Sự tương giao của đồ thị hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất (cách giải và bài tập có đáp án)
Phương pháp giải bài toán tương giao hàm phân thức
Xét sự tương giao giữa đồ thị $\left( C \right):y=\frac{ax+b}{cx+d}$và đường thẳng $d:y=kx+\ell $
Phương trình hoành độ giao điểm của d và $\left( C \right)$ là:$\frac{ax+b}{cx+d}=kx+\ell \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x\ne -\frac{d}{c} \\ {} g(x)=A{{x}^{2}}+Bx+C=0 \\ \end{array} \right.\left( * \right)$
Bài toán biện luận số giao điểm của hai đồ thị
- Trường hợp 1: Xét $A=0\Rightarrow $ Kết luận về số giao điểm.
- Trường hợp 2: Xét $A\ne 0$
+) d cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt $\Leftrightarrow g\left( x \right)=0$ hai nghiệm phân biệt khác $\frac{-d}{c}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \Delta ={{B}^{2}}-4AC>0 \\ {} g\left( \frac{-d}{c} \right)=A.{{\left( \frac{-d}{c} \right)}^{2}}+B.\frac{-d}{c}+C\ne 0 \\ \end{array} \right.$
+) d cắt $\left( C \right)$ tại điểm duy nhất $\Leftrightarrow g\left( x \right)$ có nghiệm kép khác $\frac{-d}{c}$ hoặc $g\left( x \right)$có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm $x=\frac{-d}{c}\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} \left\{ \begin{array} {} {{\Delta }_{g(x)}}=0 \\ {} g\left( \frac{-d}{c} \right)\ne 0 \\ \end{array} \right. \\ {} \left\{ \begin{array} {} {{\Delta }_{g(x)}}>0 \\ {} g\left( \frac{-d}{c} \right)=0 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.$
+) d không cắt $\left( C \right)$$\Leftrightarrow g\left( x \right)$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép bằng $\frac{-d}{c}\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} {{\Delta }_{g(x)}}<0 \\ {} \left\{ \begin{array} {} {{\Delta }_{g(x)}}=0 \\ {} g\left( \frac{-d}{c} \right)=0 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.$
Bài toán liên quan đến tính chất các giao điểm
Phần này, ta chỉ xét bài toán mà có liên quan đến d cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt.
Bước 1. Tìm điều kiện để d cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt
$\Leftrightarrow g\left( x \right)=0$ có hai nghiệm phân biệt khác $\frac{-d}{c}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \Delta ={{B}^{2}}-4AC>0 \\ {} g\left( \frac{-d}{c} \right)=A.{{\left( \frac{-d}{c} \right)}^{2}}+B.\frac{-d}{c}+C\ne 0 \\ \end{array} \right.\left( 1 \right)$
Bước 2. Khi đó gọi $A({{x}_{1}};k{{x}_{1}}+\ell ),B({{x}_{2}};k{{x}_{2}}+\ell )$ là tọa độ hai giao điểm
Với ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình $g(x)=0$ nên theo định lý Viet ta có $\left\{ \begin{array} {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{B}{A} \\ {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{C}{A} \\ \end{array} \right.$
Bước 3. Theo yêu cầu bài toán, ta tìm giá trị của tham số chú ý đối chiếu với điều kiện (1) để chọn đáp án đúng.
Chú ý:
$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}$
${{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}$
$AB=\sqrt{{{\left( {{x}_{A}}-{{x}_{B}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{A}}-{{y}_{B}} \right)}^{2}}}$
${{S}_{IAB}}=\frac{1}{2}d\left( I;AB \right).AB$
Tam giác IAB vuông tại $I\Leftrightarrow \overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB}=0$
Trọng tâm tam giác IAB là $G\left( \frac{{{x}_{I}}+{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{3};\frac{{{y}_{I}}+{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{3} \right)$
Bài tập trắc nghiệm tương giao đồ thị có đáp án
|
Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng $\left( d \right):x-2y+m=0$ cắt đồ thị hàm số $y=\frac{x-3}{x+1}$ tại hai điểm phân biệt. A. $\frac{3-4\sqrt{2}}{2}<m<\frac{3+4\sqrt{2}}{2}$ B. $3-4\sqrt{2}<m<3+4\sqrt{2}$ C. $\left[ \begin{array} {} m\frac{3+4\sqrt{2}}{2} \\ \end{array} \right.$ D. $\left[ \begin{array} {} m3+4\sqrt{2} \\\end{array} \right.$ |
Lời giải
Ta có: $d:y=\frac{x}{2}+\frac{m}{2}$ . Phương trình hoành độ giao điểm là: $\frac{x-3}{x+1}=\frac{x+m}{2}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x\ne -1 \\ {} g\left( x \right)={{x}^{2}}+(m-1)x+m+6=0 \\ \end{array} \right.$
Để d cắt đồ thị hàm số $y=\frac{x-3}{x+1}$ tại 2 điểm phân biệt thì $g(x)=0$ phải có 2 nghiệm phân biệt khác $-1\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \Delta ={{(m-1)}^{2}}-4(m+6)>0 \\ {} g(-1)=8\ne 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow {{m}^{2}}-6m-23>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m>3+4\sqrt{2} \\ {} m<3-4\sqrt{2} \\ \end{array} \right.$ . Chọn D.
