Giải SGK Toán 9 Bài 31 (Kết nối tri thức): Hình trụ và hình nón

Giải bài tập Toán 9 Bài 31: Hình trụ và hình nón

1. Hình trụ

Câu hỏi trang 94 Toán 9 Tập 2: Nêu một số đồ vật có dạng hình trụ trong đời sống.

Lời giải:

Một số vật có dạng hình trụ trong đời sống là: Cái cốc, lon sữa, bình cá cảnh,…

Luyện tập 1 trang 94 Toán 9 Tập 2: Kể tên các bán kính đáy và đường sinh còn lại của hình trụ có trong Hình 10.4.

Lời giải:

Trong Hình 10.4, ta có:

− Các bán kính đáy còn lại của hình trụ là: ON, OF, O’E.

− Đường sinh còn lại của hình trụ là: MN.

Thực hành 1 trang 95 Toán 9 Tập 2: Chuẩn bị một băng giấy cứng hình chữ nhật ABCD với AB = 8 cm, BC = 15 cm. Cuộn băng giấy lại sao cho hai cạnh AB và DC sát vào nhau như Hình 10.6 (dùng băng keo dán), ta được một hình trụ (không có đáy). Hãy cho biết chiều cao và chu vi đáy của hình trụ đó.

Lời giải:

Chiều cao của hình trụ đó chính là đoạn thẳng AB nên chiều cao bằng 8 cm.

Vì băng giấy được cuộn vào nên ta được hai đáy tạo thành các hình tròn, nên chu vi hình tròn là đoạn thẳng BC. Do đó chu vi đáy của hình trụ bằng 15 cm.

HĐ1 trang 95 Toán 9 Tập 2: Người ta coi diện tích hình chữ nhật ABCD chính là diện tích xung quanh của hình trụ được tạo thành (xem Thực hành 1). Cho hình trụ có chiều cao h = 9 cm và bán kính đáy R = 5 cm. Tính diện tích mặt xung quanh của hình trụ.

Lời giải:

Hình chữ nhật ABCD có một cạnh bằng chu vi hình tròn đáy, cạnh còn lại bằng chiều cao của hình trụ.

Nên ta có một cạnh của hình chữ nhật bằng 9 cm.

Cạnh còn lại của hình chữ nhật (hay chu vi hình tròn đáy) là:

2π . R = 2π . 5 = 10π (cm).

Diện tích hình chữ nhật ABCD là:

10π . 9 = 90π (cm²).

Vậy diện tích xung quanh của hình trụ là 90π cm².

HĐ2 trang 95 Toán 9 Tập 2: Hãy nhắc lại công thức tính thể tích của hình lăng trụ đứng tam giác (hoặc hình lăng trụ đứng tứ giác) có diện tích đáy S và chiều cao h.

Lời giải:

Thể tích của hình lăng trụ đứng tam giác (hoặc hình lăng trụ đứng tứ giác) có diện tích đáy S và chiều cao h là: V = S . h.

Luyện tập 2 trang 96 Toán 9 Tập 2: Một thùng nước có dạng hình trụ với chiều cao bằng 1,6 m và bán kính đáy bằng 0,5 m.

a) Tính diện tích xung quanh của thùng nước.

b) Hỏi thùng chứa được bao nhiêu lít nước?

(Coi chiều dày của thùng không đáng kể và làm tròn kết quả ở câu b đến hàng đơn vị của lít).

Lời giải:

a) Diện tích xung quanh của thùng nước là:

S_xq = 2π . 0,5 . 1,6 = 1,6π (cm²).

Vậy diện tích xung quanh của thùng nước là 1,6π cm².

b) Thể tích của thùng nước là:

V = π . 0,52 . 1,6 = 0,4π ≈ 1,257 (m³) = 1257 (ℓ).

Vậy thùng nước chứa được khoảng 1 257 lít nước.

2. Hình nón

Câu hỏi trang 97 Toán 9 Tập 2: Nêu một số đồ vật có dạng hình nón trong đời sống.

Lời giải:

Một số đồ vật có dạng hình nón trong đời sống là: nón lá, kem ốc quế, mũ sinh nhật,…

Luyện tập 3 trang 98 Toán 9 Tập 2: Kể tên các bán kính đáy và các đường sinh còn lại của hình nón trong Hình 10.10.

Lời giải:

Trong Hình 10.10, ta có:

− Các bán kính đáy còn lại của hình nón là: ON, OP.

− Các đường sinh còn lại của hình nón là: SN, SP.

