftrightarrow 2a-b-2c=0\Leftrightarrow b=2a-2c$ (1)
Mặt khác đường thẳng ∆ tạo với trục Ox một góc $\alpha $với $cos\alpha =\frac{1}{3\sqrt{10}}$ nên
$\frac{\left| a \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\frac{1}{3\sqrt{10}}\Leftrightarrow {{b}^{2}}=89{{a}^{2}}-{{c}^{2}}$(2)
Từ (1) và (2) ta có phương trình $85{{a}^{2}}+8ac-5{{c}^{2}}=0$(3)
Với c = 0, suy ra a = 0, b = 0 (không thỏa mãn)
Với $c\ne 0$, ta có (3) $\Leftrightarrow 5{{\left( \frac{a}{c} \right)}^{2}}+8\frac{a}{c}-5=0\Leftrightarrow \frac{a}{c}=\frac{1}{5}$hoặc $\frac{a}{c}=-\frac{5}{17}$
n Với $\frac{a}{c}=\frac{1}{5}$, ta chọn $a=1,c=5\Rightarrow b=-8$. Suy ra phương trình $\Delta :\frac{x-1}{1}=\frac{y}{-8}=\frac{z+2}{5}$
n Với $\frac{a}{c}=-\frac{5}{17}$, ta chọn $a=5,c=-17\Rightarrow b=44$. Suy ra phương trình $\Delta :\frac{x-1}{5}=\frac{y}{44}=\frac{z+2}{-17}$
Chọn A.
| Bài tập 4: Trong không gian tọa độ cho mặt cầu $(S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}+{{z}^{2}}=9$và điểm $M(2;0;-2)$. Phương trình đường thẳng d tiếp xúc với (S) tại M và tạo với mặt phẳng $(P):x+y-3=0$ một góc ${{30}^{\circ }}$ là :
A. $d:\left\{ \begin{array} {} x=2 \\ {} y=t \\ {} z=-2+t \\ \end{array} \right.$ B. $d:\left\{ \begin{array} {} x=2 \\ {} y=t \\ {} z=-2-t \\ \end{array} \right.$ C. $d:\left\{ \begin{array} {} x=2 \\ {} y=-t \\ {} z=-2+t \\ \end{array} \right.$ D. $d:\left\{ \begin{array} {} x=2 \\ {} y=-t \\ {} z=-2-t \\ \end{array} \right.$ |
Lời giải chi tiết
Gọi ${{\overrightarrow{u}}_{d}}=(a;b;c),({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng d
Mặt cầu (S) có tâm $I(1;-2;0)$. Vì đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M nên:
Ta có: $\overrightarrow{IM}=(1;2;-2)\bot \overrightarrow{{{u}_{d}}}\Leftrightarrow a+2b-2c=0\Leftrightarrow a=2c-2b$
Mặt khác đường thẳng d tạo với mặt phẳng (P) một góc ${{30}^{\circ }}$ nên:
Ta có: $\sin {{30}^{\circ }}=cos\left( \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{n}_{(P)}}} \right)=\frac{\left| a+b \right|}{\sqrt{2}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\frac{\left| 2c-b \right|}{\sqrt{2}\sqrt{5{{b}^{2}}+5{{c}^{2}}-8bc}}=\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow 2{{(b-2c)}^{2}}=5{{b}^{2}}+5{{c}^{2}}-8bc\Leftrightarrow 3{{b}^{2}}=3{{c}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} b=c \\ {} b=-c \\ \end{array} \right.$
n Với b = c chọn $b=c=1;a=0$ ta có: $d:\left\{ \begin{array} {} x=2 \\ {} y=t \\ {} z=-2+t \\ \end{array} \right.$
n Với b = – c chọn $b=-1;c=1;a=4$ta có: $d:\left\{ \begin{array} {} x=2+4u \\ {} y=-u \\ {} z=-2+u \\ \end{array} \right.$. Chọn A.
| Bài tập 5 : Trong không gian tọa độ cho mặt cầu ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4x+2y+6z-12=0$và đường thẳng $(d):x=5+2t;y=4;z=7+t$. Phương trình đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm $M(5;0;1)$ và ∆ tạo với d góc $\varphi $ sao cho $cos\varphi =\frac{1}{\sqrt{7}}$là:
A. $\left\{ \begin{array} {} x=5-3t \\ {} y=-5t \\ {} z=1-t \\ \end{array} \right.$ B. $d:\left\{ \begin{array} {} x=5+3t \\ {} y=5t \\ {} z=1-t \\ \end{array} \right.$ C. $d:\left\{ \begin{array} {} x=5+3t \\ {} y=-5t \\ {} z=1-t \\ \end{array} \right.$ D. $d:\left\{ \begin{array} {} x=5-3t \\ {} y=-5t \\ {} z=1+t \\ \end{array} \right.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có $(S):{{(x-2)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{(z+3)}^{2}}=26\Rightarrow (S)$có tâm $I(2;-1;-3)$và bán kính $R=\sqrt{26}$
$\overrightarrow{IM}=(3;1;4),\overrightarrow{{{u}_{1}}}=(2;0;1)$là 1 VTCP của d.
Giả sử ${{\overrightarrow{u}}_{2}}=(a;b;c)$ là 1 VTCP của đường thẳng ∆, $({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0)$
Do ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M $\Rightarrow \overrightarrow{IM}\bot \overrightarrow{{{u}_{2}}}\Leftrightarrow 3a+b+4c=0\Leftrightarrow b=-3a-4c$ (1)
Mà góc giữa đường thẳng ∆ và đường thẳng d bằng $\varphi $
$\Rightarrow \left| cos\left( \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right) \right|=cos\varphi \Leftrightarrow \frac{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}}.\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|}=\frac{1}{\sqrt{7}}\Leftrightarrow \frac{\left| 2a+c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}.\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{7}}$ (2)
Thay (1) và (2) ta được $\sqrt{7}\left| 2a+c \right|=\sqrt{5}.\sqrt{{{a}^{2}}+{{(3a+4c)}^{2}}+{{c}^{2}}}$
$\Leftrightarrow 7(4{{a}^{2}}+4ac+{{c}^{2}})=5({{a}^{2}}+9{{a}^{2}}+24ac+16{{c}^{2}}+{{c}^{2}})\Leftrightarrow 22{{a}^{2}}+92ac+78{{c}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} a=-3c \\ {} a=-\frac{13}{11}c \\ \end{array} \right.$
Với $a=-3c$, do ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0\Rightarrow c\ne 0$. Chọn $c=-1\Rightarrow a=3;b=-5\Rightarrow \Delta :\left\{ \begin{array} {} x=5+3t \\ {} y=-5t \\ {} z=1-t \\ \end{array} \right.$
Với $a=-\frac{13}{11}c$ chọn $c=-11\Rightarrow a=13;b=5\Rightarrow \Delta :\left\{ \begin{array} {} x=5+3t \\ {} y=5t \\ {} z=1-11t \\ \end{array} \right.$. Chọn C.