|
Ví dụ 2: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng $y=x+1$ cắt đồ thị hàm số $y=\frac{2x+m}{x-1}$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương. A. $-2<m<-1$ B. $m<-1$ C. $m<1$ D. $-2<m<1$ |
Lời giải
Điều kiện: $x\ne 1$ . Phương trình hoành độ giao điểm $x+1=\frac{2x+m}{x-1}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-m-1=0\left( * \right)$
Để cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương thì phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt khác $1\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {\Delta }’>0 \\ {} S>0 \\ {} P>0 \\ {} m\ne -2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 1+m+1>0 \\ {} 2>0 \\ {} -m-1>0 \\ {} m\ne -2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m>-2 \\ {} m<-1\Leftrightarrow -2<m<-1 \\ {} m\ne -2 \\ \end{array} \right.$ . Chọn A.
|
Ví dụ 3: Cho hàm số $y=\frac{x+1}{x-1}\left( C \right)$ và đường thẳng $d:y=x+m$ . Gọi S là tập hợp các giá trị của m để d cắt $\left( C \right)$tại 2 điểm phân biệt có hoành độ ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ thỏa mãn $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=9$ . Tổng các phần tử của tập hợp S là: A. – 2 B. 3 C. 2 D. – 1 |
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$ và d là $\frac{x+1}{x-1}=x+m\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x\ne 1 \\ {} g\left( x \right)={{x}^{2}}+(m-2)x-m-1=0 \\ \end{array} \right.\left( 1 \right)$
Để đồ thị $\left( C \right)$ cắt d tại 2 điểm phân biệt $\Leftrightarrow g(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \Delta ={{(m-2)}^{2}}+4(m+1)>0 \\ {} g(1)=-2\ne 0 \\ \end{array} \right.\left( * \right)$ . Khi đó gọi ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ là nghiệm của PT $g(x)=0$
Theo Viet ta có: $\left\{ \begin{array} {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2-m \\ {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-m-1 \\ \end{array} \right.$
Ta có: $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{(2-m)}^{2}}+2(m+1)={{m}^{2}}-2m+6=9\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m=3 \\ {} m=-1 \\ \end{array} \right.$ (thỏa mãn (*))
Vậy $S=\left\{ 3;-1 \right\}\Rightarrow T=2$ .Chọn C.
|
Ví dụ 4: Cho hàm số: $y=\frac{2x-1}{x+1}(C)$ và đường thẳng $d:y=2x+m$ . Gọi S là tập hợp các giá trị của m để d cắt $\left( C \right)$ tại 2 điểm phân biệt có hoành độ ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=\frac{1}{2}$ . Tổng các phần tử của tập hợp S là: A. 8 B. 9 C. 10 D. -1 |
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$và d: $\frac{2x-1}{x+1}=2x+m\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x\ne -1 \\ {} g(x)=2{{x}^{2}}+mx+m+1=0 \\ \end{array} \right.$
Để đồ thị $\left( C \right)$ cắt d tại 2 điểm phân biệt $\Leftrightarrow g(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác -1.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \Delta ={{m}^{2}}-8(m+1)>0 \\ {} g(-1)=3\ne 0 \\ \end{array} \right.(*)$ . Khi đó gọi ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ là nghiệm của PT $g(x)=0$
Theo Viet ta có: $\left\{ \begin{array} {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-m}{2} \\ {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{m+1}{2} \\ \end{array} \right.$
Khi đó $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=\frac{1}{2}\Leftrightarrow {{({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}^{2}}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow {{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{1}{4}$
$\Leftrightarrow \frac{{{m}^{2}}}{4}-2(m+1)=\frac{1}{4}\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m=9 \\ {} m=-1 \\ \end{array} \right.$ (t/m)
Vậy $S=\left\{ 9;-1 \right\}\Rightarrow T=8$ . Chọn A.