Thực hành 2 trang 98 Toán 9 Tập 2: Cắt một nửa hình tròn bằng giấy cứng, có đường kính AB = 20 cm và tâm là S. Cuộn nửa hình tròn đó lại sao cho SA và SB sát vào nhau như Hình 10.12 (dùng băng keo dán), ta được một hình nón đỉnh S. Hãy cho biết độ dài đường sinh và chu vi đáy của hình nón đó.

Lời giải:

Ta có đường sinh của hình nón là đoạn thẳng SA nên độ dài đường sinh là: $\frac{1}{2}$.20 = 10 (cm).

Vì hình nón được tạo bởi nửa hình tròn nên chu vi đáy của hình nón chính là độ dài cung AB hay nửa chu vi của hình tròn đường kính AB.

Chu vi hình tròn đáy của hình nón là: $\frac{20\pi }{2}=10\pi \left(cm\right).$

Vậy hình nón có độ dài đường sinh là 10 cm và chu vi đáy là 10π cm.

HĐ3 trang 98 Toán 9 Tập 2: Người ra coi diện tích của hình quạt tròn SAB (xem Thực hành 2) chính là diện tích xung quanh của hình nón được tạo thành. Cho hình nón có đường sinh ℓ = 9 cm và bán kính đáy r = 5 cm. Tính diện tích mặt xung quanh của hình nón.

Lời giải:

Vì bán kính đáy của hình nón là r = 5 cm nên ta có độ dài cung AB chính là chu vi của hình tròn bán kính 5 cm.

Do đó độ dài cung AB là: 2πr = 2π . 5 = 10π (cm).

Diện tích hình quạt có độ dài cung tròn là 10π và bán kính R là 9 là:

$S_q=\frac{10\pi \cdot 9}{2}=45\pi \left(c{m}^2\right).$

Vậy diện tích mặt xung quanh của hình nón là 45π cm².

HĐ4 trang 99 Toán 9 Tập 2: Hãy nhắc lại công thức tính thể

tích của hình chóp tam giác đều (hoặc hình chóp tứ giác đều) có diện tích đáy S và chiều cao h.

Lời giải:

Thể tích của hình chóp tam giác đều (hoặc hình chóp tứ giác đều) có diện tích đáy S và chiều cao h là: V = $\frac{1}{3}$S.h.

Luyện tập 4 trang 99 Toán 9 Tập 2: Tính diện tích xung quanh và thể tích của một hình nón có độ dài đường sinh bằng 13 cm và chiều cao bằng 12 cm.

Lời giải:

Xét hình nón có đường sinh BC = 13 cm và chiều cao AC = 12 cm.

Tam giác ABC vuông tại A nên AB² + AC² = BC² (theo định lí Pythagore).

Suy ra AB² = BC² − AC² = 13² − 12² = 25 nên AB = 5 cm.

Diện tích xung quanh của hình nón là:

S_xq = π . AB . BC = 5 . 13 . π = 65π (cm²).

Thể tích của hình nón là:

V = $\frac{1}{3}$$\mathrm{\pi }$.AB².AC = $\frac{1}{3}$$\mathrm{\pi }$.5².12 = 100$\mathrm{\pi }$ (cm³).

Vậy hình nón đã cho có diện tích xung quanh là 65π cm² và thể tích là 100π cm³.

Vận dụng trang 99 Toán 9 Tập 2: Người ta đổ muối thu hoạch được trên cánh đồng muối thành từng đống có dạng hình nón với chiều cao khoảng 0,9 m và đường kính đáy khoảng 1,6 m. Hỏi mỗi đống muối có bao nhiêu decimét khối muối? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Lời giải:

Bán kính đống muối là: r = $\frac{1,6}{2}$ = 0,8 (m).

Thể tích mỗi đống muối là:

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi \cdot 0,8^2\cdot 0,9\approx 0,603\left(m^3\right)=603\left(d{m}^3\right).$

Vậy mỗi đống muối có có khoảng 603 decimét khối muối.

Bài tập

Bài 10.1 trang 100 Toán 9 Tập 2: Thay dấu “?” bằng giá trị thích hợp và hoàn thành bảng sau vào vở:

Lời giải:

Hình vẽ trong bảng trên là hình trụ:

• Xét hình trụ có bán kính đáy là R = 4 cm và chiều cao h = 6 cm:

Diện tích xung quanh hình trụ là: S_xq = 2πRh = 2π . 4 . 6 = 48π (cm²).

Thể tích hình trụ là: V = πR²h = π . 4² . 6 = 96π (cm³).

• Xét hình trụ có bán kính đáy là R = 3 cm và chiều cao h = 5 cm:

Diện tích xung quanh hình trụ là: S_xq = 2πRh = 2π . 3 . 5 = 30π (cm²).

Thể tích hình trụ là: V = πR²h = π . 3² . 5 = 45π (cm³).

