Nguyên hàm là gì? Bảng công thức nguyên hàm, tính chất, định nghĩa, định lý
I. Vi phân của hàm số
Vi phân của hàm số $y=f\left( x \right)$ được ký hiệu là $dy$ và cho bởi $dy=df\left( x \right)={y}’dx={f}’\left( x \right)dx$
II. Nguyên hàm là gì?
1. Định nghĩa nguyên hàm
Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $K$. Hàm số $F\left( x \right)$ được gọi là nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên $K$ nếu ${F}’\left( x \right)=f\left( x \right)$ với mọi $x$ thuộc $K$.
2. Định lý
Định lý 1: Nếu $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ trên $K$ thì với mỗi hằng số $C$, hàm số $G\left( x \right)=F\left( x \right)+C$ cũng là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên $K$.
Định lý 2: Nếu $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ trên $K$ thì mọi nguyên hàm của hàm số $F\left( x \right)$ trên $K$ đều có dạng $F\left( x \right)+C$ với $C$ là một hằng số.
3. Tính chất của nguyên hàm
Nếu $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ là hai hàm số liên tục trên $K$ thì
– Tính chất 1:$\int{{f}’\left( x \right)dx=f\left( x \right)+C}$
– Tính chất 2: $\int{k.f\left( x \right)dx=k.\int{f\left( x \right)dx}}$, với $k$ là số thực khác 0.
– Tính chất 3: $\int{\left[ f\left( x \right)\pm g\left( x \right) \right]dx=\int{f\left( x \right)dx\pm \int{g\left( x \right)dx}}}$
4. Bảng công thức nguyên hàm
|
Bảng công thức nguyên hàm thường gặp |
|
|
Các công thức nguyên hàm |
Công thức nguyên hàm của hàm hợp |
|
$\int{{{x}^{n}}}dx=\frac{{{x}^{n+1}}}{n+1}+C$ $\left( n\ne -1 \right)$ |
$\int{{{u}^{n}}}dx=\frac{{{u}^{n+1}}}{n+1}+C$ $\left( n\ne -1 \right)$ |
|
$\int{\sin xdx=-\cos x+C}$ |
$\int{\operatorname{sinu}du=-\operatorname{cosu}+C}$ |
|
$\int{\cos xdx=\sin x+C}$ |
$\int{\cos udu=\sin u+C}$ |
|
$\int{\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}dx=\tan x+C}$ |
$\int{\frac{1}{{{\cos }^{2}}u}du=\tan u+C}$ |
|
$\int{\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}dx=-\cot x+C}$ |
$\int{\frac{1}{{{\sin }^{2}}u}du=-\cot u+C}$ |
|
$\int{\frac{1}{x}dx=\ln \left| x \right|+C}$ |
$\int{\frac{1}{u}du=\ln \left| u \right|+C}$ |
|
$\int{{{e}^{x}}}dx={{e}^{x}}+C$ |
$\int{{{e}^{u}}}du={{e}^{u}}+C$ |
|
$\int{{{a}^{x}}dx=\frac{{{a}^{x}}}{\ln a}+C}$ |
$\int{{{a}^{u}}du=\frac{{{a}^{u}}}{\ln a}+C}$ |
Đặc biệt: $\int{0dx=C}$; $\int{dx=x+C}$.