|
Ví dụ 5: Cho hàm số $y=\frac{x+1}{x-2}(C)$ và đường thẳng $d:y=x+m$ . Số các giá trị của tham số m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho $AB=4\sqrt{2}$là A. 2 B. 1 C. 0 D. 3 |
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$và d: $\frac{x+1}{x-2}=x+m\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x\ne 2 \\ {} g(x)={{x}^{2}}+(m-3)x-2m-1=0 \\ \end{array} \right.$(1)
Để đồ thị (C) cắt d tại 2 điểm phân biệt $\Leftrightarrow g(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 2.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \Delta ={{(m-3)}^{2}}+4(2m+1)>0 \\ {} g(2)=-3\ne 0 \\ \end{array} \right.\left( * \right)$
Khi đó gọi $A({{x}_{1}};{{x}_{1}}+m);B({{x}_{2}};{{x}_{2}}+m)$ là 2 tọa độ các giao điểm
Theo Viet ta có: $\left\{ \begin{array} {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3-m \\ {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-2m-1 \\ \end{array} \right.$
Ta có: $AB=\sqrt{{{({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}^{2}}+{{({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}^{2}}}=\sqrt{2\left[ {{({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}^{2}} \right]}=\sqrt{2\left[ {{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]}$
$=\sqrt{2\left[ {{(3-m)}^{2}}-4(-2m-1) \right]}=\sqrt{2({{m}^{2}}+2m+13)}=4\sqrt{2}\Leftrightarrow {{m}^{2}}+2m-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m=1 \\ {} m=-3 \\ \end{array} \right.(t/m)$
Vậy $m=-3;m=1$ là các giá trị cần tìm. Chọn A.
|
Ví dụ 6: Cho hàm số $y=\frac{2x+1}{x+1}(C)$ và đường thẳng $d:y=2x+m$ . Số các giá trị của m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=-10$ trong đó O là gốc tọa độ. A. 2 B. 1 C. 0 D. 3 |
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$và d: $\frac{2x+1}{x+1}=2x+m\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x\ne -1 \\ {} g(x)=2{{x}^{2}}+mx+m-1=0 \\ \end{array} \right.$(1)
Để đồ thị (C) cắt d tại 2 điểm phân biệt $\Leftrightarrow g(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác -1.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \Delta ={{m}^{2}}-8(m-1)>0 \\ {} g(-1)=1\ne 0 \\ \end{array} \right.\left( * \right)$
Khi đó gọi $A({{x}_{1}};2{{x}_{1}}+m);B({{x}_{2}};2{{x}_{2}}+m)$ là 2 tọa độ các giao điểm
Theo Viet ta có: $\left\{ \begin{array} {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-m}{2} \\ {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{m-1}{2} \\ \end{array} \right.$
Khi đó $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}={{x}_{1}}.{{x}_{2}}+(2{{x}_{1}}+m)(2{{x}_{2}}+m)=5{{x}_{1}}{{x}_{2}}+2m\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+{{m}^{2}}=\frac{5m-5}{2}-{{m}^{2}}+{{m}^{2}}=-10$
$\Leftrightarrow m=-3\left( t/m \right)$ . Vậy $m=-3$ là các giá trị cần tìm. Chọn B.