• Xét hình trụ có chiều cao h = 10 cm và thể tích 50π cm³:

Bán kính đáy của hình trụ là: $R^2=\frac{V}{\pi h}=\frac{50\pi }{\pi \cdot 10}=5\Rightarrow R=\sqrt{5}\left(cm\right)$.

Diện tích xung quanh hình trụ là: $S_{xq}=2\pi Rh=2\pi \cdot \sqrt{5}\cdot 10=20\sqrt{5}\pi \left(c{m}^2\right).$

• Xét hình trụ có bán kính đáy là R = 8 cm và diện tích xung quanh là 192π cm²:

Chiều cao của hình trụ là: $h=\frac{S_{xq}}{2\pi R}=\frac{192\pi }{2\pi \cdot 8}=12\left(cm\right)$.

Thể tích hình trụ là: V = πR²h = π . 8² . 12 = 768π (cm³).

Từ đó, ta có điền vào bảng như sau:

Bài 10.2 trang 100 Toán 9 Tập 2: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3 cm, BC = 4 cm. Quay hình chữ nhật quanh cạnh AB một vòng, ta được một hình trụ. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ tạo thành.

Lời giải:

Khi quay hình chữ nhật quanh cạnh AB một vòng, ta được hình trụ có chiều cao h = 3 cm và bán kính R = 4 cm.

Diện tích xung quanh của hình trụ là:

S_xq = 2πRh = 2π . 4 . 3 = 24π (cm²).

Thể tích của hình trụ là:

V = S_đáy . h = πR²h = π . 4² . 3 = 48π (cm³).

Vậy hình trụ được tạo thành có diện tích xung quanh bằng 24π cm² và thể tích bằng 48π cm³.

Bài 10.3 trang 100 Toán 9 Tập 2: Khi cho tam giác SOA vuông tại O quay quanh cạnh SO một vòng, ta được một hình nón. Biết OA = 8 cm, SA = 17 cm (H.10.14).

a) Tính diện tích xung quanh của hình nón.

b) Tính thể tích của hình nón.

Lời giải:

a) Diện tích xung quanh của hình nón là:

S_xq = π . OA . SA = π . 8 . 17 = 136π (cm²).

Vậy diện tích xung quanh của hình nón là 136π cm².

b) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác SAO vuông tại O có:

SO² + AO² = SA²

Suy ra $SO=\sqrt{S{A}^2-A{O}^2}=\sqrt{{17}^2-8^2}=15\left(cm\right).$

Thể tích của hình nón là:

$V=\frac{1}{3}\pi \cdot A{O}^2\cdot SO=\frac{1}{3}\pi \cdot 8^2\cdot 15=320\pi \left(c{m}^3\right).$

Vậy thể tích của hình nón là 320π cm³.

Bài 10.4 trang 100 Toán 9 Tập 2: Một bóng đèn huỳnh quang có dạng hình trụ được đặt khít vào một hộp giấy cứng dạng hình hộp chữ nhật (H.10.15). Hộp giấy có chiều dài bằng 0,6 m, đáy là hình vuông cạnh 4 cm. Tính diện tích xung quanh và thể tích của bóng đèn (giả sử bề dày của hộp giấy không đáng kể).

Lời giải:

Bóng đèn huỳnh quang đó có chiều cao bằng h = 0,6 m = 60 cm và đường kính đáy 4 cm nên bán kính đáy là R = 2 m.

Diện tích xung quanh của bóng đèn là:

S_xq = 2πRh = 2π . 60 . 2 = 240π (cm²).

Thể tích của bóng đèn là:

V = S_đáy . h = πR²h = π . 2² . 60 = 240π (cm³).

Vậy bóng đèn có diện tích xung quanh bằng 240π cm² và thể tích bằng 240π cm³.

Bài 10.5 trang 100 Toán 9 Tập 2: Một dụng cụ gồm một phần có dạng hình trụ và một phần có dạng hình nón với các kích thước như Hình 10.16.

a) Tính thể tích của dụng cụ này.

b) Tính diện tích mặt ngoài của dụng cụ (không tính đáy của dụng cụ).

Lời giải:

Dụng cụ trong Hình 10.16 gồm:

− Hình nón có chiều cao là 50 cm, bán kính đáy bằng 40 cm.