|
Ví dụ 7: Cho hàm số $y=\frac{x-1}{x-2}(C)$ và đường thẳng $d:y=-x+m$ . Gọi m là giá trị để d cắt $\left( C \right)$ tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho trọng tâm tam giác OAB thuộc đường thẳng $x+y=0$ . Tính độ dài AB khi đó. A. $AB=2\sqrt{2}$ B. $AB=10$ C. $AB=5$ D. $AB=\sqrt{10}$ |
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$và d: $\frac{x-1}{x-2}=-x+m\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x\ne 2 \\ {} g(x)={{x}^{2}}-(m+1)x+2m-1=0 \\ \end{array} \right.$(1)
Để đồ thị (C) cắt d tại 2 điểm phân biệt $\Leftrightarrow g(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 2.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \Delta ={{\left( m+1 \right)}^{2}}-4\left( 2m-1 \right)>0 \\ {} g(1)=-1\ne 0 \\ \end{array} \right.\left( * \right)$
Khi đó gọi $A({{x}_{1}};-{{x}_{1}}+m);B({{x}_{2}};-{{x}_{2}}+m)$ là 2 tọa độ các giao điểm
Theo Viet ta có: $\left\{ \begin{array} {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m+1 \\ {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}=2m-1 \\ \end{array} \right.$
Gọi G là trọng tâm tam giác OAB ta có $\left\{ \begin{array} {} {{x}_{G}}=\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+0}{3}=\frac{m+1}{3} \\ {} {{y}_{G}}=\frac{-{{x}_{1}}+m-{{x}_{2}}+m+0}{3}=\frac{m-1}{3} \\ \end{array} \right.\Rightarrow G\left( \frac{m+1}{3};\frac{m-1}{3} \right)$
Do điểm $G\in x+y=0$ nên ta có: $\frac{m+1}{3}+\frac{m-1}{3}=0\Leftrightarrow m=0\left( t/m \right)$
Khi đó $A{{B}^{2}}=2{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}=2{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-8{{x}_{1}}{{x}_{2}}=2{{\left( m+1 \right)}^{2}}-8\left( 2m-1 \right)=10\Rightarrow AB=\sqrt{10}$ . Chọn D.
|
Ví dụ 8: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y=\frac{2mx+m-2}{x+1}$ cắt đường thẳng $d:y=x+3$ tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác IAB có diện tích bằng 3, với $I(-1;1)$ . Tính tổng tất cả các phần tử của S. A. 7 B. – 10 C. 3 D. 5 |
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm là $\frac{2mx+m-2}{x+1}=x+3\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} f\left( x \right)={{x}^{2}}-2(m-2)x+5-m=0 \\ {} x\ne -1 \\ \end{array} \right.$
Hai đồ thị có giao điểm khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array} {} {\Delta }’>0 \\ {} f\left( -1 \right)\ne 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {{\left( m-2 \right)}^{2}}-\left( 5-m \right)>0 \\ {} 1+2\left( m-2 \right)+5-m\ne 0 \\ \end{array} \right.\left( * \right)$
Khi đó $\left\{ \begin{array} {} {{x}_{A}}+{{x}_{B}}=2(m-2) \\ {} {{x}_{A}}.{{x}_{B}}=5-m \\ \end{array} \right.\Rightarrow AB=\sqrt{2{{\left( {{x}_{A}}-{{x}_{B}} \right)}^{2}}}=\sqrt{2{{\left( {{x}_{A}}+{{x}_{B}} \right)}^{2}}-8{{x}_{A}}.{{x}_{B}}}$
$=\sqrt{8{{(m-2)}^{2}}-8(5-m)}$
Mặt khác $d\left( I;d \right)=\frac{\left| -1-1+3 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}AB.d\left( I;d \right)=\frac{1}{2}\sqrt{8{{(m-2)}^{2}}-8(5-m)}.\frac{1}{\sqrt{2}}$
$=\sqrt{{{(m-2)}^{2}}-(5-m)}=\sqrt{{{m}^{2}}-3m-1}=3\Leftrightarrow {{m}^{2}}-3m-10=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m=5 \\ {} m=-2 \\ \end{array} \right.$
Kết hợp điều kiện (*) suy ra m = 5. Chọn D.