− Hình trụ có chiều cao là 100 cm, bán kính đáy bằng 40 cm.

a) Thể tích của hình nón là:

$V_1=\frac{1}{3}\pi \cdot {40}^2\cdot 50=\frac{80000\pi }{3}\left(c{m}^3\right).$

Thể tích của hình trụ là:

$V_2=\pi \cdot {40}^2\cdot 100=160000\pi \left(c{m}^3\right).$

Thể tích của dụng cụ là:

$V=V_1+V_2=\frac{80000\pi }{3}+160000\pi =\frac{560000\pi }{3}\left(c{m}^3\right).$

Vậy thể tích của dụng cụ đã cho là $\frac{560000\pi }{3}c{m}^3.$

b) Đường sinh của hình nón là:

$\sqrt{{50}^2+{40}^2}=10\sqrt{41}\left(cm\right).$

Diện tích xung quanh của của hình nón là:

$S_1=\pi \cdot 10\sqrt{41}\cdot 40=400\sqrt{41}\pi \left(c{m}^2\right).$

Diện tích xung quanh của của hình trụ là:

$S_2=2\pi \cdot 40\cdot 100=8000\pi \left(c{m}^2\right).$

Diện tích mặt ngoài của dụng cụ (không tính đáy của dụng cụ) là:

$S=S_1+S_2=400\sqrt{41}\pi +8000\pi =400\pi \left(\sqrt{41}+20\right)\left(c{m}^2\right).$

Vậy diện tích mặt ngoài của dụng cụ (không tính đáy của dụng cụ) là $400\pi \left(\sqrt{41}+20\right)c{m}^2.$

Bài 10.6 trang 100 Toán 9 Tập 2: Tính thể tích của hình tạo thành khi cho hình ABCD quay quanh AD một vòng (H.10.17).

Lời giải:

Trong Hình 10.17, khi quay hình ABCD quanh cạnh AD một vòng thì ta được một hình gồm hai hình nón có:

+ Hình nón thứ nhất có chiều cao bằng 3 cm, bán kính đáy bằng 4 cm.

+ Hình nón thứ hai có chiều cao bằng 6 cm, bán kính đáy bằng 8 cm.

Thể tích hình nón thứ nhất là:

$V_1=\frac{1}{3}\pi \cdot 4^2\cdot 3=16\pi \left(c{m}^3\right).$

Thể tích hình nón thứ hai là:

$V_2=\frac{1}{3}\pi \cdot 8^2\cdot 6=128\pi \left(c{m}^3\right).$

Thể tích hình cần tìm là:

V = V₁ + V₂ = 16π + 128π = 144π (cm³).

Vậy thể tích của hình tạo thành khi cho hình ABCD quay quanh AD một vòng là 144π cm³.

Xem thêm các bài giải bài tập Toán lớp 9 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương IX

Bài 31. Hình trụ và hình nón

Bài 32. Hình cầu

Luyện tập chung trang 106

Bài tập cuối chương X

Giải phương trình, hệ phương trình và vẽ đồ thị hàm số với phần mềm GeoGebra

Lý thuyết Hình trụ và hình nón

1. Hình trụ

− Một số yếu tố của hình trụ:

Chiều cao: h = O’O.

Bán kính đáy: R = OB.

Đường sinh: l = AB.

− Diện tích xung quanh của hình trụ: $S_{xq}=2\pi Rh$.

Trong đó: R là bán kính đáy;

  h là chiều cao.

− Thể tích hình trụ: V = S_đáy . h = πR²h.

Trong đó: S_đáy là diện tích đáy;

  R là bán kính đáy;

  h là chiều cao.

Ví dụ: Xét hình trụ dưới đây với bán kính đáy là 2 cm, chiều cao 6 cm (như hình vẽ).

Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ.

Hướng dẫn giải

Diện tích xung quanh của hình trụ là:

S_xq = 2πRh = 2π . 2 . 6 = 24π (cm²)

Thể tích hình trụ là:

V = πR²h = π. 2² . 6 = 24π (cm³)

2. Hình nón

− Một số yếu tố của hình nón:

Đỉnh: S.

Chiều cao: h = SO.

Đường sinh: l = SA = SB.

Bán kính đáy: R = OA.

− Diện tích xung quanh của hình nón: S_xq = πrl.

Trong đó: r là bán kính đáy;

  l là độ dài đường sinh.

− Thể tích hình nón: $V=\frac{1}{3}.S_{dáy}.h=\frac{1}{3}\pi r^{2}h.$

Trong đó: S_đáy là diện tích đáy;

  r là bán kính đáy;

  h là chiều cao.

Ví dụ: Xét một hình nón có bán kính đáy bằng 7 cm, chiều cao bằng 24 cm như sau:

Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón.

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lý Pythagore, ta tính được độ dài đường sinh hình nón:

$l=\sqrt{{\text{R}}^2+{\text{h}}^{\text{2}}}=\sqrt{7^2+{24}^2}=25$ (cm).

Diện tích xung quanh của hình nón là:

S_xq = πrl = π . 7 . 25 = 175π (cm²).

Thể tích hình nón là:

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi {.7}^2.27=392\pi$(cm³).