|
Ví dụ 9: Cho hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}$ và đường thằng $d:y=2x-m$ . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để d cắt $\left( C \right)$ tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho ${{S}_{OAB}}=\frac{5}{4}$ trong đó O là gốc tọa độ. Tính tổng tất cả các phần tử của S. A. 1 B. 0 C. 2 D. 3 |
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$và d: $\frac{2x+1}{x-1}=2x-m\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x\ne 1 \\ {} g(x)=2{{x}^{2}}-(m+4)x+m-1=0 \\ \end{array} \right.$(1)
Để đồ thị (C) cắt d tại 2 điểm phân biệt $\Leftrightarrow g(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \Delta ={{(m+4)}^{2}}-8\left( m-1 \right)>0 \\ {} g(1)=-3\ne 0 \\ \end{array} \right.\left( * \right)$
Khi đó gọi $A({{x}_{1}};2{{x}_{1}}-m);B({{x}_{2}};2{{x}_{2}}-m)$ là 2 tọa độ các giao điểm
Theo Viet ta có: $\left\{ \begin{array} {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{m+4}{2} \\ {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{m-1}{2} \\ \end{array} \right.$
Ta có: $AB=\sqrt{{{({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}^{2}}+{{(2{{x}_{1}}-2{{x}_{2}})}^{2}}}=\sqrt{5{{({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}^{2}}}=\sqrt{5\left[ {{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]}=\sqrt{\frac{5}{4}\left( {{m}^{2}}+24 \right)}$
$d\left( O;AB \right)=\frac{\left| m \right|}{\sqrt{5}}$. Khi đó: ${{S}_{OAB}}=\frac{1}{2}AB.d\left( O;AB \right)=\frac{1}{4}\left| m \right|\sqrt{{{m}^{2}}+24}=\frac{5}{4}$
$\Leftrightarrow {{m}^{4}}+24{{m}^{2}}=25\Leftrightarrow \left( {{m}^{2}}-1 \right)\left( {{m}^{2}}+25 \right)=0\Leftrightarrow m=\pm 1\left( t/m \right)\Rightarrow S=\left\{ \pm 1 \right\}$ . Chọn B.
|
Ví dụ 10: Cho hàm số $y=\frac{x+1}{x-1}$ và đường thằng $y=-2x+m$ . Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A, B và trung điểm AB có hoành độ bằng $\frac{5}{2}$ A. 8 B. 11 C. 9 D. 10 |
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$và (d): $\frac{x+1}{x-1}=m-2x\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x\ne 1 \\ {} 2{{x}^{2}}-(m+1)x+m+1=0 \\ \end{array} \right.$(*)
Để đồ thị (C) cắt (d) tại 2 điểm phân biệt $\Leftrightarrow (*)$ có hai nghiệm khác 1.
$\Leftrightarrow {{(m+1)}^{2}}-8\left( m+1 \right)>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m>7 \\ {} m<-1 \\ \end{array} \right.$
Khi đó gọi ${{x}_{A}},{{x}_{B}}$ là hoành độ của hai giao điểm A, B suy ra ${{x}_{A}}+{{x}_{B}}=5=\frac{m+1}{2}\Rightarrow m=9\left( t/m \right)$
Chọn C.
|
Ví dụ 11: Tìm m để đường thẳng $d:y=-x+m$ cắt đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $y=\frac{x}{x-1}$ tại hai điểm phân biệt A và B sao cho hai điểm A, B cách đều đường thẳng $\Delta :2x-4y+5=0$ A. $m=3$ B. $m=-5$ C. $m=1$ D. $m=5$ |
Lời giải
Để A, B cách đều đường thẳng $\Delta :2x-4y+5=0$ thì $AB\parallel \Delta $ hoặc trung điểm I của AB thuộc $\Delta $
Do $AB\equiv d$ không song song với $\Delta $ nên bài toán thỏa mãn khi trung điểm của I của AB thuộc $\Delta $.
Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị là $\frac{x}{x-1}=-x+m\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {{x}^{2}}-mx+m=0\left( * \right) \\ {} x\ne 1 \\ \end{array} \right.$
Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm khi và chỉ khi PT (*) có hai nghiệm phân biệt $x\ne 1$
Suy ra $\left\{ \begin{array} {} \Delta (*)>0 \\ {} 1-m+m\ne 0 \\ \end{array} \right.\Rightarrow {{m}^{2}}-4m>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m>4 \\ {} m<0 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right) \\ {} B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right) \\ \end{array} \right.\Rightarrow I\left( \frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{2};\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{2} \right)$ là trung điểm AB.
Hai điểm A, B cách đều đường thẳng $\Delta :2x-4y+5=0\Rightarrow I\in \Delta \Rightarrow \left( {{x}_{A}}+{{x}_{B}} \right)-2\left( {{y}_{A}}+{{y}_{B}} \right)+5=0$
$\Leftrightarrow \left( {{x}_{A}}+{{x}_{B}} \right)-2\left( -{{x}_{A}}-{{x}_{B}}+2m \right)+5=0\Leftrightarrow 3\left( {{x}_{A}}+{{x}_{B}} \right)-4m+5=0\Leftrightarrow 5-m=0\Leftrightarrow m=5$
Kết hợp với điều kiện $\left[ \begin{array} {} m>4 \\ {} m<0 \\ \end{array} \right.\Rightarrow m=5$ . Chọn D.
|
Ví dụ 12: Số các giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -20;20 \right]$ để đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $y=\frac{x+3}{x+1}$ cắt đường thẳng $d:y=x-m$ tại hai điểm phân biệt A và B thỏa mãn $\overset\frown{AOB}$ tù, với O là gốc tọa độ. A. 22 B. 17 C. 16 D. 23 |
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm
$x-m=\frac{x+3}{x+1}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x\ne -1 \\ {} \left( x-m \right)\left( x+1 \right)=x+3 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x\ne -1 \\ {} g(x)={{x}^{2}}-mx-m-3=0 \\ \end{array} \right.$
Ta có d cắt $\left( C \right)$ tại 2 điểm phân biệt $\Leftrightarrow g(x)$ có 2 nghiệm phân biệt khác – 1.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \Delta ={{m}^{2}}-4\left( -m-3 \right)>0 \\ {} g\left( -1 \right)={{\left( -1 \right)}^{2}}-m\left( -1 \right)-m-3\ne 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {{\left( m+2 \right)}^{2}}+8>0 \\ {} m\in \mathbb{R} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m\in \mathbb{R}\left( * \right)$
Do $A,B\in d\Rightarrow A\left( {{x}_{1}};{{x}_{1}}-m \right),B\left( {{x}_{2}};{{x}_{2}}-m \right)$ với ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$là 2 nghiệm của $g(x)=0$
Theo hệ thức Viet, ta có $\left\{ \begin{array} {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m \\ {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-m-3 \\ \end{array} \right.$
Khi đó: $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{OA}=\left( {{x}_{1}};{{x}_{1}}-m \right) \\ {} \overrightarrow{OB}=\left( {{x}_{2}};{{x}_{2}}-m \right) \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}={{x}_{1}}.{{x}_{2}}+\left( {{x}_{1}}-m \right)\left( {{x}_{1}}-m \right)$
$=2{{x}_{1}}{{x}_{2}}-m({{x}_{1}}+{{x}_{2}})+{{m}^{2}}=-2(m+3)-{{m}^{2}}+{{m}^{2}}=-2(m+3)$
Do $\widehat{AOB}$ tù nên $\text{cos}\widehat{AOB}=\frac{\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}}{OA.OB}<0\Leftrightarrow \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}<0\Leftrightarrow -2(m+3)-3$
Kết hợp $\left\{ \begin{array} {} m\in \mathbb{Z} \\ {} m\in \left[ -20;20 \right] \\ \end{array} \right.\Rightarrow $ có 23 giá trị của m. Chọn D.
|
Ví dụ 13: Cho hàm số $y=\frac{2x-1}{x+1}(C)$ và đường thẳng $d:y=2x+m$ . Gọi m là giá trị để d cắt $\left( C \right)$ tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tam giác ABC cân tại $C\left( \frac{3}{4};3 \right)$ . Tính $d\left( O;d \right)$ khi đó: A. $d=\frac{9}{\sqrt{5}}$ B. $d=\frac{3}{\sqrt{5}}$ C. $d=\frac{2}{\sqrt{5}}$ D. $d=\frac{1}{\sqrt{5}}$ |
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $\left( C \right)$: $\frac{2x-1}{x+1}=2x+m\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x\ne -1 \\ {} g(x)=2{{x}^{2}}+mx+m+1=0 \\ \end{array} \right.$
Để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {{\Delta }_{g(x)}}={{m}^{2}}-8\left( m+1 \right)>0 \\ {} g(-1)=3\ne 0 \\ \end{array} \right.$
Khi đó gọi $A({{x}_{1}};2{{x}_{1}}+m);B({{x}_{2}};2{{x}_{2}}+m)$ theo Viet ta có: $\left\{ \begin{array} {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{m}{2} \\ {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{m+1}{2} \\ \end{array} \right.$
Trung điểm I của AB là $I\left( \frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2};\frac{2{{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+2m}{2} \right)$ hay $I\left( \frac{-m}{4};\frac{m}{2} \right)$
